章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2.docx

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章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2

【章节训练】1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2

一、选择题（共10小题）

1．（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（　　）

A．

1205秒

B．

1200秒

C．

1195秒

D．

1190秒

2．（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A．

60种

B．

63种

C．

65种

D．

66种

3．（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2012•河北区一模）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

A．

30种

B．

35种

C．

42种

D．

48种

5．（2014•汕头一模）某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．

4种

B．

10种

C．

18种

D．

20种

6．（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（　　）

A．

432

B．

288

C．

216

D．

108

7．（2009•北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

120

8．（2009•淄博一模）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（　　）

A．

10种

B．

20种

C．

25种

D．

32种

9．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2009•辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　）

A．

70种

B．

80种

C．

100种

D．

140种

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2006•湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是　_________　．（用数字作答）

12．（2004•浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有　_________　种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有　_________　种（用数字作答）．

13．（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　_________　个．（用数字作答）

14．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有　_________　种（用数字作答）．

15．（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是　_________　（用数字作答）．

16．（2001•广东）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为　_________　．

17．（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：

11，22，33…，99.3位回文数有90个：

101，111，121，…，191，202，…，999．则：

（Ⅰ）4位回文数有　_________　个；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有　_________　个．

18．（2001•上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种　_________　种．（结果用数值表示）

19．（2003•天津）将3种作物种植在如图块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有　_________　种．（以数字答）

20．（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有　_________　种．（以数字作答）

三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）

21．（2007•杭州二模）某人口袋中有人民币50元3张，20元3张和10元4张．

（1）现从中任意取出若干张，求总数恰好等于80元的不同取法种数（用数字作答）；

（2）现从中任意取出3张，求总数超过80元的概率．

【章节训练】1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

A．

1205秒

B．

1200秒

C．

1195秒

D．

1190秒

考点：

专题：

压轴题．

分析：

彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列，每个闪烁时间为5秒共5×120秒，每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1），解出共用的事件．

解答：

解：

由题意知共有5！

=120个不同的闪烁，

每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；

每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．

那么需要的时间至少是600+595=1195秒．

故选C

点评：

本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

2．（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A．

60种

B．

63种

C．

65种

D．

66种

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．

解答：

解：

由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，

当取得4个偶数时，有

=1种结果，

当取得4个奇数时，有

=5种结果，

当取得2奇2偶时有

=6×10=60

∴共有1+5+60=66种结果，

故选D

点评：

本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果．

解答：

解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

由于甲有两个人参加会议需要分两类：

①含有甲的选法有C21C42种，

②不含有甲的选法有C43种，

共有C21C42+C43=16（种），

故选B．

点评：

本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．

4．（2012•河北区一模）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

A．

30种

B．

35种

C．

42种

D．

48种

考点：

专题：

计算题．

分析：

两类课程中各至少选一门，包含两种情况：

A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．

解答：

解：

可分以下2种情况：

①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；

②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．

∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．

故选A．

点评：

本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：

C73﹣C33﹣C43=30．

5．（2014•汕头一模）某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　）

A．

4种

B．

10种

C．

18种

D．

20种

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．

解答：

解：

由题意知本题是一个分类计数问题

一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种

另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种

根据分类计数原理知共10种，

故选B．

点评：

本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．

6．（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（　　）

A．

432

B．

288

C．

216

D．

108

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32，再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33种，根据分步计数原理得到结果．

解答：

解：

∵由题意知本题是一个分步计数原理，

第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32=18种，

第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33=12种，

∴所求奇数的个数共有18×12=216种．

故选C．

点评：

本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．

7．（2009•北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

120

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．

解答：

解：

由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有A21=2种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．

故选C．

点评：

本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．

8．（2009•淄博一模）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（　　）

A．

10种

B．

20种

C．

25种

D．

32种

考点：

分析：

每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．

解答：

解：

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种．

故选D．

点评：

本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别．

9．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题．

分析：

分类讨论：

从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．

解答：

解：

从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有

=6种；

从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有

=6种；

2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有

=6种；

故共有3

=18种

故选B．

点评：

本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

10．（2009•辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　）

A．

70种

B．

80种

C．

100种

D．

140种

考点：

分析：

不同的组队方案：

选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：

一男二女，另一类是：

两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．

解答：

解：

直接法：

一男两女，有C51C42=5×6=30种，

两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种

间接法：

任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，

都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．

故选A

点评：

直接法：

先分类后分步；间接法：

总数中剔除不合要求的方法．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2006•湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是　20　．（用数字作答）

考点：

专题：

压轴题．

分析：

本题是不相邻问题，可以插空法解答．

解答：

解：

依题意，乙必须在甲后，丙必须在乙后，丙丁必相邻，且丁在丙后，

只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可，

第一个插入时有4种，

第二个插入时共5个空，有5种方法；

可得有5×4=20种不同排法．

故答案为：

点评：

插空法解决不相邻问题，本题中注意，另两个工程的顺序问题．

12．（2004•浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有　5　种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有　190　种（用数字作答）．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），向前和向后的次数的差为3；20次跳动质点落在点（16，0）处，其差为16．

解答：

解：

记向左跳一次为﹣1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在（3，0），

所以只需4个“+1”，1个“﹣1”即可，从5次中挑出一次取“﹣1”，结果数为C=5，故质点运动方法共有5种．

经过20次跳动质点落在点（16，0）处，只需18个“+1”，2个“﹣1”即可，从20次中挑出2次取“﹣1”，结果数C202=190种

故答案为：

5、190

点评：

理解题目含义，即实质性内容，体会到“向前和向后的次数的差为点的横坐标”即可解答本类题目．

13．（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　14　个．（用数字作答）

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．

解答：

解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

首先确定数字中2和3的个数，

当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，

当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，

当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，

根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，

故答案为：

点评：

本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．

14．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有　144　种（用数字作答）．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．

解答：

解：

四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，

恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，

从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列

故共有C42A43=144种不同的放法．

故答案为144．

点评：

本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．

15．（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是　40　（用数字作答）．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：

第一步：

先将3、5排列，第二步：

再将4、6插空排列，第三步：

将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．

解答：

解析：

可分三步来做这件事：

第一步：

先将3、5排列，共有A22种排法；

第二步：

再将4、6插空排列，共有2A22种排法；

第三步：

将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法．

由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．

答案：

点评：

本题考查的是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

16．（2001•广东）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为　2n（n﹣1）　．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，在圆周上有2n个等分点共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做2n﹣2个直角三角形，根据分步计数原理得到n条直径共组成的三角形数．

解答：

解：

由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，

∵圆周上有2n个等分点

∴共有n条直径，

每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，

∴可做2n﹣2个直角三角形，

根据分步计数原理知共有n（2n﹣2）=2n（n﹣1）个．

故答案为：

2n（n﹣1）

点评：

本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形．

17．（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：

11，22，33…，99.3位回文数有90个：

101，111，121，…，191，202，…，999．则：

（Ⅰ）4位回文数有　90　个；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有　9×10n　个．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（I）利用回文数

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