三角函数恒等变换.docx

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三角函数恒等变换

一、理论：

1.换元:

“1”可以用正弦余弦的平方和代替，乘1除1结果不变。

2。

列方程组，有些隐藏条件比如正弦余弦的平方和为1，这个公式和已知条件列二元一次方程组求解。

3。

背熟公式。

三角函数引导公式有口诀“奇变偶不变，符号看象限”。

倍角公式也要记牢。

4。

尽量用弦代替切，因为弦的公式比切多。

5。

图象方面，把正弦函数，余弦函数，正切函数的性质都记住，记不住就记图象，考试时在草稿纸上把图象画出来，性质就知道了。

如果给出的函数很复杂就尽量化简。

6。

图象变换：

左加右减，上加下减。

横向伸n倍则x前乘1/n。

纵向伸n倍则该函数整个乘n。

二、常用基本公式

同角三角函数的基本关系

　　倒数关系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1　

　　商的关系：

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα

　　平方关系：

　　sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　1+tan^2（α）=sec^2（α）

　　1+cot^2（α）=csc^2（α）

平常针对不同条件的常用的两个公式

　　sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　tanα*cotα=1

一个特殊公式

　　（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

　　证明：

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]

　　=sin（a+θ）*sin（a-θ）

坡度公式

　　我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

　　即i=h/l,坡度的一般形式写成l:

m形式，如i=1:

5.如果把坡面与水平面的夹角记作

　　a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.

锐角三角函数公式

　　正弦：

sinα=∠α的对边/∠α的斜边

　　余弦：

cosα=∠α的邻边/∠α的斜边

　　正切：

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　　余切：

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

　　正弦

　　sin2A=2sinA·cosA

　　余弦

　　1.Cos2a=Cos^2（a）-Sin^2（a）

　　2.Cos2a=1-2Sin^2（a）

　　3.Cos2a=2Cos^2（a）-1

　　即Cos2a=Cos^2（a）-Sin^2（a）=2Cos^2（a）-1=1-2Sin^2（a）

　　正切

　　tan2A=（2tanA）/（1-tan^2（A））

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

　　cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

　　tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　三倍角公式推导　

　　sin（3a）

　　=sin（a+2a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina

　　=3sina-4sin^3a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cos²a-1）cosa-2（1-cos^a）cosa

　　=4cos^3a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin^3a

　　=4sina（3/4-sin²a）

　　=4sina[（√3/2）²-sin²a]

　　=4sina（sin²60°-sin²a）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos^3a-3cosa

　　=4cosa（cos²a-3/4）

　　=4cosa[cos²a-（√3/2）^2]

　　=4cosa（cos²a-cos²30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

　　现列出公式如下:

sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/（1-tan^2（α））cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。

包括一些图像问题和函数问题中

三倍角公式

　　sin3α=3sinα-4sin^3（α）=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cos^3（α）-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

半角公式

　　sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

积化和差公式

　　sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化积公式

　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

其他

　　sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

四倍角公式

　　sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角公式

　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角公式

　　sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））cos6A=（（-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

　　sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式

　　sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

　　sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

　　sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式

　　根据棣美弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：

cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...=>比较两边的实部与虚部实部：

cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^