上海工程技术大学概率论作业答案.docx

资源描述

上海工程技术大学概率论作业答案.docx

《上海工程技术大学概率论作业答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海工程技术大学概率论作业答案.docx（39页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

上海工程技术大学概率论作业答案.docx

上海工程技术大学概率论作业答案

习题一

1.设A,B,C是三个事件，且P（A）二P（B）二P（C）,P（AB）二P（BC）=0,

P（AC），求A,B,C中至少有一个发生的概率.

解：

；P（AB）=0.P（AB）C0.P（A一BC）二P（A）P（B）P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）P（ABC）

11115

-0-00=

44488

2•设事件A,B及AB的概率分别为p,q及r，求：

P（AB），P（AB），P（AB）及P（AB）.

P（AB））的值:

解:

P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）=pq_r

P（ab二

A）B-rq

p（7B

A）B-rp

P（瓜B=

P（A

3•设P（A）^1,P（B）^1，试分别在下列三种情况下求

（1）A,B互不相容；

⑵AB;

（3）P（AB）二•

解:

（1）P（AB）=P（B）=-

111

（2）P（AB）=P（B）-P（A）：

236

/、一113

（3）P（AB）=P（B）-P（AB）：

288

4.盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品.从盒子中任取4个，求:

（1）4个全是正品的概率；

（2）恰有一个是次品的概率；

（3）

至少有两个是次品的概率.

解:

p=145=0.2760

C50

5•从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率.

6•从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率.

134

解：

p4=0.1055

C52

7•某城市的电话号码由8个数字组成，第一位为5或6•求

（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率；

（2）随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率.

解:

（1）^2-P97=0.0181

2107

pT"1

210

&房间里有4人，求：

（1）这4人的生日不在同一个月的概率；

（2）至少有2人的生日在同一个月的概率.

解：

（1）p=14=0.9994

（2）p=1耳=0.4271

124

9•已知P（A）二丄,P（B|A）=」,P（A|B）=±，求P（A_.B）.

432

解：

P（AB）=P（A）P（B|A）=

P（B）二

P（AB）

P（A|B）6

.P（A-B）=P（A）P（B）_P（AB）=丄1一丄1

46123

10.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.

解：

设A:

其中一颗为1点，E:

点数之和为7,贝U

P（B）二

"ABF

P（A|B）=

P（AB）

P（B）

11.某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少

解：

其中一个是女孩的样本空间为：

{（男，女），（女，男），（女，女）}

故所求概率为-

12.一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：

（1）两次都取得正品的概率；

（2）第一次取得正品，第二次取得次品的概率；

（3）一次取得正品，另一次取得次品的概率；

（4）第二次取得正品的概率.

解：

（

1）

—

（2）

=—

*—

—

（3）

，一+—

*-=

（4）

*—=

13.袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个.每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率.

解：

设Ai表示事件“第i次取到白球”，i=1,2,3

10990

则所求概率为：

P（A3a1A2^P（a1）P（A2|A）P（AIAAD0.0083

1009998

14.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对

所需电话的概率•若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解:

（1）p=3或p=191981

10101091098

15.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为

0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率.

解：

设事件A:

取得的产品是合格品，事件Bi:

取得的产品由第i台车床加工，i=1,2

则所求概率为：

P（A^P（B1）P（A|3）P（B2）P（A|B2^20.9710.98=0.9733

16•设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只

红球•现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问：

（1）取到白球的概率是多少？

（2）若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少解：

设事件A:

从乙袋取到白球，事件B:

从甲袋取到白球

（1）所求概率为:

（2）所求概率为:

P（A）二P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）

nN1mNnNnmN

—+*—

mnMN1mnMN1（mn）（MN1）

p（b|a）=PAB1

nN1

_mnMN1

nN+n

/nN+n+mN

nNnmN

（mn）（MN1）

17.设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正.一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为0.8,而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3.现假定从8支枪中任取一支进

行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率.

解：

设事件A:

射击中靶，事件B:

所用的枪是已校正过的

18.盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的.第一次比赛时从中任取3个来使用，比

赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率.

解：

设事件A:

第二次取出的球全是新球

事件B:

第一次取出的球当中有i个新球，i=0,1,2,3

则所求概率为:

P（A）八P（Bi）P（A|Bi）

19.设事件A与B相互独立，且P（A）=p,P（B）=q.求下列事件的概率:

（1）P（A_•B）；

（2）P（A一B）;（3）P（A一B）.

解:

（1）P（aUb）=P（A）P（B）-P（AB）=P（A）P（B）-P（A）P（B）=pq-pq

（2）P（AUB）=P（A）P（B）_P（A）P（B）=p（1_q）_p（1_q）=1_qpq

（3）P（A_B）=P（AB）=1_P（AB）=1_P（A）P（B）=1_pq

20.甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9,乙击中目标的概率是0.8.甲、

乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率.

解：

设事件A:

甲击中目标，事件B:

乙击中目标

则所求概率为：

P（AUB）二P（A）P（B）-P（A）P（B）=0.90.8-0.90.8=0.98

21•设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一

发）,若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮？

解：

事件A:

第i门炮击中飞机，1乞i乞n，贝y

nnn

P（yA）“-P（©A）“-P（0A）=1-[P（Ai）]n"-0.4n0.99

「.nAlog°.40.01=5.026所以至少配备6门高射炮。

22•如图，三个元件分别记作A,B,C，且三个元件能否正常工作是相互独立的.设A,B,C

三个元件正常工作的概率分别为0.7,0.8和0.8，求该电路发生故障的概率.

解：

设事件A,B,C分别表示元件A,B,C正常工作

则所求概率为：

p=1-（1-P（B）P（C））P（A）=1-（1-0.20.2）0.7=0.328

或p=P（A）P（ABC）二0.30.70.20.2二0.328

23•一大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1,

问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率；

（2）至少有3个设备被使用的概率.

223

解：

（1）Ps

（2）=C5（0.1）（0.9）=0.0729

（2）p=R（3）P5（4）R（5）

=Cf（0.1）3（0.9）2C54（0.1）4（0.9）1Cf（0.1）5（0.9）^0.00856

24.某人独立射击10次，每次射击的命中率均为0.6，求：

（1）击中三次的概率；

（2）至少有一次未击中的概率.

337

解：

（1）p=R°（3）=G°（0.6）（0.4）=0.0425

（2）p=^Pio（1Q^Ci10）（Q.6）10（Q.4）^0.9940

习题二

1.设随机变量X的分布律为

（1）确定常数a；

（2）求P{X3}.

5件样品，计算这5件样品中恰

.X的分布律为:

J—C；（0.2）40.81_c5（0.2）50.8°=0.9933

5.某高速公路每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,

在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？

（利用

泊松定理计算）

解：

，=np=10000.0001=0.1

P{X_2}=1-P{X=0}一P{X-1}

“—。

爲。

0.000100.9990000-Cw000.000110.9999""

.0.10

-1—

e。

1_旦©a=0.00470!

6•某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.

的48△

解：

（1）P{X=8}e=0.0298

4的泊松分布，求:

旳4k

⑵P{X10}八-ek=11k!

二0.002840

7.设随机变量X的分布律为

-1

.求X的分布函数.

解：

F（x）=

一仁X:

x-2

&一口袋中装有只球中的最大号码，解：

X的可能取值为3,4,5

1C/C：

P{X=3}厂0.1,P{X=4}33=0.3,P{X=5}4^=0.6

C5C5

345

5只球，编号为

求随机变量

2,3,

X的分布律和分布函数,

5•从袋中同时取3只，以X表示取出的三

-X的分布律为:

0.10.30.6

0.1

X的分布函数为：

F（x）=

0.4

9.设随机变量X的概率密度为

3乞x：

：

4_x：

：

x_5

f（X）=kcosx,

i0,

X：

其它.

P「0：

：

X：

：

二？

;

求：

⑴系数k;

（2）X的分布函数F（x）;（3）

矜2k=1

解：

（1）2二kcosxdx二2k。

2cosxdx二2ksinxp0

11costdt（sinx1）

-X的分布函数为:

F（x）=C（sinx+1）

jiji

-—_x：

—

（3）P{0:

x：

：

■■}二F（「）一F（0）-1-

10.设连续型随机变量X的分布函数为

F（x）pkx

【1,

x：

：

0一x：

：

x_1.

求:

（1）系数k;

（2）P'O3乞X<1.3?

;（3）

概率密度f（x）.

解：

⑴问一卩⑴二呵卫二―呵下⑴二1

（2）P{0.3：

x：

：

1.3}二F（1.3）—F（0.3）=1—0.32=0.91

⑶f（x）」2x0：

爲：

.0其他

11•设K在（1,6）上服从均匀分布，求方程xKx^0有实根的概率.

解：

方程有实根，即厶=k?

—4_0,k_2ork岂-2

6—24

.所求的概率为：

p=P{k_2}•P{k_-2}0=

6-15

12•设某种电子元件的使用寿命X（以小时计）的概率密度为

某仪器内装有3个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），试求：

（1）使用的最初150小时内没有一个电子元件损坏的概率；

（2）这段时间内只有一个电子元件损坏的概率.

1501001

解：

最初150小时内一个电子元件损坏的概率为：

P{X:

：

150}rdx--

』100x23

设Y:

最初150小时内电子元件损坏的个数，则YLB（3,-）

f1V（2Y

故

（1）P{Y=0}=c3I

2丿2丿

（2）PY二

13•设随机变量X在（2,5）上服从均匀分布•现对X进行三次独立观测，试求至少有两次

观测值大于3的概率.

5—32

解：

P{X3}=——=_

5-23

设Y:

三次观测中观测值大于3的次数，则YLB（3,—）

故所求概率为：

“2}£2{|）田吃{|）=20

14.设X~N（T,16），试求：

（1）P-1.5〉;

（2）MX<4};（3）P1I

-15+1

解：

（1）P{X-1.5}=1-讥）=1一（1一「（0.125））=0.5498

⑵P{X£4}=①（1.25）—①（-0.75）=①（1.25）+①（0.75）—1=0.6678

（3）P{X-11}=P{X2orX：

0}=1-：

：

」（0.75）「（0.25）=0.8253

15.某产品的质量指标X~N（160,；「2），若要求P「120：

：

200?

_0.8，允许二最大为

多少?

解：

P{120：

：

200H:

：

j（40^:

^-40H^j（40）一1_0.8

eract

.（坐）_0.940_1.28（1.29）,；：

.一-31.25（31.01）

16•测量至某一目标的距离时发生的随机误差X（米）的概率密度为

f（x）：

—1e3200,

40、；2兀

求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率.

解：

XLN（20,402）

一次测量误差的绝对值不超过30米的概率为:

P{X|£30}=①（0.25）—6（-1.25）=0.4931

设Y:

在三次测量中误差的绝对值不超过30米的次数，则YUB（3,0.4931）

（2）

所求概率为：

P{Y_1}=1—P{Y=0}=1-（1-0.4931）3=0.8698

-2

-1

（1）

丫=—2X

；

（2）丫2

=X2的分布律.

）

=-2X

-6

-2

17.设随机变量X的分布律为

试求:

解：

（1

丫2"

18•设随机变量X~N（0,1），求:

Y二arctanX的概率密度；Y=X的概率密度.

x=h（y）=e2,h（y）二

y_o

再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同.以

14c

故由定理可得，Y--2lnX的概率密度为:

f,y）心y0!

习题二

1.一口袋中装有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3•从这袋中任取一球后，不放回袋中,

X,Y分别表示

（1）确定常数k；

（2）求P{X:

1,Y:

3}；（3）求P{X：

：

1.$；（4）求P{X丫一4}.

f（x,y）=彳

「2e七七y）,xA0,y〉0,.0,其它，

（1）求分布函数F（x,y）；

（2）求概率P{Y乞X}.

解：

⑴F（x,y）=juUf（u,v）dudv

当x0,y0时，F（x,y）=；：

2八叫山八时沆打/匕弋-/心-尹）

当x,y取其他值时，F（x,y）=0

--x

⑵P{YEX}二0dx°2e"2y）dy二r

x0,y0

其他

丄

2）dV

4•求第1题中随机变量（X,Y）的边缘分布律.

解:

—

5.设随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）=<

2+xy

x+——

g"1”"2,求关于x

其它

和关于Y的边缘概率密度。

解：

fx（X）二

（x

.__f（x,y）dy二0

=2x22x

0_x_1

其他

fY（y）二

a.y

（x

f（x,y）dx二0

其他

6•设随机变量

（X,Y）具有概率密度

f（x,y）

求边缘概率密度fX（x）,fY（y）•

解:

其它，

ie^dv=efx（x）f（x,y）dy二x

-x

e今dx=ve^

fy（yK..fx（ydx）0

x乞0

y乞0

试问：

当取何值时,

7.设随机变量X和Y的联合分布律为

X与Y相互独立?

解：

X与Y相互独立，则有

=（）-

（—-）1

183

巳=P2卩4即

Bi=P3•R即=

&设随机变量（X,Y）在区域G上服从均匀分布，其中

G由直线y=x,y二-x,y=2所围

成.

（1）求X与Y的联合概率密度；

（2）求X、Y的边缘概率密度;

（3）问X与Y相互独立吗？

为什么？

解：

⑴G的面积A42=4

⑶不是相互独立的。

因为不恒成立f（x,y）二fx（x）fY（y）

9•设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

y0,

0,y<0.

（1）求（X,Y）的概率密度f（x,y）；

设含有t的二次方程为t-2Xt•丫=0，求t有实根的概率.

e^dx=1-一云（门

（1）-门（0））=0.1445

10.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为

-1

0.6

0.4

0.2

0.3

0.5

试分别求Z1

和Z2

=max（x,Y）的分布律.

解：

0.12

0.18

0.3

0.08

0.12

0.2

（X,Y）

（0,-1）

（0,0）

（0,1）

（1,-1）

（1,0）

（1,1）

-1

乙=X十Y

Z2=max（X,Y）

乙二max（X,Y）的分布律为

乙

-1

0.12

0.18

0.42

0.2

.乙^XY的分布律为:

X和Y是两个相互独立的随机变量,

11•设

fY（y）

0.3

0.7

X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的概率密度

‘5e“y,y>0,

0,y".

试求Z

=XY的概率密度.

解：

fX（X）=!

0：

：

x0.2

其他

fz⑵=fXfY

-be

「jX（X）fY（z-X）dx

ZqzXdx=5（1—e^z）,

才J°55e

广55eA3）dx=5（e_1）e」z,

z_0,

0：

z_」.

12•设随机变量X和Y相互独立，X在（0,1）上服从均匀分布，Y在（0,2）上服从均匀分布,

求Z1二max（x,Y）和Z2=min（X,Y）的概率密度.

x：

：

解:

Fx（x）二

x-1

FY（y）二2

y-2

Fmax⑵二Fx（Z）Fy⑵二

：

z-2

r11

fmaG）二F⑵a二x-l0

其它

■Fmin（z）=1-[1-Fx（z）][1-Fy（z）]=1_（仁z）（仁自!

z_1

—-z

fmin⑵=Fmin⑺=2

0_z：

：

其它.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

-1

求E（X）,E（-X1）,E（X2）.

展开阅读全文