三角函数恒等变换.docx

1、三角函数恒等变换一、理论：1.换元:“1”可以用正弦余弦的平方和代替，乘1除1结果不变。2。列方程组，有些隐藏条件比如正弦余弦的平方和为1，这个公式和已知条件列二元一次方程组求解。3。背熟公式。三角函数引导公式有口诀“奇变偶不变，符号看象限”。倍角公式也要记牢。4。尽量用弦代替切，因为弦的公式比切多。5。图象方面，把正弦函数，余弦函数，正切函数的性质都记住，记不住就记图象，考试时在草稿纸上把图象画出来，性质就知道了。如果给出的函数很复杂就尽量化简。6。图象变换：左加右减，上加下减。横向伸n倍则x前乘1/n。纵向伸n倍则该函数整个乘n。二、常用基本公式同角三角函数的基本关系倒数关系： tan c

2、ot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系： sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 平常针对不同条件的常用的两个公式sin2()+cos2()=1 tan *cot =1 一个特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-） 证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin（a+）*sin（a-）

3、坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示， 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦： sin =的对边/ 的斜边 余弦：cos =的邻边/的斜边 正切：tan =的对边/的邻边 余切：cot =的邻边/的对边 二倍角公式正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 即Cos2a=Cos2(a)-S

4、in2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)） 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos&su

5、p2;a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina(3/2)²-sin²a =4sina(sin²60-sin²a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cos

6、acos²a-(3/2)2 =4cosa(cos²a-cos²30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 现列出公式如下: sin2=

7、2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中 三倍角公式sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(

8、/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 c

9、os+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4)

10、tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-1

11、5*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA

12、*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*s

13、inA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N倍角公式根据棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 为方便描述，令sin=s，cos=c 考虑n为正整数的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比较两边的实部与虚部 实部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)