春湘教版数学九年级下册15 二次函数的应用.docx

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春湘教版数学九年级下册15二次函数的应用

二次函数的应用

一、基础题（11、12每题6分，其余每题3分，共42分）

1．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点A（a，

）在（）

2．当a＜0，b＞0时，二次函数y=ax2＋bx的图象可能是下图中的（）

3．在下图中的四个函数的图象中，函数y的值随x值的增大而增大的是（）

4．已知点A（1，y1），B（－

，y2），C（－2，y3）在函数y=2（x＋1）2－

的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3

5．一个二次函数的图象经过A（0，0），B（－1，－11），C（1，9）三点，则这个二次函数的表达式是（）

A．y=x2＋10xB．y=－x2－10x

C．y=x2－10xD．y=－x2＋10x

6．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴为y轴，则m=．

7．若直线y=ax2＋bx＋c开口向上，则直线y=ax＋3经过象限．

8．抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（1，0），（－1，－6），（2，6），则该抛物线与y轴交点的纵坐标为．

9．某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房．购房时首期（每一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4%．若第x年小明家交房款y元，则y与x之间的函数表达式为．

10．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a米长的篱笆材料，他设计了两种方案：

一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地．那么选用哪一种方案围成场地的面积较大．

11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

12．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？

13．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCI溶液加水稀释，那么，在下列图象中，能反映HCI溶液的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（）

14．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形置于直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，点C在直线y=x－2．

（1）按题设画出图形，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）若直线y=x－2与y轴交于点E，抛物线y=ax2＋bx＋c过E、A、B三点，求抛物线的表达式；

（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？

并说明理由．

15．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．

（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；

（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）

（3）求出

（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；

（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？

最大利润是多少？

16．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．

（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．

（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？

并求出血液中的最大含药量．

（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？

（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）

17．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．

（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？

最大利润是多少？

参考答案：

一、1．C点拨：

由图象a＜0，c＜0，a、b异号，b＞0．

2．A点拨：

当a＜0，b＞0时，抛物线y=ax2＋bx开口向下，对称轴x=－

＞0，在y轴的右侧，又抛物线过（0，0）．

3．C点拨：

一次函数、反比例函数、二次函数增减性的考查．

4．B点拨：

可将三点代入y=2（x＋1）2－

中，比较y1、y2、y3的大小．或画出草图，从图中找出y1、y2、y3，大小即现．

5．D点拨：

将三点代入表达式y=ax2＋bx＋c（a≠0）求表达式即可．

6．－3点拨：

对称轴为y轴，即x=－

=0．a≠0，∴b=0．即m＋3=0，∴m=－3．

7．一、二、三

8．－4点拨：

待定系数法将三点代入确定表达式即可．

9．y=5000＋

×0．4%（2≤x≤19）点拨：

由题意第二年付款为5000＋90000×0．4%（元），第三年付款5000＋（90000－5000）×0．4%（元），第四年付款为5000＋（90000－5000×2）×0．4%（元），则第x年付款5000＋

×0．4%（元）．

10．围成圆形点拨：

S正方形=（

）2=

a2，S圆形=π·（

）2=

a2．∴S圆形＞S正方形

11．解：

（1）设每件衬衫降价x元时，商场每天能盈利1200元．依题意，得（40－x）（20＋2x）=1200．整理，得x2－30x＋200=0．解得x1=10，x2=20．若为了减少库存，应降价20元．

答：

若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．

（2）设每件衬衫降低x元时，商场平均每天盈利y元，则y=（40－x）（20＋20x）=－2x2＋60x＋800．当x=－

=－

=15时，y最大=

=1250．

答：

每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．

点拨：

（1）商场每天的盈利额等于这天售出衬衫总数与每件盈利之积，

（2）利用二次函数．

12．解：

设提高x元销售，售货总收入为y元．

y=（x＋50）（500－20x）－40（500－20x）．整理，得y=20

=－20（x－

）2＋6125．解得x=7．5元时，即售价定为57．5元，收益最大，为6125．

13．C点拨：

由化学知识知，HCI溶液呈酸性，因此加水前其pH＜7，而加水后其酸性减弱，pH增大，并且pH随所加水体积（V）的增大而增大，但绝不会超过7，所以选C．

点拨：

溶液的pH是初中化学中一个十分重要的知识，应用很广．本题以“溶解度”为出发点，结合函数增减性质，增养学生的逻辑推理能力．

14．解：

如图．

（1）根据题意，可设C的坐标为（a，2）．

∵点C在直线y=x－2上，∴2=a－2．∴a=4．

∴C（4，2），B（4，0），A（1，0），D（1，2）．

（2）若y=x－2中的x=0，则y=－2，∴点E（0，－2）．

∴过E、A、B的表达式y=a（x－1）（x－4），－2=a（0－1）（0－4）．

∴a=－

．∴y=－

（x－1）（x－4），即y=－

x2＋

x－2．

（3）∵y=－

（x－

）2＋

，∴抛物线的顶点（

，

）．

设在矩形ABCD内部的点（x，y），则1＜x＜4，0＜y＜2．

∵1＜

＜4，0＜

＜2，∴抛物线y=－

x2＋

x－2的顶点在矩形ABCD内部．

点拨：

确定坐标系及用待定系数法确定表达式后，抛物线顶点若落在矩形内部，则1＜x＜4，0＜y＜2，否则落在矩形的外部．

15．解：

（1）y=240－3x（40≤x≤70）．

（2）当每箱售价为x元时，每箱利润为（x－40）元，平均每天的利润为W=（240－3x）（x－40），所以W=－3x2＋360x－9600．

（3）将W=－3x2＋360x－9600，配方得W=－3（x－60）2＋1200．

∴此二次函数的顶点坐标为（60，1200）．

当x=40时，W=－3（40－60）2＋1200=0；

当x=70时，W=－3（70－60）2＋1200=900．

草图如图所示．

（4）由图象易知，当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，其最大利润为1200元．

点拨：

实际应用题计算最值时，同时也要考虑自变量的取值范围．

∴y=－

x2＋4x（图象略）．

（2）y=－

x2＋4x=－

（x－4）2＋8，∴服药后4小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液8微克．

（3）当y=0时，x1=0，x2=8，故一次服药后的有效时间为8小时．

17．解：

（1）P=30＋x；

（2）Q=（1000－10x）（30＋x）＋200x=－10x2＋900x＋30000；

（3）设总利润为L，则由题意，得L=Q－30000－400x=－10x2＋500x，当x=25时，总利润最大为6250元．