章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2.docx
《章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++2
【章节训练】1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2
【章节训练】1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2
一、选择题(共10小题)
1.(2010•广东)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.
1205秒
B.
1200秒
C.
1195秒
D.
1190秒
2.(2012•浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.
60种
B.
63种
C.
65种
D.
66种
3.(2009•湖南)某地政府召集5家企业的负责人开会,已知甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.
14
B.
16
C.
20
D.
48
4.(2012•河北区一模)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.
30种
B.
35种
C.
42种
D.
48种
5.(2014•汕头一模)某中学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.
4种
B.
10种
C.
18种
D.
20种
6.(2009•陕西)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )
A.
432
B.
288
C.
216
D.
108
7.(2009•北京)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.
8
B.
24
C.
48
D.
120
8.(2009•淄博一模)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )
A.
10种
B.
20种
C.
25种
D.
32种
9.(2012•北京)从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A.
24
B.
18
C.
12
D.
6
10.(2009•辽宁)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.
70种
B.
80种
C.
100种
D.
140种
二、填空题(共10小题)(除非特别说明,请填准确值)
11.(2006•湖北)某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是 _________ .(用数字作答)
12.(2004•浙江)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,若经过5次跳动质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有 _________ 种(用数字作答);若经过20次跳动质点落在点(16,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有 _________ 种(用数字作答).
13.(2011•北京)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 _________ 个.(用数字作答)
14.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 _________ 种(用数字作答).
15.(2008•浙江)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻.这样的六位数的个数是 _________ (用数字作答).
16.(2001•广东)圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 _________ .
17.(2012•湖北)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则:
(Ⅰ)4位回文数有 _________ 个;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 _________ 个.
18.(2001•上海)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _________ 种.(结果用数值表示)
19.(2003•天津)将3种作物种植在如图块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有 _________ 种.(以数字答)
20.(2003•天津)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 _________ 种.(以数字作答)
三、解答题(共1小题)(选答题,不自动判卷)
21.(2007•杭州二模)某人口袋中有人民币50元3张,20元3张和10元4张.
(1)现从中任意取出若干张,求总数恰好等于80元的不同取法种数(用数字作答);
(2)现从中任意取出3张,求总数超过80元的概率.
【章节训练】1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题)
1.(2010•广东)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.
1205秒
B.
1200秒
C.
1195秒
D.
1190秒
考点:
分步乘法计数原理;排列及排列数公式.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列,每个闪烁时间为5秒共5×120秒,每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5×(120﹣1),解出共用的事件.
解答:
解:
由题意知共有5!
=120个不同的闪烁,
每个闪烁时间为5秒,共5×120=600秒;
每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5×(120﹣1)=595秒.
那么需要的时间至少是600+595=1195秒.
故选C
点评:
本题考查的是排列问题,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.
2.(2012•浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.
60种
B.
63种
C.
65种
D.
66种
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,当取得4个奇数时,当取得2奇2偶时,分别用组合数表示出各种情况的结果,再根据分类加法原理得到不同的取法.
解答:
解:
由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,
当取得4个偶数时,有
=1种结果,
当取得4个奇数时,有
=5种结果,
当取得2奇2偶时有
=6×10=60
∴共有1+5+60=66种结果,
故选D
点评:
本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况,利用组合数表示出结果,本题是一个基础题.
3.(2009•湖南)某地政府召集5家企业的负责人开会,已知甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A.
14
B.
16
C.
20
D.
48
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分类计数问题,由于甲有两个人参加会议需要分两类,含有甲的选法有C21C42种;不含有甲的选法有C43种,根据分类计数原理得到结果.
解答:
解:
由题意知本题是一个分类计数问题,
由于甲有两个人参加会议需要分两类:
①含有甲的选法有C21C42种,
②不含有甲的选法有C43种,
共有C21C42+C43=16(种),
故选B.
点评:
本题考查分类计数问题,在排列的过程中出现有特殊情况的元素,需要分类来解,不然不能保证发言的3人来自3家不同企业.
4.(2012•河北区一模)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.
30种
B.
35种
C.
42种
D.
48种
考点:
分类加法计数原理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
两类课程中各至少选一门,包含两种情况:
A类选修课选1门,B类选修课选2门;A类选修课选2门,B类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果.
解答:
解:
可分以下2种情况:
①A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
②A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故选A.
点评:
本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.本题也可以从排列的对立面来考虑,写出所有的减去不合题意的,可以这样解:
C73﹣C33﹣C43=30.
5.(2014•汕头一模)某中学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.
4种
B.
10种
C.
18种
D.
20种
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分类计数问题,一是3本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了4种,另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42种,根据分类计数原理得到结果.
解答:
解:
由题意知本题是一个分类计数问题
一是3本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了4种
另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42=6种
根据分类计数原理知共10种,
故选B.
点评:
本题考查分类计数问题,是一个基础题,这种题目可以出现在选择或填空中,也可以出现在解答题目的一部分中.
6.(2009•陕西)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )
A.
432
B.
288
C.
216
D.
108
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分步计数原理,先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32,再把4个数排列,其中是奇数的共A21A33种,根据分步计数原理得到结果.
解答:
解:
∵由题意知本题是一个分步计数原理,
第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32=18种,
第二步再把4个数排列,其中是奇数的共A21A33=12种,
∴所求奇数的个数共有18×12=216种.
故选C.
点评:
本题考查分步计数原理,是一个数字问题,数字问题是排列中的一大类问题,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要分类讨论,要做到不重不漏.
7.(2009•北京)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.
8
B.
24
C.
48
D.
120
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题需要分步计数,首先选择2和4排在末位时,共有A21种结果,再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果,根据由分步计数原理得到符合题意的偶数.
解答:
解:
由题意知本题需要分步计数,
2和4排在末位时,共有A21=2种排法,
其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法,
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48(个).
故选C.
点评:
本题考查分步计数原理,是一个数字问题,这种问题是最典型的排列组合问题,经常出现限制条件,并且限制条件变化多样,是一个易错题.
8.(2009•淄博一模)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )
A.
10种
B.
20种
C.
25种
D.
32种
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
分析:
每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种,5名同学,用分步计数原理求解.
解答:
解:
5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种.
故选D.
点评:
本题要和5名同学争夺2个项目的冠军,冠军不并列的方法数加以区别.
9.(2012•北京)从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A.
24
B.
18
C.
12
D.
6
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分类讨论:
从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位;从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位,由此可得结论.
解答:
解:
从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有
=6种;
从0、2中选一个数字2,则2排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有
=6种;
2排在百位,从1、3、5中选两个数字排在个位与十位,共有
=6种;
故共有3
=18种
故选B.
点评:
本题考查计数原理的运用,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键.
10.(2009•辽宁)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.
70种
B.
80种
C.
100种
D.
140种
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
分析:
不同的组队方案:
选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,方法共有两类,一是:
一男二女,另一类是:
两男一女;在每一类中都用分步计数原理解答.
解答:
解:
直接法:
一男两女,有C51C42=5×6=30种,
两男一女,有C52C41=10×4=40种,共计70种
间接法:
任意选取C93=84种,其中都是男医生有C53=10种,
都是女医生有C41=4种,于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种.
故选A
点评:
直接法:
先分类后分步;间接法:
总数中剔除不合要求的方法.
二、填空题(共10小题)(除非特别说明,请填准确值)
11.(2006•湖北)某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 .(用数字作答)
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
本题是不相邻问题,可以插空法解答.
解答:
解:
依题意,乙必须在甲后,丙必须在乙后,丙丁必相邻,且丁在丙后,
只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可,
第一个插入时有4种,
第二个插入时共5个空,有5种方法;
可得有5×4=20种不同排法.
故答案为:
20
点评:
插空法解决不相邻问题,本题中注意,另两个工程的顺序问题.
12.(2004•浙江)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,若经过5次跳动质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有 5 种(用数字作答);若经过20次跳动质点落在点(16,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有 190 种(用数字作答).
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,5次跳动质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),向前和向后的次数的差为3;20次跳动质点落在点(16,0)处,其差为16.
解答:
解:
记向左跳一次为﹣1,向右跳一次为+1,则只要5次和为+3,质点一定落在(3,0),
所以只需4个“+1”,1个“﹣1”即可,从5次中挑出一次取“﹣1”,结果数为C=5,故质点运动方法共有5种.
经过20次跳动质点落在点(16,0)处,只需18个“+1”,2个“﹣1”即可,从20次中挑出2次取“﹣1”,结果数C202=190种
故答案为:
5、190
点评:
理解题目含义,即实质性内容,体会到“向前和向后的次数的差为点的横坐标”即可解答本类题目.
13.(2011•北京)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 14 个.(用数字作答)
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分类计数问题,首先确定数字中2和3的个数,当数字中有1个2,3个3时,当数字中有2个2,2个3时,当数字中有3个2,1个3时,写出每种情况的结果数,最后相加.
解答:
解:
由题意知本题是一个分类计数问题,
首先确定数字中2和3的个数,
当数字中有1个2,3个3时,共有C41=4种结果,
当数字中有2个2,2个3时,共有C42=6种结果,
当数字中有3个2,1个3时,共有有C41=4种结果,
根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果,
故答案为:
14
点评:
本题考查分类计数原理,是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏,本题是一个基础题,也是一个易错题,易错点在数字中重复出现的数字不好处理.
14.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 144 种(用数字作答).
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由题意知需要先选两个元素作为一组再排列,恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果.
解答:
解:
四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,
恰有一个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,
从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列
故共有C42A43=144种不同的放法.
故答案为144.
点评:
本题考查分步计数原理,是一个基础题,解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走,先选元素再排列.
15.(2008•浙江)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻.这样的六位数的个数是 40 (用数字作答).
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
欲求可组成符合条件的六位数的个数,只须利用分步计数原理分三步计算:
第一步:
先将3、5排列,第二步:
再将4、6插空排列,第三步:
将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可.
解答:
解析:
可分三步来做这件事:
第一步:
先将3、5排列,共有A22种排法;
第二步:
再将4、6插空排列,共有2A22种排法;
第三步:
将1、2放到3、5、4、6形成的空中,共有C51种排法.
由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40(种).
答案:
40
点评:
本题考查的是分步计数原理,分步计数原理(也称乘法原理)完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
16.(2001•广东)圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 2n(n﹣1) .
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角形,在圆周上有2n个等分点共有n条直径,每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形,可做2n﹣2个直角三角形,根据分步计数原理得到n条直径共组成的三角形数.
解答:
解:
由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角形,
∵圆周上有2n个等分点
∴共有n条直径,
每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形,
∴可做2n﹣2个直角三角形,
根据分步计数原理知共有n(2n﹣2)=2n(n﹣1)个.
故答案为:
2n(n﹣1)
点评:
本题考查分步计数原理,考查圆的有关问题,是一个综合题,解题的关键是对于圆上的点,怎样能组成直角三角形.
17.(2012•湖北)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则:
(Ⅰ)4位回文数有 90 个;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10n 个.
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(I)利用回文数