专插本高等数学例题和习题ch2导数计算及应用.docx

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专插本高等数学例题和习题ch2导数计算及应用

　　　　　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　第二章导数计算及应用　　本章主要知识点　　?

　　导数定义　　复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用　　一、导数定义　　函数y?

在x?

x0处导数定义为　　f（x0?

h）?

f（x0）　　h?

0hf（x0?

h）?

f（x0）左导数f?

（x0）?

lim　　h?

hf（x0?

h）?

f（x0）右导数f?

（x0）?

lim　　h?

h　　f?

（x0）?

lim?

（x0）,f?

（x0）有限且f?

（x0）?

（x0）导数f?

（x0）存在?

分段点求导必须应用定义。

两个重要变形：

x0）?

lim1.f求f?

；研究f?

在x?

0处的连续性。

解：

2xsin11?

x2cos?

cosx，xxxf?

2xsin11?

cos?

cosxxx?

　　12hsin?

sinhf?

1hf?

lim?

limhsin?

1。

0h?

0hhh11limf?

lim2xsin?

limcos?

1　　x?

0x?

0xx?

0x1limf?

limcos，不存在，x?

0x?

0x故f?

在x?

0处不连续，且为II类间断。

　　3.高阶导数与微分　　高阶导数　　d2yd?

dy?

yy?

，y?

dxdxdx?

dx?

几个常用公式　　?

ax?

sinx?

nn!

ax?

an　　n?

sin?

cos?

cosx?

27/49

　　　　　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　e?

ne?

x　　?

cnuvii?

0nn?

莱伯尼兹公式?

uv?

　　例y?

xe?

2x，求y?

解：

2x?

2x　　y?

2x?

2e?

2x?

4x?

（0）?

4　　10例y?

x2ex，求y?

　　解：

10?

c10?

x2?

010?

10?

x2ex?

20xex?

90ex　　1?

，求y　　?

2x?

1解：

2x?

例．y?

2x?

1121?

　　5x?

252x?

1y?

2x?

！

n1?

2　　5?

15?

2x?

1nn?

例．y?

ln?

2x?

，求y　　解：

22x?

1y?

2n?

2　　?

nn?

2x?

128/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　例．f?

cos2x，求f2解：

cosx?

50?

cos2x2f?

1nn?

1x?

cos2x?

2cos2x?

22?

f（50）（0）?

249cos（25?

）?

249　　例．f?

sin5xcos2x，求f（n）?

解：

sin7x?

sin3x?

2f?

1nn?

7sin?

7x?

22?

1n?

3sin3x?

一阶微分　　定义：

对于函数y?

f（x），如果存在常数A，使得：

　　f（x0?

x）?

f（x0）?

o（?

x）?

　　则称f（x）在x?

x0处可微。

　　成立：

在x?

x0可导?

可微，且dy?

（x0）dx。

　　dy?

dx可作为微分求解公式。

　　例．y?

xsin2x，求dy|解：

sin2x?

2xcos2x　　x?

2　　y?

（）?

sin?

cos?

dy?

（）dx?

dx。

　　2sin2x例．y?

，求dy。

　　x2xcos2x?

sin2x2xcos2x?

sin2xdy?

dx解：

，22xx?

2例．f（x）?

xe,x?

0，求df|x?

0　　?

xsinx,x?

0　　29/49　　2第二章导数计算及应用　　　　　　　　解：

（0）?

lim?

0f（h）?

f（0）　　hh2e?

limh?

h22?

0，　　f（h）?

f（0）hsinhf?

lim?

0，?

0hh故f?

（0）?

0，所以dy|x?

dx?

0。

例．利用微分近似计算。

解：

令?

x0?

0,f（x）?

ex，　　则?

ex0?

f’（x0）?

x0=1?

。

　　4、求导中若干特别问题奇偶函数导数　　结论：

奇函数的导数为偶函数。

　　例．f为奇函数，f?

（?

2）?

5,f?

（?

5）?

（5）。

　　例．f（x）为可导函数，则f（x）?

f（?

x）的导数为。

dlnx?

1dxx　　（ln（x?

x2?

a））?

m1x?

a2f（x）?

（x?

a）|（x?

a）|,（n为奇），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1.例．f（x）?

（x?

2x?

3）|（x?

3）（x?

1）|导数最大阶数为。

（u（x）v（x）n23）?

（evlnu）?

u（x）v（x）（v?

lnu?

vu?

）u　　x例．y?

（sinx）,求y?

　　解：

（sinx）（lnsinx?

xcotx）符号型求导　　2例y?

f（f（x））,求y?

。

　　x解：

（f（x））?

2f?

（x2）?

2x　　30/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　三、隐函数、参数方法求导　　1．隐函数求导　　方程F（x,y）?

0确定的函数y?

y（x），隐函数求导可看成复合函数求导的特例。

例．xy2?

ey?

sin（3x?

2y）?

x确定隐函数y?

y（x），求解：

方程两边对x求导得　　dy。

dxy2?

2yy?

eyy?

cos（3x?

2y）（3?

2y?

）?

1　　1?

y2?

3cos（3x?

2y）y?

y2xy?

2cos（3x?

2y）例．方程sin?

2x?

1确定隐函数y?

求y?

.　　2解：

sin?

2x?

1　　2　　方程两边对x求导，得：

cos?

2x?

2yy?

0　　　　y?

=　　?

2cos（2x?

y），式再对x求导，得：

　　2y?

cos（2x?

y）22?

sin?

2x?

cos?

2x?

2yy?

0　　sin?

2x?

4y2sin?

2x?

4cos2?

2x?

22y?

cos?

2x?

2y?

cos?

2x?

例．已知y?

方程（y?

1）e?

xe?

2e确定，求y?

（0）.　　xxyx22解：

将x?

0代入（y?

1）e?

xe?

2e，得到y?

3。

　　xxyx方程两端对x求导，得e（y?

1）?

xexxxyxy?

2ex，xy2ex?

（y?

1）ex?

exy?

xyexy2?

1。

，y0?

x2xy1e?

xe　　31/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　2．参数方程求导　　?

x（t）问题：

y（t）dyd2y,求,.　　dxdx2dyddy（）2（y?

）?

dydtdxdydtyt?

t求导公式：

==，=.?

2dxdxdxxt?

dxxt?

dtdt?

ln（1?

t2）dyd2y例．已知?

求,2.　　dxdx?

arctant11?

2dyyt?

t1?

t解：

===，　　2tdxxt?

21?

t2ddy1（）dydtdx1?

t22===.　　dx2tdx24tdt1?

t22?

tsint?

2d2ydy?

例．已知?

，求，，并给出时y?

y（x）的切线法线方程.2dx2dx?

tcostddy（）dyyt?

cost?

tsintdydtdx?

t2解:

==,2==，3dxdxxt?

sint?

tcostdx（sint?

tcost）dt2斜率k?

dy?

=2=?

，x0?

xt?

2，y0?

yt?

2，　　2dxt?

21222?

切线方程为y?

法线斜率k?

2（x?

2）。

22?

，法线方程为：

（x?

2）　　222?

dy?

1例．已知y?

y（x）?

确定，求。

tdx?

xt?

ye?

1解：

将方程中x,y分别看成为t的函数，分别对t求导得　　32/49

　　　　　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　dy?

dx2x?

2y?

2t?

dtdt　　?

　　dxdy?

et?

ety?

dt?

dt解得：

　　dx?

tet?

xy?

y2etdyt2?

x2?

xyet　　=，=ttdtdtxe?

tyxe?

tydydy/dtt2?

x2?

xyet所以==。

　　dxdx/dt?

tet?

xy?

y2et四、导数应用　　斜率和几何应用洛必达法则求极限　　函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线最大值，最小值与实际应用微分中值定理的应用证明不等式　　1．斜率与几何应用　　函数y?

在x?

x0处导数y?

（x）为切线斜率k，即k?

（x）,过点x0,f?

x0?

的切线方程为　　?

f（x0）=f?

（xo）（x?

x0）。

法线方程为y?

f（x0）=?

例．y?

xx，求过?

1,1?

的切线方程。

　　1（x?

x0）。

（xo）33x，k?

（1）?

223切线方程为y?

1=（x?

1）。

　　2解：

例．过点　　?

0,?

0引抛物线　　y的切线，求切线方程。

　　2解：

设切点为x0,1?

x0，因y?

=2x，　　y?

x2y=1?

x2?

x,1?

02033/49　　xOx0第二章导数计算及应用　　　　　　　　k?

（x0）?

2x0，　　切线方程为y=2x0x，　　2因为x0,1?

x0亦在切线上，所以　　?

22=2x0x0，x01?

x0?

1，x0?

1，　　所以，切线方程为y=±2x。

例．问函数y=　　1x?

哪一点?

x0　　图示　　上的切线与直线y=x成60角？

　　解：

设切线斜率为k2?

0，y=x，k1=1，tan?

=　　k1?

k21?

k2，3=　　1?

k1k21?

k2　　解得：

k2=?

3，y?

11=，解得：

=.?

3x2x2?

32．洛必达法则　　洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。

它是求极限问题非常重要的一个题型。

　　洛必达法则：

若limf（x）?

0,limg（x）?

0,且在　　x?

ax?

aa的邻域附近g（x）,g（x）可导。

如果成立　　limx?

af?

（x）f（x）?

A,则lim?

A。

ag（x）g?

（x）0?

。

对于0?

，?

等必须变形为,形　　0?

注：

①洛必达法则处理的形式必须是未定式式。

　　②洛必达法则是一个充分性的法则，若limx?

af?

（x）不存在，则说明此方法失效。

（x）③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。

　　④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。

5注意其和连续，可导概念结合的综合题。

○例．limx?

0x?

sinx2tanx?

sinx12xx?

sinx1?

cosx2?

1解：

原式=lim?

lim?

limx?

0x?

03x2x33x26　　34/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　例．lim（x?

011?

x）xe?

1ex?

xex?

1x1解：

原式=lim?

lim?

2x?

0x（ex?

1）x?

0x?

0x2x2x2例．limxlnx　　x?

2lnxx?

1x2?

lim?

0解：

原式?

lim?

2x?

3x?

2x?

x例．limxe?

x　　x?

2解：

原式=limxx2e2xe11）例．lim（2?

0xsin2x（sinx?

x）（sinx?

x）解：

原式=lim22x?

0xsinxx?

lim1x2?

0　　1?

x2sinx?

xsinx?

xcosx?

12?

lim?

2lim?

2limx?

0x?

03x2x3x3x2311）例．lim（2?

2x?

0xtanxtan2x?

x2tan2x?

x2?

lim解：

原式=lim24x?

0x?

0xtan2xxtanx?

xtanx?

xsec2x?

12tan2x2lim?

2lim?

lim2?

lim32x?

0x?

0xx3x3x?

0x3　　例．limx?

sinx　　　　x?

sinx1?

cosx?

不存在　　x?

cosx解：

罗必塔法则，原式＝lim　　这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。

　　sinxx?

1　　原式=limx?

sinx1?

x1?

xlnx）例．lim（1?

0cscx　　1lnxx?

lim（?

x）?

0xlnx?

lim?

lim解：

limx?

1x?

xx2　　35/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　xlnxcscx1?

limlnx?

xlnx　　原式?

lim?

0　　?

（1?

xlnx）?

x例．lim?

0x解：

原式=lime?

0xlnx?

ex?

limxlnx?

e0?

1　　（xx-1）例．lim　　　　x?

x（xx）?

lim（exlnx）?

limexlnx（lnx?

1）?

解：

原式=lim?

0x?

01?

f（x）,x?

例．设f（x）有二阶连续导数，且f（0）?

0，g（x）?

x。

（0）?

0,x?

0证明：

g（x）有一阶连续导数。

解：

当x?

0时，g?

（x）?

xf’（x）?

g（x）,g?

在x?

0处连续2xf（h）?

（0）g（h）?

g（0）f（h）?

（0）h：

（0）?

lim?

limh?

0h?

0hhh2f?

（h）?

（0）f?

（h）f?

（0）?

lim?

0h?

02h22　　xf?

（x）?

f（x）f?

xf?

（x）?

（x）f?

（0）?

lim?

2h?

0x?

0h?

0x?

0x2x22f?

（0）所以limg?

（x）?

（0）?

，故g?

（x）在=0处连续。

02因limg?

（x）?

lim综上所述g（x）有一阶连续导数。

　　3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性　　a、单调性　　如果f?

（x）?

0,x?

I则f（x）在I上严格单调增加，f?

（x）?

0,x?

I，则f（x）在I上严格单调减少。

　　满足f?

（x）?

0的点称为驻点。

b、极大值，极小值　　判别?

如果在x?

x0的附近，当x?

x0，f（x）单调增加，x?

x0，f（x）单调减少，则f（x）在x?

x0取得极大值，反之取极小值。

　　36/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　判别II：

如果f（x）在x?

x0邻域存在两阶导数，且f?

（x0）?

0取极小值，f?

（x0）?

0取极大值。

极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。

　　c、凹凸法　　f?

（x）在I上存在，如果f?

（x）?

0，x?

I，则f（x）在I上向上凹；f?

（x）?

0，x?

I，则f（x）在I上向上凸。

　　d、拐点　　凹凸性发生改变的界点称为拐点。

它可能出现在f?

（x）?

0的点或f?

（x）不存在的点。

e、渐进线　　如果limf（x）?

A，则y?

A为y?

xx?

f（x）?

，则x?

a为y?

的水平渐近线；如果limx?

a的垂直渐近线。

　　有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为求定义域，渐近线；计算y?

；　　求y?

0，y?

0的点和找出使y?

不存在的点，设为x1,x2,?

xn；列表分析；结论。

　　例．分析函数y?

xe?

x的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。

　　解：

定义域为x?

R，　　?

x　　渐近线：

因limxe?

limx?

x1?

lim?

0　　x?

exx?

ex　　y?

0，即x轴为水平渐近线　　?

xy?

（1?

x）e　　y?

1e列表分析　　　　?

（1?

x）（?

1）e?

（x?

2）e?

x，y?

0得x?

1，y?

0得x?

2　　x（?

1）y?

y1极大值（1,2）?

2拐点?

（2,?

）?

2e?

xe在（?

1）上单调上升向上凸，（1,2）上单调下降，向上凸，（2,?

）上单调下降，向上凸，为极大值点，为拐点。

　　37/49

　　　　　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　1?

x2例．分析y?

的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。

21?

x解：

定义域x?

1，　　1?

x2?

1，所以y?

1为水平渐近线。

因limx?

x21?

x2?

，所以x?

1为垂直渐近线。

因limx?

11?

x22x（1?

x2）?

（1?

x2）（?

2x）4xy?

，?

222（1?

x）（1?

x）y?

x2?

4x?

x2?

2x?

12x2，　　?

24?

23y?

0得x?

0；当x?

1，y?

，y?

不存在。

列表分析　　　　x（?

1）?

1（?

1,0）?

y0极小值（0,1）?

1（1,?

）?

拐点?

x2　　函数在（?

1）上单调下降，向上凸；在?

1,0?

单调下降，向上凹；2　　1?

x　　?

0,1?

单调上升向上凹；（1,?

）单调上升向上凸。

0,1?

为极小值点，x?

1处为拐点。

　　例．已知函数f（x）?

alnx?

bx2?

x在x?

1与x?

2处有极值，试求a,b的值，并求f?

的拐点。

解：

2bx?

1,题意知f?

（1）?

0，f?

（2）?

0，得：

2b?

4b?

2解得：

21,b?

，36a21f?

2b?

0,解得x?

2。

　　x3x3当0?

2，f?

（x）?

0，向上凹，当x?

2时，f?

（x）?

0，向上凸，　　38/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　故x?

2为f（x）的拐点。

　　4．最大值、最小值与实际应用　　将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。

是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。

分析问题的流程为：

适当假设求解变量x。

函数关系y?

y（x）确定；　　y?

0求解，交待y最大、最小的理；　　合理分析。

　　注：

第二步是整个问题的关键步骤，（3）中的理部分可能是容易疏忽之处。

例．半径为R的半圆内接梯形，何时面积最大？

何时周长最长？

　　解：

设上底长度为2x，即OF?

x，如图所示，OE?

AE　　B　　R2?

x2，　　222D　　2O　　图示　　F　　C　　S（x）?

（2x?

2R）R?

x/2?

（x?

R）R?

x　　S’（x）?

R2?

x2?

（x?

R）?

2x2R?

x22?

R2?

x2?

x（x?

R）R?

x22　　S?

（x）?

0解得x?

R/2因为x?

R为唯一驻点，即为所求2此时Smax?

3322R2R/2?

R2422l（x）?

2x?

2R?

2BC?

2CF?

BF?

2（x?

R）?

2R2?

x2?

（R?

x）2　　?

2（x?

R）?

22R2?

2Rxl?

（x）?

2R22R?

2Rx2?

2R2R?

2Rx2，　　l?

（x）?

0得x?

R/2。

　　因x?

R/2为唯一驻点，即为所求，　　39/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　R?

R）?

22R2?

R2?

5R。

2例．半径为R的圆板，剪下圆心角?

围成一个圆锥漏斗，问?

为何角度时，使lmax?

2（得漏斗的容积为最大？

　　解：

设圆锥漏斗的下底半径为x，　　V（x）?

1SH?

x2R2?

R33x2OV?

（x）?

13?

（2xR2?

x2?

2x2R2?

x2）　　?

13?

x（2R2?

x2?

x2R2?

x2）　　图示　　V?

（x）?

0解得x?

舍去?

，x?

23R所以，符合题意的驻点是唯一的x?

2R　　3R，即为所求，x3O　　V123233图示　　max?

3R23R?

27?

R　　2?

2r2?

R推知?

xRR?

3R?

263?

。

例．设计一个容积为V＝16?

的立方　　圆锥贮油桶，已知单位面积造价：

顶、侧面、底面为1:

3，问尺寸如何设计使造价最低？

　　解：

设该圆柱形底面半径为r，高为h，顶单位造价为l，　　图示　　?

r2h?

V,得h?

r2?

16r2，总造价函数M?

r23l?

rh?

2l?

r2?

l（r2?

16r），　　M?

l（2r?

16r2）?

0，　　解得：

2；唯一驻点，即为所求，　　40/49　　体的有盖贮油桶的　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　此时h?

4。

r2　　例．已知某厂生产x件产品的成本为C（x）?

25000?

200x?

12x，产品产量x与价格40P之间的关系：

P（x）?

440?

1x20求：

要使平均成本最小，应生产多少件产品？

　　当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？

解：

平均成本　　C（x）25001?

200?

xxx40　　　　25001C?

（x）?

0x40C（x）?

解得：

1000（件），因C?

（1000）?

0　　所以x?

1000（件），平均成本C（x）最小，Cmin?

300利润函数　　Q（x）?

P（x）?

C（x）?

440x?

1212x?

25000?

200x?

x204032x?

240x?

25000，406Q?

（x）?

240?

0得：

1600，　　40?

唯一驻点，即为所求，Qmax?

127000。

　　例．一租赁公司有40套设备要出租。

当租金每月每套200元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花20元的修整费。

问：

租金定为多少时，该公司可获最大利润？

　　解：

设每月每套租金定为（200?

10x）,则租出设备总数为40x，每月的毛收入为　　（200?

10x）（40?

x）；维护成本为（40?

x）?

20，于是利润为　　L（x）?

（200?

10x）（40?

x）?

7200?

220x?

10x2（0?

40），　　L?

（x）?

11比较L（11）,L（0）,L（40）处利润：

L（11）?

L（0）?

L（40）；所以，租金为（200?

10?

11）?

310元时，利润最大。

　　5．罗尔定理、微分中值定理及其应用　　Rolle定理：

如果f（x）在（a,b）可导，在[a,b]上连续，且f（a）?

f（b），则?

（a,b）存在，使得　　f?

（?

）?

0。

　　Lagrange中值定理：

如果f（x）在（a,b）可导，在[a,b]上连续，则存在?

（a,b），使得　　41/49　　第二章导数计算及应用　　　　　　　　f（a）?

f（b）?

（?

）（b?

a）。

　　例．问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：

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