江苏省南京市盐城市届高三年级第二次模拟考试数学及答案.docx

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江苏省南京市盐城市届高三年级第二次模拟考试数学及答案

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数学2016.03

一、填空题

1．设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝．

2．若复数z＝（1＋mi）（2－i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为▲．

3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是▲．

4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若

一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．

（第4题图）

（第5题图）

5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．

6．设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn．若S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于▲．

E

7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是．

8．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（－，－），则φ的值为．

9．已知函数f（x）＝则不等式f（x）≥－1的解集是．

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点（A，B异于坐标原点O）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是.

11．在△ABC中，A＝120°，AB＝4．若点D在边BC上，且＝2，AD＝，则AC的长为．

12．已知圆O：

x2＋y2＝1，圆M：

（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为．

13．已知函数f（x）＝ax2＋x－b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q＝

{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则－的最大值是．

14．若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a（y－2ex）（lny－lnx）＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．

二、解答题

15．（本小题满分14分）

已知α为锐角，cos（α＋）＝．

（1）求tan（α＋）的值；

（2）求sin（2α＋）的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

（1）求证：

PB∥平面MNC；

（2）若AC＝BC，求证：

PA⊥平面MNC.

（第16题图）

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一块半径为1（单位：

百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：

A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

（第17题图）

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：

＋＝1（a＞b＞0）上．若点A（－a，0），B（0，），且＝．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．

①若点P（－3，0），直线l过点（0，－），求直线l的方程；

②若直线l过点（0，－1），且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．

19．（本小题满分16分）

对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n＋1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得

a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，记S＝|f（xi＋1）－f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．

（1）若函数f（x）＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值；

（2）若函数f（x）＝，给定区间为[0，2]，求S的最大值；

（3）对于给定的实数k，求证：

函数f（x）＝klnx－x2在区间[1，e]上具有性质V．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝（－1）nSn＋pn（p为常数，p≠0）．

（1）求p的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn．

若b1≠c1，求证：

对任意n∈N*，Pn≠Qn．

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数学附加题2016.03

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

O

如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：

BECE＝EFEA．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）．

（1）求a，b的值．

（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（－θ）=，椭圆C的参数方程为（t为参数）．

（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；

（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．

D．选修4—5：

不等式选讲

解不等式：

|x－2|＋x|x＋2|＞2

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．

（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；

（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．

23．（本小题满分10分）

设（1－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．

（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；

（2）设bk＝ak＋1（k∈N，k≤n－1），Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm（m∈N，m≤n－1），求||

的值．

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．{x|－2＜x＜1}2．－23．4．95．56．197．8

8．－9．[－4，2]10．y＝±2x11．312．[2－，2＋]

13．14．a＜0或a≥

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

解：

（1）因为α∈（0，），所以α＋∈（，），

所以sin（α＋）＝＝，……………………………………………………………3分

所以tan（α＋）＝＝2．………………………………………………………………………6分

（2）因为sin（2α＋）＝sin[2（α＋）]＝2sin（α＋）cos（α＋）＝，…………………………………9分

cos（2α＋）＝cos[2（α＋）]＝2cos2（α＋）－1＝－，………………………………………………12分

所以sin（2α＋）＝sin[（2α＋）－]＝sin（2α＋）cos－cos（2α＋）sin＝．………………14分

16．（本小题满分14分）

证：

（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，

所以MN∥PB．…………………………………2分

因为MN平面MNC，PB平面MNC，

所以PB∥平面MNC.……………………………………4分

（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.……………6分

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.……………8分

因为平面PAB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

所以CM⊥平面PAB．…………………………………12分

因为PA平面PAB，所以CM⊥PA．

因为PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM＝M，

所以PA⊥平面MNC.……………………………………………………………………14分

17．（本小题满分14分）

解法一：

如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．

设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），

则直线AB方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．

因为AB与圆C相切，所以＝1．……………4分

化简得ab－2（a＋b）＋2＝0，即ab＝2（a＋b）－2．

……………6分

因此AB＝＝＝

＝．

………………8分

因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，

于是AB＝2－（a＋b）．

又ab＝2（a＋b）－2≤（）2，

解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2．

因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，………………………………………12分

所以AB＝2－（a＋b）≥2－（4－2）＝2－2，

当且仅当a＝b＝2-时取等号，

所以AB最小值为2－2，此时a＝b＝2-．

答：

当A，B两点离道路的交点都为2－（百米）时，小道AB最短．……………14分

解法二：

如图，连接CE，CA，CD，CB，CF．

设∠DCE＝θ，θ∈（0，），则∠DCF＝－θ．

在直角三角形CDA中，AD＝tan．………………4分

在直角三角形CDB中，BD＝tan（－），………6分

所以AB＝AD＋BD＝tan＋tan（－）

＝tan＋．………………………8分

令t＝tan，0＜t＜1，

则AB＝f（t）＝t＋＝＝t＋1＋－2≥2－2，

当且仅当t＝－1时取等号．………………………12分

所以AB最小值为2－2，

此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－（－1）＝2－．

答：

当A，B两点离道路的的交点都为2－（百米）时，小道AB最短．……………14分

18．（本小题满分16分）

解：

（1）设C（x0，y0），则＝（a，），＝（x0，y0－）．

因为＝，所以（a，）＝（x0，y0－）＝（x0，y0－），

得………………………………………………………2分

代入椭圆方程得a2＝b2．

因为a2－b2＝c2，所以e＝＝．………………………………………4分

（2）①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，

设Q（x0，y0），则＋＝1．……①………………………………………………6分

因为点P（－3，0），所以PQ中点为（，），

因为直线l过点（0，－），直线l不与y轴重合，所以x0≠3，

所以·＝－1，………………………………………………8分

化简得x02＝9－y02－y0．……②

将②代入①化简得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．

将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为（±，），

所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，

所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．……………………………………………10分

②设PQ：

y＝kx+m，则直线l的方程为：

y＝－x－1，所以xD＝－k．

将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得（5＋9k2）x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为N，

xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，……………………………………12分

代入直线l的方程得9k2＝4m－5．……②

又因为△＝（18km）2－4（5＋9k2）（9m2－45）＞0，

化得m2－9k2－5＜0．………………………………………………14分

将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，

所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈（－，0）∪（0，）．

综上所述，点D横坐标的取值范围为（－，0）∪（0，）．………………………………16分

19．（本小题满分16分）

（1）解：

因为函数f（x）＝－2x＋1在区间[－1，1]为减函数，

所以f（xi＋1）＜f（xi），所以|f（xi＋1）－f（xi）|＝f（xi）－f（xi＋1）．

S＝|f（xi＋1）－f（xi）|＝[f（x0）－f（x1）]+[f（x1）－f（x2）]+…+[f（xn-1）－f（xn）]

＝f（x0）－f（xn）＝f（－1）－f

（1）＝4．…………………………………………2分

（2）解：

由f′（x）＝＝0，得x＝1．

当x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，1）为增函数；

当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，＋∞）为减函数；

所以f（x）在x＝1时取极大值．……………………………………4分

设xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，

则S＝|f（xi＋1）－f（xi）|

＝|f（x1）－f（0）|＋…＋|f（xm）－f（xm－1）|＋|f（xm＋1）－f（xm）|＋|f（xm＋2）－f（xm＋1）|＋…＋|f

（2）－f（xn－1）|

＝[f（x1）－f（0）]＋…＋[f（xm）－f（xm－1）]＋|f（xm＋1）－f（xm）|＋[f（xm＋1）－f（xm＋2）]＋…＋[f（xn－1）－f

（2）]

＝[f（xm）－f（0）]＋|f（xm＋1）－f（xm）|＋[f（xm＋1）－f

（2）]．…………………………………………6分

因为|f（xm＋1）－f（xm）|≤[f

（1）－f（xm）]＋[f

（1）－f（xm＋1）]，当xm＝1时取等号，

所以S≤f（xm）－f（0）＋f

（1）－f（xm）＋f

（1）－f（xm＋1）＋f（xm＋1）－f

（2）

＝2f

（1）－f（0）－f

（2）＝.

所以S的最大值为．…………………………………………8分

（3）证明：

f′（x）＝－x＝，x∈[1，e]．

①当k≥e2时，k－x2≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在[1，e]上为增函数，

所以S＝|f（xi＋1）－f（xi）|＝[f（x1）－f（x0）]+[f（x2）－f（x1）]+…+[f（xn）－f（xn-1）]

＝f（xn）－f（x0）＝f（e）－f

（1）＝k+－e2．

因此，存在正数A＝k+－e2，都有S≤A，因此f（x）在[1，e]上具有性质V．…………………10分

②当k≤1时，k－x2≤0恒成立，即f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[1，e]上为减函数，

所以S＝|f（xi＋1）－f（xi）|＝[f（x0）－f（x1）]+[f（x1）－f（x2）]+…+[f（xn-1）－f（xn）]

＝f（x0）－f（xn）＝f

（1）－f（e）＝e2－k－．

因此，存在正数A＝e2－k－，都有S≤A，因此f（x）在[1，e]上具有性质V．…………………12分

③当1＜k＜e2时，由f′（x）＝0，得x＝；当f′（x）＞0，得1≤x＜；

当f′（x）＜0，得＜x≤e，因此f（x）在[1，）上为增函数，在（，e]上为减函数．

设xm≤＜xm+1，m∈N，m≤n－1

则S＝|f（xi＋1）－f（xi）|

＝|f（x1）－f（x0）|+…+|f（xm）－f（xm－1）|+|f（xm+1）－f（xm）|+|f（xm+2）－f（xm+1）|+…+|f（xn）－f（xn－1）|

＝f（x1）－f（x0）+…+f（xm）－f（xm－1）+|f（xm+1）－f（xm）|+f（xm+1）－f（xm+2）+…+f（xn－1）－f（xn）

＝f（xm）－f（x0）+|f（xm+1）－f（xm）|+f（xm+1）－f（xn）

≤f（xm）－f（x0）+f（xm+1）－f（xn）+f（）－f（xm+1）+f（）－f（xm）

＝2f（）－f（x0）－f（xn）＝klnk－k－[－+k－e2]＝klnk－2k＋+e2．

因此，存在正数A＝klnk－2k＋+e2，都有S≤A，因此f（x）在[1，e]上具有性质V．

综上，对于给定的实数k，函数f（x）＝klnx－x2在区间[1，e]上具有性质V．……………16分

20．（本小题满分16分）

解：

（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝．………………………………………………………2分

由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2．

又p≠0，所以p＝－．…………………………………………………………3分

（2）由an＝（－1）nSn＋（－）n，得

①＋②得an＋an＋1＝（－1）n（－an＋1）＋×（－）n．…………………………………………5分

当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1－×（）n，

所以an＝－（）n＋1．………………………………………………………………7分

当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋×（）n，

所以an＝－2an＋1＋×（）n＝2×（）n＋2＋×（）n＝（）n，

所以an＝………………………………………………9分

（3）An＝{－，}，由于b1≠c1，则b1与c1一正一负，

不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－．

则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥－（＋+…＋）．……………………………………………12分

设S＝＋+…＋，则S＝＋…＋+，

两式相减得S＝＋+…＋－＝＋×－＝－×－＜．

所以S＜×＝，所以Pn≥－（＋+…＋）＞－＝＞0．………………………14分

因为Qn=c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn≤－＋S＜－＋＝－＜0，

所以Pn≠Qn．………………………………………………………………16分

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准2016.03

21．【选做题】

O

A．选修4—1：

几何证明选讲

证明：

连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．

因为AB＝BC，所以AD＝DC．……………………4分

因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，…………6分

所以CE＝EB．………………………………………8分

因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，

所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．…………………………………………………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

解：

（1）由题意，得＝，得6＋3a＝3，2b－6＝4，…………………………4分

所以a＝－1，b＝5．………………………………………………………………………………6分

（2）由

（1），得A＝．由矩阵的逆矩阵公式得B＝．…………………8分

所以B2＝．…………………………………………………………10分

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解：

（1）由ρsin（－θ）=，得ρ（cosθ－sinθ）=，即x－y=，

化简得y=x－，所以直线l的直角坐标方程是y=x－．………………………………2分

由（）2+（）2=cos2t+sin2t=1，得椭圆C的普通方程为+=1．……………………………4分

（2）联立直线方程与椭圆方程，得消去y，得+（x－1）2=1，

化简得5x2－8x=0，解得x1=0，x2=，………………………………8分

所以A（0，－），B（，），

则AB==．………………………………10分

D．选修4—5：

不等式选讲

解：

当x≤－2时，不等式化为（2－x）＋x（－x－2）＞2，

解得－3＜x≤－2；………………………………………………3分

当－2＜x＜2时，不等式化为（2－x）＋x（x＋2）＞2，

解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；…………………………………………………6分

当x≥2时，不等式化为（x－2）＋x（x＋2）＞2,

解得x≥2；………………………………………………………9分

所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．…………………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．（本小题满分10分）

解：

（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：

甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．

所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率

P＝C（）2（）3＋C（）2（）C（）3＋C（）3C（）3＝．……………………………………………4分

（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为

ξ

0

1

2

3

P

……………………………………………………………………………………8分

所以数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．………………………………………10分

23．（本小题满分10分）

解：

（1）因为ak＝（－1）kC，

当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝C＋C＋C＋C＋C＋C

＝（C＋C＋…＋C＋C）＝210＝1024．………………………………………………3分

（2）bk＝ak＋1＝（－1）k＋1C＝（－1）k＋1C，……………………………………5分

当1≤k≤n－1时，bk＝（－1）k＋1C＝（－1）k＋1（C＋C）＝（－1）k＋1C＋（－1）k＋1C

＝（－1）k－1C－（－1）kC．……………………………………7分

当m＝0时，||＝||＝1．……………………………………8分

当1≤m≤n－1时，

Sm＝－1＋[（－1）k－1C－（－1）kC]＝－1＋1－（－1）mC＝－（－1）mC，

所以||＝1．综上，||＝1．………………………10分