立体几何解答题汇总及答案docx.docx

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立体几何解答题汇总及答案docx

立体几何

1.如图，四边形ABCD为正方形，PD上平面ABCD,PD/7QA,

QA=AB=-PD.（I）证明：

平面PQC_L平面DCQ（II）求二面

角Q-BP-C的余弦值.

2.如图，在三棱柱ABC-A^C,中，H是正方形AA^B

的中心，M,C.H±平面AAXBXB,且C】H=H.（I）求异面直线AC与AB所成角的余弦值；（II）求二面角A-AC-£的正弦值；（UI）设N为棱B]C]的中点，点M在平面AA.B.B内，旦MN1

平面\BXC,求线段的长.

3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ZACB=90°,

EA±平面ABCD,EF〃AB,FG〃BC,EG〃AC.AB=2E

F.（I）若M是线段AD的中点，求证：

GM〃平面ABFE;（II）

若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

4.如图5,在椎体P-ABCD中，A3CQ是边长为1的棱形ZDAB=60°,PA=PD=y/2,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点，

（1）证明：

AO1平面。

时

（2）求二面角P-AD-B的余弦值。

5.如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD憧，点。

在线段AD±,OA=1,OD=2,MOAB,AOAC,

△ODE,△ODF都是正三角形。

（I）证明直线BC//EF；（II）求棱锥F-OBED的体积。

AB=2,AA,=4,E^jAA1的中点，F为BC中ABC—人占弓点•（【）求证：

直线AF1/

平面（II）求平面BEG和平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿对角线BD把△A8Z）折起，使A移到A点，过点Ai作平面BCD,垂足。

恰好落在CD上

（1）求证：

BC^AtDi

（2）求直线AiB与平面BCD所成角的正弦值.

8.如图，PA_L平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,PD与平面ABCD所成

角是30°,点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（I）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；（II）证明：

无论点E在边BC的何处，都有PE±AF;（HI）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.

9.如图，在四棱锥S-ABC。

中，底面ABCD为平行四边形，平

ABCD,AB=2,AD=1,Sb2,ZBAD=120,E在棱S。

上.（I）当SE=3ED时，求证SOI平面AEC;（II）当二面角

S-AC-E的大小为30。

时，求直线AE与平面CDE所成角的大小.

10.如图，在三棱柱ABC-A01G中，ABLAC,顶点劣在底面上的射影恰为点3,S.AB=AC=AtB=2.（I）证明：

平面A/C±平面AB®（II）求棱AA与3。

所成的角的大小；（III）若点P为BG的中点，并求出二面角P-AB-A,的平面角的余弦值.

11.已知平行四边形ABCD中，48=6,AD=10,BD=8,E是线段AD

的中点.沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D,使得平面BC'D±平面ABD.（I）求证：

C'D_L平面ABD；（II）求直线3。

与平面BEC'所成角的正弦值；（in）求二面角D-BE-C的余弦值.

12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，ABHCD,

ABVAD,APAB和△PAO是两个边长为2的正三角形，DC=4,。

为BZ）的中点，E为PA的中点.（I）求证：

PO1.平面ABCD,（II）求证：

OE〃平面PDC；（III）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.

13.如图，已知菱形ABCD的边长为6,

ZBAD=60°,AC^BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3^2,得到三

棱锥B-ACO.（[）若点M是棱3C的中点，求证：

〃平面ABD；（II）求二面角A-BD-。

的余弦值；（IH）设点

N是线段3Q上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=瑚,并证明你的结论.

14.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，

AB/7EF,ZEAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,啊ABFE1平面ABCDo

（1）若点0为线段AC的中点，求证：

OF//平面ADE；

（2）求平面BCF与平面DCF所夹的角。

15.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，

ZABC=ABCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,侧面PBC1底面

ABCD,。

是BC的中点。

（1）求证：

PO1平面ABCD；

（2）求证：

PALBD.（3）若二面角D—PA—O的余弦值为匹,求PB的长5

16.如图，在三棱柱ABC-A^Cr中.

（1）若证明：

平面

AB^l.平面A1BC”

（2）设。

是BC的中点，E是为％上的一点，且力出〃平面求箫的值.

17.

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

/A=45°,/C=90°,ZADC=105°,AB=BD，现将四边形

ABCD沿BD折起，使平面ABD±平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点.（I）求证：

DC_L平面ABC；（II）求BF与平面ABC所成角的正弦；（III）求二面角B-EF-A的余弦.

18.在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=4,

CD=3,E为AB中点，过E作EF_LCD,垂足为

F,如（图一），将此梯形沿EF折成一个直二面

角A-EF-C,如（图二）。

（1）求证：

BF//平

面ACD；

（2）求多面体ADFCBE的体积。

答案

1.解:

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.

（I）依题意有Q（1,1,0）,C（0,0,1）,P（0,2,0）.

则De=（l,l,O）,DC=（0,0,1）,PQ=（1,-1,0）.

所以坂•DQ=Q,PQDC=Q.

即PQ_LDQ,PQ±DC.

故PQL平面DCQ.

又PQu平面PQC,所以平面PQC±平面DCQ.6分

（II）依题意有B（1,0,1）,瓦=（1,0,0）,序=（—1,2,—1）.

设〃=（x,y,z）是平面PBC的法向量,

"竺即n•BP=0,

设m是平面PBQ的法向量，则＜

m•BP=0,m-PQ=0.

可取m=（1,1,1）.所以cos<

V15m.n>=

V15

故二面角Q-BP-C的余弦值为-七

12分

2.本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：

如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

依题意得4（2^2,0,0）,3（0,0,0）,C（V2,-V2,^5）

A（2V2,2很,0）,B,（0,2^2,0）,C,（V2,V2,,）

（I）解：

易得AC=（-V2,-V2,V5）,=（-2V2,0,0）,

ACM

IACI-14^1

4_V23x2^2-3

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.

（II）解：

易知葫=（0,2扼,0）,柘=（一扼,—扼,詹）.

设平面AAiCi的法向量m=（x,y,z）,

m-AC,=0-V2x-^ly+V5z=0,

则〈—.即〈/-

m-AAX=02\l2y=0.

不妨令x=后,可得m=（V5,0,V2）,

同样地，设平面ABC的法向量n=（x,y,z）,

n•AC,=0,

11即＜n•Aj5]=0.

—yp2.x—+y[5z=0,

-2^2%=0.

可得〃=（0,后,很）.

从而sin{m,

所以二面角A—AC—B的正弦值为

（III）由N为棱BO的中点，得N（手，半，亨），设M（,a,b,0）,贝U

3.【解析】（I）连结AF,因为EF〃AB,FG〃BC,

易证得F0/7EA且FO=-a,所以BF=^~a，所以=，所以在

222^63

RtACOH中,tanZCHO=——=故/CHO=60°,所以二面角A-BF-C的大小为OH

60°.

4.【解析】法^:

（1）证明：

取AD中点G,连接PG,BG,BD。

因PA=PD,有PG1AD,在AA3O中，AB=AD=1,ZDAB=&）°,有为等

边三角形，因此BGLAD,BGcPG=G,所以AD1.平面

PBGnAD1PB,AD1GB.

又PB//EF,得ADLEF,而DE//GB得ADIDE,又FEcDE=E,所以AD【平

面DEFo

（2）VPG1AD,BGLAD,

.ZPGB为二面角P—AD—B的平面角，

在Rt^PAG中,PG?

=PA2-AG2=-

在RtAABG中，BG=AB-sin60°=—

73.

•••Cos/PG3="+3G2一财=4+f；0V7V322

法二：

（1）取AD中点为G,因为PA=PD,PGLAD.

又AB=AD,ZDAB=60°,AABD为等边三角形，因此，BGLAD,从而AD±平

面PBG。

延长BG到0且使得PO10B,又P0u平面PBG,PO1AD,ADcOB=G,

所以PO_L平面ABCD。

以0为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB,0P分别为x轴,z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设P（0,0,m）,G（〃,0,0），则A伽,—0）,£（（〃,：

0）.

—-—-V3

•.•IGB1=1ABIsin60=0^

.•.3（〃+§,0,0）,C（〃+§,1,0）,E（m+^，!

，0）,F（；+¥，!

，

由于而=（0,1,0）,而=（争,0,0）,豆=弓+手,0,一

得ADDE=0,ADFE=0,AD2DE,AD_LFE,DEcFE=E

AD-L平面DEFo

—1—V3

（2）*.*PA=（n,——=（n+-^-,0,-m）

+〃2+'=yj2,^（n+~~）2+=2,解之得m=l,n=

取平面ABD的法向量％=（0,0,—1）,

设平面PAD的法向量沔=（Q,b,c）

bkR心

—c=Q,PD,riy—0,—qc=0,

2222

.~TV21

..cosvri,,〉一—

VI-

【命题意图】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【解析】（I）（几何法）设G为线段DA与线段既延长线的交点.由于AOAB与AODE都是

正三角形，AOBZ/DE且OB=^DE,0G=0D=2,

同理，设G'是线段DA与线段FC延长线的交点，有0G=0D=2,又由于G和G'都在线段DA的延长线上，...G与G'重合，

在AGED和AGFD中，由OB//-DE和OC//上OF,可知，B、C分别是GE和GF的中点,=2=2

BC是AGEF的中位线，BC//EF.

（坐标法）过F作FQXAD,交AD于点Q,连结QE,

•.•面ADFCX面ABED,/.FQX面ABED,以Q点为坐标原点，

QE^jx轴正方向，QD^jy轴正方向，辱为z轴正方向，建立如图空间直角坐标系，

由条件知£（73,0,0）,

F（0,0,V3）,3（季一乎,0）,C（0,一争,*,则BC=（一争,0,*,EF=（-^3,0,73）,EF=2BC,BC//EF.

（II）解：

由。

B=L0E=2,E=6。

。

知j顼，而皿。

是边长为2的正三角形,故SAOED=.S四边形OBED一\OBE+\OED，

过F点作FQXAD,交AD于Q,L.面ABEDX面ACFD,AFQX面ABED,FQ就是四棱锥F-OBED

的局，且FQ=V^'••Vf—OBEDXS四边形obed=a•

QEF=面酢FIBEFC:

.BC//EF

6.法一（I）取BG的中点为R，连接RE,RF,

则RFHCC},AEHCC},且AE=RF,3分

则四边形AFRE为平行四边形，

则AF//RE,即4F〃平面REC】.6分

（II）延长。

占交C4延长线于点Q,连接

则。

3即为平面BEG与平面A3。

的交线，

RBCIBQXrB1BQ,

则ZC.C为平面BECi和平面ABC所成的锐二面角的平面角.……8分

在ASCG中，cosZC[BC=&=当.12分

法二取BC】中点为S,连接FS,

以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，

则A（V3,0,0）,fi（0,l,0）,F（0,0,0）,C（0-1,0）,

A（心,0,4）,B[（0,1,4）,C（0,-l,4）,E（心,0,2）,2分

（I）则花=（-V3,0,0）,BE=（V3-1,2）,5C\=（0-2,4）,

设平面BEG的法向量为m=（明双，勺），

则m-~BE=Q^i-~BCx=0,即[相明—乂+2勺=0耳分

[―2为+4勺=0

令山=2,则X]=0,Z]=l,即m=（0,2,1）,所以AF-m=0,

故直线AF〃平面BEG.

（II）设平面ABC的法向量"=（0,0,1），

12分

7.解：

（1）因为&O_L平面BCD,BCu平面BCD,:

.BC±AXO,

因为3C_LCO,AXO^CD=O,:

.BC1面1C

因为&Ou面AC。

，Z.BCXA1D.（6分）

（2）连结3。

，则ZA1B。

是直线与平面3CO所成的角.

因为AiD±AiB,AXB^BC=B,:

.AXD±面C.A〈u®AiBC,:

.AXD

5C.

在RtADAiC中，AiD=3,CD=5,•,.A1C=4.

iiI?

根据SZkAiC£）=KiDAiC=牙liOCD,得到&0=石，

...zAiO512

在RtAAiOB中，sinZA]BO=_.

A\djZj

所以直线与平面BCD所成角的正弦值为芸.（12分）

8.思路点拨：

本题是一个开放型问题，考查了线面平行、线面垂直、二面角等知识，考查了同学们解决空间问题的能力。

（I）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；

（II）通过证明AF±平面即可解决；

（III）作出二面角的平面角，设出BE的长度，然后在直角三角形DCE中列方程求解BE的长度。

本题也可利用向量法解决。

解：

解法一：

（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.——1分

•..在APBC中，E、F分别为BC、P3的中点，:

.EF〃PC又时＜Z平面PAC,

而PCu平面PAC:

.EF//平面PAC.4分

（II）证H|：

vPA±平面ABC。

，BEu平ffiABCD,

EB±PA,X1AB,ABAAP=A,/.EB±,

又AFu平面PAB,:

.AF1BE.6分

又PA=AB=l,点F是P3的中AF±PB,//\V

又•：

PBcBE=B,PB,BEu平面PBE,:

.AF±平面P3E.1，^^^:

PEu平面PBE,AFLPE.

（Ill）过A作AGLDE于G,连PG,又...DELPA,则DE［平面PAG,则ZPGA是二面角P-DE-A的平面角,

AZPGA=45°,10分

PD与平面ABCD所成角是30°,ZPDA=30°,

AD=V3,PA=AB=1.

AAG=\,DG=^2,设BE=x,则GE=x,CE=&x,

在Rt^DCE中，（扼+x）2=（0—x「+12,

得BE=x=&4i.12分

解法二：

（向量法）（I）同解法一4分

（II）建立如图所示空间直角坐标系，贝IJP（0,0,1）,

3（0,1,0）,尸［。

，!

}

设BE=x,贝iJE（x,l,0）

TT11

PE-AF=（x,l-1）•（0,-,=0?

.AF±PE8分

（III）设平面PDE的法向量为m=（p,q,l）,由m-PD=0得：

顷・PE=0

而平面ADE的法向量为AP=（0,0,1）,

•・・二面角P-DE-A的大小是45°，所以cos45

ImIIAPI

12分

得BE=x=&也或BE=x=V3+V2舍）.

归纳总结：

无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直）,

这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行

（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。

而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容。

9.解：

（I）在平行四边形ABCD中，由AD=1,CD=2,ZBAD=120°,

易知CALAD,2分

又S4L平面ABCD,所以寄［平面SAD,:

.SDLAC,

在直角二角形S4B中，易得SA=也,

在直角二角形SAO中，ZADE=60°,SD=2,

又SE=3ED,:

.DE=~,2

可得AE=VAD2+DE--2AD-DEcos60°

SD1AE,5分

又•:

ACP\AE=A,:

.SD1平面AEC.……6分

（II）由（I）可CALSA,CALAE,

可知ZEAS为二面角E-AC-S的平面角，

过A作AF1CD，连结SF测平面SAFL平面SCD,作AG1SF,则AGL平面SCD，连结EG,可得ZAEG为直线AE与平面SCD所成的角.

因为AF==SA=g,

V3rz

—xV3r

所以AG=2io分

V155

在RtKAGE中，tanZAEG=—=^~,

AE5

直线AE与平面CDE所成角的大小为arcsin

解法二：

依题意易知CA1AD,SA_L平面ACD.以A为坐标原点，AC、AD>SA分别为轴建立空间直角坐标系，贝U易得A（0,0,0）,C（V3,0,0）,0（0,1,O）,S（O,0,73）,

了丁

（I）山SE:

ED=3奉E0,-,—,3分

I44；

SDAC=0

易得一一，从而S01平面SDAE=Q

ACE.6分

（II）由AC_L平面SAD,二面角E-AC-S的平面角

ZEAS=30°.

又ZASD=30°,则E为SD的中点，

（1后）

即E0,-,—,8分设平面SCO的法向量为〃=（X,y,z）

n-DC=-\/3x一y=0,/厂\

一L，令Z=1得"=（1,711n-SD=y-V3z=0.，'/

12分

10分

—.AEn0-1+-V3+-—-1应

从而cos=；=1=~-——=

\AE\\n\1-V55

所以AE与平面SCD所成角大小为arcsin

415

~5~

12分

10.证明：

（I）AXB±面ABCAC,--

又ABLAC,ABAA.B-B

AC_L面AB[B,—

/ACu面A.AC,.I平面AXAC_L平面AB{B；-

（II）以』为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（2,0,0）,3（0,2,0）A】（0,22）B{（042）,C/2,2,2）

葛=（0,2,2）,BC=B^Cl=（2,-,20）——6分

'*.AA,.BC—4

cos〈AA],BC）=

3分

•4分

间.阿

8-V82

•8分

-9分

沿直线BD将△BCD翻折成△BCD

可知CD=6,BC=BC=10,BD=8,

即BC'1^C'D-+BD-,

故CD±BD.

•..平面BCD±平面ABD,平面BCDPl平面ABD=BD,C'Du平面BCD,

故AA与棱BC所成的角是专.

（III）因为P为棱的中点，故易求得尸（1,3,2）.

设平面PAB的法向量为％=（X,y,＜）,

10分

・.・直线8D与平面BEC'所成角的正弦值为ML

（III）由（II）知平面BEC'的法向量为£=（3,4,4）,

而平面DBE的法向量为DC'=（0,0,6）,

因为二面角D—BE—C'为锐角，所以二面角D-BE-C的余弦值为时可

12.解（I）证明：

设F为DC的中点，连接8F,则DF=AB

ABVAD,AB^AD,ABIIDC,

四边形ABFO为正方形，

；O为BD的中点，

：

.O为AF,BD的交点，

PD=PB=2,

.PO±BD

'：

BD=^AD2+AB2=2V2,:

.PO=-BO'=V2,AO=-BD=41,

在二角形PAO中，P（?

2+A（?

2=PA2=4,:

.POLAO,4分

VAOC\BD=O,:

.PO±平面ABCD-.5分

（II）方法1：

连接PF,•；0为AF的中点，E为

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