特征值及特征向量定义及计算.docx

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特征值及特征向量定义及计算

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念及其计算

定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵，是一个未知量，

称为A的特征多项式，记（）=|E-A|，是一个P上的关于

的n次多项式，E是单位矩阵

。

（）=|E-A|=n+1n-1+…+n=0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。

特征方程（）=|E-A|=0的根（如：

0）称为A的特征根（或特征值）。

n次代数方程在复数域有且仅有n个根，而在实数域不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值0代入（E-A）X=，得方程组（0E-A）X=，是一个齐次方程组

，称为A的关于0的特征方程组。

因为|0E-A|=0，（0E-A）X=必存在非零解X（0）

，X（0）称为A的属于0的特征向量。

所有0的特征向量全体构成了0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得：

[0E-A]X=即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根

是特征多项式|0E-A|=0的根，由代数根本定理

有n个复根1,2,…,n，为A的n个特征根。

当特征根i（I=1,2,…,n）求出后，（iE-A）X=是齐次方程，i均会使|iE-A|=0，（iE-A）X=必存在非零解，且有无穷个解向量，（iE-A）X=的根底解系

以及根底解系的线性组合

都是A的特征向量。

例1.求矩阵

的特征值与特征向量。

解：

由特征方程

解得A有2重特征值1=2=-2，有单特征值3=4

对于特征值1=2=-2，解方程组（-2E-A）x=

得同解方程组x1-x2+x3=0

解为x1=x2-x3（x2,x3为自由未知量

）

分别令自由未知量

得根底解系

所以A的对应于特征值1=2=-2的全部特征向量为

x=k11+k22（k1,k2不全为零）

可见，特征值=-2的特征向量空间是二维的。

注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。

对于特征值3=4，方程组（4E-A）x=

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=2得根底解系

所以A的对于特征值3=4得全部特征向量为x=k33

例2.      求矩阵

的特征值与特征向量

解：

由特征方程

解得A有单特征值1=1，有2重特征值2=3=0

对于1=1，解方程组（E-A）x=

得同解方程组为

同解为

令自由未知量x3=1，得根底解系

所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为x=k11（k10）

对于特征值2=3=0，解方程组（0E-A）=

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，得根底解系

此处，二重根=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数

，这种情况下，矩阵A是亏损的

。

所以A的对应于特征值2=3=0得全部特征向量为x=k23

例3．  矩阵

的特征值与特征向量

解：

由特征方程

解得A的特征值为1=1,2=i,3=-i

对于特征值1=1，解方程组（E-A）=，由

得通解为

令自由未知量x1=1，得根底解系1=（1,0,0）T，所以A的对应于特征值1=1得全部特征向量为x=k11

对于特征值2=i，解方程组（iE-A）=

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，得根底解系2=（0,i,1）T，所以A对应于特征值2=1的全部特征向量为x=k22（k20）。

对于特征值3=-i，解方程组（-E-A）x=，由

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，，得根底解系3=（0,-i,1）T，所以A的对应于3=-i的全部特征向量为x=k33。

特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。

而特征值i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组（iE-A）x=的非0解。

其中，方程组（iE-A）x=的根底解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。

性质1.n阶方阵A=（aij）的所有特征根为1，2，…,n（包括重根），那么

证第二个式子：

由伟达定理，12…n=（-1）nn

又|E-A|=n+1n-1+…+n-11+n中用=0代入二边，得：

|-A|=n，而|A|=（-1）nn=12…n，

性质2.假设是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，那么

是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

可见

是A-1的一个特征根。

其中0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，假设i=0,

|A|=12…n=0，A奇异，与A可逆矛盾。

性质3.假设是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，那么

m是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

1）Ax=x，二边左乘A，得：

A2x=Ax=Ax=x=2x，

可见2是A2的特征根；

2）假设m是Am的一个特征根，Amx=mx，

二边左乘A，得：

Am+1x=AAmx=Amx=mAx=mx=m+1x，

得m+1是Am+1的特征根

用归纳法证明了m是Am的一个特征根。

性质4.设1，2，…,m是方阵A的互不一样的特征值。

xj是属于i的特征向量（i=1,2,…,m），那么x1,x2,…,xm线性无关，即不一样特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不一样特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为：

设1，2，…,m为方阵A的互不一样的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于m的线性无关特征向量。

那么向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。

即对于互不一样特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，那么把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。