数学发展史.docx

数学发展史.docx

《数学发展史.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学发展史.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学发展史

数学发展史

我们伟大的祖国，作为世界四大文明古国之一，在数学发展的历史长河中，曾经作出许多杰

出的贡献。

这些光辉的成就，远远走在世界的前列，在世界数学史上享有崇高的荣誉。

一、位置值制的最早使用所谓位置值制，是指同一个数字由于它所在位置的不同而有不同的

值。

例如，365中，数字3表示三百，6表示六十。

用这种方法表示数，不但简明，而且便于计算。

采用十进位置值制记数法，以我国为最早。

在考古发掘的殷墟甲骨文中，就曾发现13个记数单字，它们是用9个数字与4个位置值的符号，可以表示出大到上万的自然数，已经有了位置值制的萌芽。

到了春秋战国时期，我

们的祖先已普遍使用算筹来进行计算。

在筹算中，完全是采用十进位置值制来记数的，既比

古巴比伦的六十进位置值制方便，也比古希腊、罗马的十进非位置值先进。

这种先进的记数

制度，是人类文明的重要里程碑之一，是世界数学史上无与伦比的光辉成就。

二、分数的最早使用西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知

识，编成了《九章算术》。

在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则。

从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加

法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、约分（分数除法）的法则，与我们现在的分

数运算法则完全相同。

另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等

关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。

分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。

欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。

实际上，印度在七世纪婆罗门笈多的著

作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。

而刘徽的《九

章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，我们也要比印度

早400年左右。

三、小数的最早使用刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用

十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。

宋元时期，秦九韶、

李冶都将1863.2寸表示为，与现在的记法基本相同。

到公元1300年前后，元代刘瑾所著《律吕成书》中，已将106368.6312写成

把小数部分降低一行写在整数部分的后边。

而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进，如上述的小数，他记成或106368。

所以，我们完全可以自豪地宣称：

中国是世界上最先使用小数的国家。

四、负数的最早使用在《九章算术》中，已经引入了负数的概念和正负数加减法则。

刘徽说：

“两算得失相反，要令正负以名之”，这是关于正负数的明确定义，书中给出的正负数加减法则，和现在教科书中介

绍的法则完全一样。

这些内容出现在书上的《方程章》中，是为解方程（组）服务的，

如该章的第八题是：

今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以

买九羊，钱适足；卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。

问牛、羊、豕价各几何？

其解法为：

术曰：

如方程，置牛二、羊五正，豕十三负，余钱数正：

次置牛三正，羊九负，

豕三正；次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。

以正负术人之。

这里所说的意思就是：

若每头牛、羊、豕的价格分别用x、y、z表示，则可列出如下的方程然后利用正负数去计算结果。

在方程的各项系数及常数项中都出现了负数，在世界上率先把负数运用于计

算之中。

在国外，有很长时期认为负数是一种“荒谬的数”，被摒弃于数的大家庭之外。

直到公元7世纪，印度的婆罗门笈多才开始认识负数，欧洲第一个给予正负数以正确解释

的是斐波那契，但他们已分别比我们的祖先晚七百多年和一千年左右。

然后利用正负数去计算结果。

在方程的各项系数及常数项中都出现了负数，在世界上率

先把负数运用于计算之中。

在国外，有很长时期认为负数是一种“荒谬的数”，被摒弃于

数的大家庭之外。

直到公元7世纪，印度的婆罗门笈多才开始认识负数，欧洲第一个给予

正负数以正确解释的是斐波那契，但他们已分别比我们的祖先晚七百多年和一千年左右。

五、二项式系数的规律的最早发现。

1261年，为0—6的二项式系数—一列出，并且指明，“开方作法本源出《释锁算书》，贾宪用此术。

”贾宪是北宋时期的数学家，生平不详，

大约生活在11世纪上半叶，这就是说，我国早在11世纪就已经认识了二项式各项系数的

规律。

现在，我们把这个规律简称为“贾宪三角形”。

在国外，直到15世纪，阿拉伯的数学家阿尔?

卡西才用直角三角形表示了同样意义的三角形。

1527年，德国人阿皮亚纳斯在其所著的一本算术书的封面上也曾印有这个二项式系数表。

16、17世纪，欧洲还有许多数学家也都提出过类似贾宪的三角形，其中以帕斯卡最为有名，欧洲人把这种二项式系数表称

为“帕斯卡三角形”，但那已经是1654年的事了，时间要比贾宪晚600多年，就是与杨辉相比，也要落后近400年。

当然，在世界数学发展史上，中国数学的“世界之最”远远不止上面介绍的五个方面。

但由此可以看到，我们的祖国是一个历史悠久的文明古国，我们中华

民族是一个对世界文明的发展作出过许多贡献的伟大民族，我们的祖先在数学方面所取得的

辉煌业绩，必将彪炳千古，为世界各国人民所赞颂。

六，数的概念。

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对

客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。

这样，在漫长的生活实践中，由于记事和

分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同

做过的事。

我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打

结来计算天数。

用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办

法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。

数的概念最初不论在哪个地区

都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。

实际上，罗马数字的符号一共只

有7个：

I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变

的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：

1．重复次数：

一个罗马数字符号重复

几次，就表示这个数的几倍。

如：

"III"表示"3"；"XXX"表示"30"2．右加左减：

一个代表大数

字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。

一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字

的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495。

3．上加横线：

在罗马数字上加一

横线，表示这个数字的一千倍。

如：

""表示"15,000"，""表示"165,000"。

但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。

让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。

他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。

因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是

世界所以美好和谐的源泉。

他们所说的数是指整数。

分数的出现，使"数"不那样完整了。

但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。

但是学派中一个叫希帕索斯的学

生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。

如果设

这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。

他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，

这个数肯定是存在的。

可它是多少？

又该怎样表示它呢？

希帕索斯等人百思不得其解，最后

认定这是一个从未见过的新数。

这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲

学思想的核心。

为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。

而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。

据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。

然而真理

是藏不住的。

人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的

一个。

人们把它们写成π、等形式，称它们为无理数。

数的概念发展到虚和复数以后，在

很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到

齐了。

可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。

所谓四元数，就是一种形如的数。

它是由一个标量（实数）和一个向量（其中x、y、z为实数）

组成的。

四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。

与此同时，人们

还开展了对"多元数"理论的研究。

多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。

由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究

推向新的高峰。

这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，

人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。

尽管人们对数的

归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。

到目前为止，

数的家庭已发展得十分庞大。

微积分的发展

微积分

微积分英文名：

Calculus

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函

数和极限的基础上的。

极限和微积分的概念可以追溯到古代。

到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数

学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的

无穷小量，理论基础是不牢固的。

直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康

托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济

学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明

更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了

变量由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就

继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重

要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

的概念后，就有可能把运

动现象用数学来加以描述了

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积

和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来

说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记

有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结

起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速

度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大

的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究

工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；

意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在

自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

他们的最

大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），

一个是求积问题（积分学的中心问题）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分

析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考

虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指

出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静

止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出

的中心问题是：

已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给

定时间内经过的路程（积分法）。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适

用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。

就是这样一片说理也颇含糊的文

章，却有划时代的意义。

他以含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发

表了第一篇积分学的文献。

他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远

远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。

现在我们使用的微积分通用符号就是

当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积

分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，

竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。

英国数学在

一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发

展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。

比较特殊

的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。

他们的研究各有长处，也都各有短处。

那时候，由于民族偏见，

关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨

的工作也都是很不完善的。

他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。

牛顿

的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。

这

些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建

立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微

积分的坚定基础。

才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。

在微积分的历史上也闪

烁着这样的一些明星：

瑞士的雅科布?

贝努利和他的兄弟约翰?

贝努利、欧拉、法国的拉格朗

日、科西……

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数

学，是数学中的大革命。

微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问

题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容

本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把

数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积

分。

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：

极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：

定积分、不定积分等。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律

导出了开普勒行星运动三定律。

此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推

动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用

科学各个分支中的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助

于这些应用的不断发展。

一元微分

设函数y=f（x）在某区间内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy=f（x0+Δx）?

f（x0）可表示为Δy=AΔx0+o（Δx0）（其中A是不依赖于Δx的常数），而o（Δx0）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f（x）在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。

于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。

函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

因此，导

数也叫做微商。

几何意义

设Δx是曲线y=f（x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元积分

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应用上，积分作用不仅如此，

它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性

质决定的。

其中：

[F（x）+C]'=f（x）

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。

它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

（组）：