数学建模输油管第八组资料.docx
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数学建模输油管第八组资料
数学建模竞赛论文
论文题目：
输油管道的优化方案
组员1：
张昊专业：
自动化
组员2：
马娣专业：
通信技术
组员3：
张成梅专业：
空冷
日期：
2013-07-16
一、摘要
本文通过建立最优化模型确定费用的最小值，通过题目提出的三个问题进行合理假设，不断对模型进行改进。
题目中的三个问题考虑的方面愈来愈多，使得问题也愈加复杂，但同时问题也越来越具体。
对于这三个层层递进的问题，我们统一建立优化模型，利用函数思想进行处理。
第一问建立多参数的函数作为目标函数，第二问参数减少，建立二元函数，第三问建立三元函数。
每个函数模型都以共用管道与非共用管道价格是否相同分类讨论。
二三两问可求得结果，其中第二问为部分结果，有最小值282.6973；第三问最小值为258.0279。
本文建立了一般的数学模型，可将其思想和方法推广到我国的几大重要的油田当中去，以及其他类似的问题
关键词：
优化模型目标函数（非）共用管道
二、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形设计方案。
在方案设计时，并考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
本问即主要求解管道铺设的最短距离。
2.目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置如附图所示，其中A厂位于郊区，B厂位于城区，两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（km）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/km）
21
24
20
给出管线布置方案及相应的费用。
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
给出管线最佳布置方案及相应的费用。
三、条件假设
1、铁路线在该段为直线；
2、不考虑地形影响，管道直线铺设；
3、工程咨询公司为经过合法认证的可靠公司；
4、不考虑车站和炼油厂的实际大小和形状，将其视为
一点；
5、忽略其他不必要因素对施工费用的影响，如管道接
头、拖延工期等。
四、符号约定
变量：
x:
共用管道的长度（km）
y:
城区管道在BD上的投影距离（km）
z:
A厂管道在铁路上的投影距离（km）
参数：
a:
A厂到铁路的距离（km）
b:
B厂到铁路的距离（km）
c:
C到城郊分界线的距离（km）
p:
非公用管道的价格（万元/km）
u:
附加费用价格（万元/km）
l:
AB厂间的距离线段在铁路上的投影（km）
N:
非共用管道与共用管道的价格倍数
W：
工程所需费用（万元）
注：
1.C、D为A、B在铁路线上的投影；
2.距离变量和参数在附录图上有标注。
五、模型建立与求解
问题一主要解决管道铺设的最短距离。
为使铺设距离尽可能的短，采取共用管道的方式。
这便涉及到共用管道与非共用管道价格差异的问题。
以下分为两种情况讨论：
共用管道与非共用管道价格相同，也即全程采用相同管道铺设。
可建立工程费用W关于共用管道长度x的目标函数
利用MatLab软件求解W的最小值，得
Wmin=
程序见附录。
共用管道与非共用管道价格不同时，目标函数为
将上述程序稍作修改，即得W最小值
问题二在问题一的基础上研究城郊分开的工程费用。
假设甲乙级三家资质评估可信度比为2:
1:
1，即
就本题而言，车站建在城区显然是不合理的，以下只考虑车站建在郊区的情况。
共用管道与非共用管道价格相同时，即N=1；
建立W关于x，y的目标函数
这是一个二元函数，在MatLab中可用求多元函数极值的函数进行求解，这里我们采用高等数学中多元函数求极值的方法求解。
W对x的偏导
W对y的偏导
令Wx=0，Wy=0上面两式联立，解得
x=1.8538y=0.6322
W的二阶偏导数为
在（1.8538，0.6322）处
A=1.2471B=0.6235C=5.9168
B2-AC=-6.9899<0且A>0,所以有极小值
W=282.6973478
在题目限制条件下，最小值即为Wmin=282.6973478
在下面的图中也能看出有最小值。
共用管道与非共用管道价格不同时，
同样方法可求得
问题三则更为具体化，得知各种不同管道的价格，便可建立一个具体的函数关系式，不过是一个关于x，y，z的三元函数
这时需要用MatLab多元函数求极值的函数进行求解，不难得出
Wmin=258.0279
当x=0.1530，y=0.6897，z=6.7153时取得。
程序见附录。
六、模型评价与推广
模型的最大优点是通过建立函数关系来求解工程建设所需的最小费用，函数思想是数学的一种重要思想，通过函数解决实际问题也是人们的惯用方法。
对于车站是否设在城区，本文中没有着重考虑。
因为在本题中，车站建在城区无疑会大大增加工程补偿费用。
在其他情况下，应该考虑建在城区的方案，城区居民居住密集，车站可更方便地服务人们。
本文建立了一般的数学模型，可将其思想和方法推广到我国的几大重要的油田当中去，以及其他类似的问题，比如：
水泥厂的选址问题，偏远地区的水管道布置问题，铁路铺设问题等。
建立的模型可以估算出最小费用的问题，为国家经济带来了可行性的发展。
七、参考文献
【1】周品赵新芬《MATLAB数学建模与仿真》国防工业出版社，2009年4月
【2】占君张倩满谦等《MATLAB函数查询手册》机械出版社
【3】刘焕斌库在强廖小勇陈文略张忠诚《数学建模与实验》科学出版社
【4】姜启源《数学模型》（第三版）北京高等教育出版社，2005.
八、附录
MatLab程序：
问题一：
clear;clc;
symsxablWp
W=p*（x+sqrt（（a+b-2*x）^2+l^2））;
yx=diff（W）;
A=solve（yx）;
limit（W,x,A
（1））
limit（W,x,A
（2））
问题二：
clear;clc;
symsWxy
W=7.2*（x+sqrt（（8-y-（2*x-5））.^2+15^2））+28.7*sqrt（y.^2+25）;
ezsurf（x,y,W）
A=diff（W,2）;
B=diff（diff（W,y）,x）;
C=diff（W,y,2）;
Wx=diff（W）;
Wy=diff（W,y）;
[xy]=solve（Wx,Wy）
Wmin=7.2*（x+sqrt（（8-y-（2*x-5））.^2+15^2））+28.7*sqrt（y.^2+25）;
vpa（W,10）
问题三：
clc;clear
W=inline（'5.6*sqrt（（5-x
（2））^2+x
（1）^2）+6*sqrt（（15-x
（1））^2+（8-x
（2）-x（3））^2）+7.2*x
（2）+28.7*sqrt（x（3）^2+25）'）
LB=[000];
UB=[1558];
x0=[111];
[ij]=fmincon（W,x0,[],[],[],[],LB,UB）;
z=i
（1）
x=i
（2）
y=i（3）
Wmin=j
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