版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节.docx
《版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A）,与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）“x2＋2x－3<0”是命题.（ ）
（2）命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.（ ）
（3）当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.（ ）
（4）“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.（ ）
解析
（1）错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
（2）错误.否命题既否定条件,又否定结论.
【参考答案】
（1）×
（2）× （3）√ （4）√
2.（选修2－1P6练习引申）命题“若α＝
则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠
则tanα≠1B.若α＝
则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α＝
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”.
【参考答案】C
3.（选修2－1P8AT2
（1）改编）“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.
【参考答案】若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
4.（2018·天津卷）设x∈R,则“
<
”是“x3<1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由
<
得0<
”是“x3<1”的充分而不必要条件.
【参考答案】A
5.（2017·北京卷）能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a＋b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.
解析 a>b>c,取a＝－2,b＝－4,c＝－5,
则a＋b＝－6【参考答案】－2,－4,－5（答案不唯一）
6.（2019·安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的________条件.
解析 显然a＝0时,f（x）＝sinx－
为奇函数；
当f（x）为奇函数时,
f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝0.
因此2a＝0,故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.
【参考答案】充要
考点一 命题及其关系
【例1】
（1）（2019·郑州模拟）下列说法正确的是（ ）
A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”
B.“若am2C.存在x0∈（0,＋∞）,使3x0>4x0成立
D.“若sinα≠
则α≠
”是真命题
（2）（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0,2]都成立,则f（x）在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析
（1）对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错；
对于B项,若“am2对于C项,由指数函数的图象知,∀x∈（0,＋∞）,都有4x>3x,C错；
对于D项,原命题的逆否命题为“若α＝
则sinα＝
”是真命题,故原命题是真命题.
（2）根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f（x）min＝f（0）.
【参考答案】
（1）D
（2）f（x）＝sinx,x∈[0,2]（答案不唯一,再如f（x）＝
）
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
（1）对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；
（2）若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.
（1）判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例.
（2）根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.
【训练1】
（1）（2018·肇庆一诊）命题“若a,b,c成等比数列,则b2＝ac”的逆否命题是（ ）
A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”
B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”
C.“若b2＝ac,则a,b,c成等比数列”
D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”
（2）命题p:
若x>0,则x>a；命题q:
若m≤a－2,则m解析
（1）命题“若a,b,c成等比数列,则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.
（2）命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a－2<－1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1）.
【参考答案】
（1）D
（2）[0,1）
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】
（1）（2018·北京卷）设a,b均为单位向量,则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2）设函数f（x）＝
则“m>1是f[f（－1）]>4”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析
（1）|a－3b|＝|3a＋b|⇔（a－3b）2＝（3a＋b）2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2,又∵|a|＝|b|＝1,
∴a·b＝0⇔a⊥b,因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
（2）当m>1时,f[f（－1）]＝f
＝f
（2）＝22m＋1>4,
当f[f（－1）]>4时,f[f（－1）]＝f
＝f
（2）＝22m＋1>4＝22,
∴2m＋1>2,解得m>
.
故“m>1”是“f[f（－1）]>4”的充分不必要条件.
【参考答案】
（1）C
（2）A
规律方法 充要条件的三种判断方法
（1）定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
（2）集合法:
根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】
（1）（2018·浙江卷）已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2）（2019·佛山质检）已知函数f（x）＝3x－3－x,∀a,b∈R,则“a>b”是“f（a）>f（b）”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析
（1）若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
（2）因为f（x）＝3x－3－x,
所以f′（x）＝3xln3－3－xln3×（－1）＝3xln3＋3－xln3,
易知f′（x）>0,
所以函数f（x）＝3x－3－x为（－∞,＋∞）上的单调递增函数,从而由“a>b”可得“f（a）>f（b）”,由“f（a）>f（b）”可得“a>b”,即“a>b”是“f（a）>f（b）”的充要条件.
【参考答案】
（1）A
（2）C
考点三 充分条件、必要条件的应用
典例迁移
【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.
∴
解得m≤3.
又∵S为非空集合,∴1－m≤1＋m,解得m≥0.
综上,m的取值范围是[0,3].
【迁移探究1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件？
并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,
∴
∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】设p:
P＝{x|x2－8x－20≤0},q:
非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件,
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q
p,即PS.
∴
或
∴m≥9,又因为S为非空集合,
所以1－m≤1＋m,解得m≥0,
综上,实数m的取值范围是[9,＋∞）.
规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】（2018·浏阳三校联考）设p:
实数x满足x2－4ax＋3a2<0,a∈R；q:
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解 由p得（x－3a）（x－a）<0,当a<0时,3a由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0,则－2≤x≤3或x<－4或x>2,则x<－4或x≥－2.
设p:
A＝（3a,a）,q:
B＝（－∞,－4）∪[－2,＋∞）,
又p是q的充分不必要条件.
可知AB,∴a≤－4或3a≥－2,即a≤－4或a≥－
.
又∵a<0,∴a≤－4或－
≤a<0,
即实数a的取值范围为（－∞,－4]∪
.
[思维升华]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,并注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
2.充分、必要条件与集合的关系,p,q成立的对象构成的集合分别为A和B.
（1）若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
（2）若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
（3）若A＝B,则p是q的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
基础巩固题组
（建议用时:
30分钟）
一、选择题
1.（2019·河南八市联考）命题“若a>b,则a＋c>b＋c”的否命题是（ ）
A.若a≤b,则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c,则a≤b
C.若a＋c>b＋c,则a>bD.若a>b,则a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a＋c≤b＋c”.
【参考答案】A
2.设x∈R,则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由2－x≥0,得x≤2,由|x－1|≤1,得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2,而当0≤x≤2时一定有x≤2,
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
【参考答案】B
3.设a>b,a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是（ ）
A.ac2>bc2B.
>1
C.a－c>b－cD.a2>b2
解析 对于选项A,a>b,若c＝0,则ac2＝bc2,故A错；对于选项B,a>b,若a>0,b<0,则
<1,故B错；对于选项C,a>b,则a－c>b－c,故C正确；对于选项D,a>b,若a,b均小于0,则a2【参考答案】C
4.（2018·成都诊断）命题p:
cosθ＝
命题q:
tanθ＝1,则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由cosθ＝
得θ＝±
＋2kπ,k∈Z,则tanθ＝±1,
故p
q,p是q的不充分条件；
由tanθ＝1,得θ＝
＋kπ,k∈Z,则cosθ＝±
故q
p,p是q的不必要条件；
所以p是q的既不充分也不必要条件.
【参考答案】D
5.原命题:
设a,b,c∈R,若“a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.4个
解析 原命题:
若c＝0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为:
设a,b,c∈R,若“ac2>bc2,则a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.
【参考答案】C
6.已知命题p:
x2＋2x－3＞0；命题q:
x＞a,且綈q的一个充分不必要条件是
綈p,则a的取值范围是（ ）
A.[1,＋∞）B.（－∞,1]
C.[－1,＋∞）D.（－∞,－3]
解析 由x2＋2x－3＞0,得x＜－3或x＞1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
【参考答案】A
7.（2017·北京卷）设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m＝λn”是“m·n<0”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ,使得m＝λn,则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m,n〉<0⇒cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈
当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
【参考答案】A
8.下列结论错误的是（ ）
A.命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4,则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0,则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0,则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ＝1＋4m≥0,
即m≥－
不能推出m>0.所以不是真命题.
【参考答案】C
二、填空题
9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件（填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个）.
解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
【参考答案】必要
10.以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）.
①“若log2a>0,则函数f（x）＝logax（a>0,a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0,则ab＝0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”；
③命题“若x,y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>0,得a>1,∴f（x）＝logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确.
③不正确,原命题的逆命题为:
“若x＋y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1＋3＝4为偶数,但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价.
【参考答案】②④
11.直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于
<
解之得－1【参考答案】－112.（2019·湖南师大附中月考）设p:
ln（2x－1）≤0,q:
（x－a）[x－（a＋1）]≤0,若q是p的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln（2x－1）≤0}＝
q对应的集合B＝{x|（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1},由q是p的必要而不充分条件可知AB,所以a≤
且a＋1≥1,所以0≤a≤
.
【参考答案】
能力提升题组
（建议用时:
10分钟）
13.（2017·浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－（S5－S4）＝a6－a5＝d,所以S4＋S6>2S5等价d>0,所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
【参考答案】C
14.（一题多解）（2019·江西新课程教学质量监测）已知命题p:
x2＋2x－3>0；命题q:
>0,且綈q的一个必要不充分条件是綈p,则a的取值范围是（ ）
A.[－3,0]B.（－∞,－3]∪[0,＋∞）
C.（－3,0）D.（－∞,－3）∪（0,＋∞）
解析 法一 由x2＋2x－3>0,得x<－3或x>1.
则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.
命题q:
x>a＋1或x则綈q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.
依题意綈q是綈p的充分不必要条件,所以BA,
故
解得－3≤a≤0.
法二 ∵綈q的一个必要不充分条件是綈p,
∴綈p是綈q的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,
p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1},
q对应的集合D＝
＝{x|x>a＋1或x由于p是q的充分不必要条件知,CD,
∴
解得－3≤a≤0.
【参考答案】A
15.若不等式m－1则实数m的取值范围是________.
解析 由题意可知
（m－1,m＋1）,借助数轴得
解得－
≤m≤
故实数m的取值范围是
.
【参考答案】
16.“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时,f（－x）＝－f（x）（x∈R）,则f（x）是奇函数,充分性成立.
若f（x）为奇函数,恒有f（－x）＝－f（x）,得（1－a2）（e2x＋1）＝0,则a＝±1,必要性不成立.故“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的充分不必要条件.
【参考答案】充分不必要
升级会员 