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电大历年离散数学试题汇总

计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题

2012年1月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C2．C3．B4．A5．D

1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．

A．10B．100C．1024D．1

2．设{a,b}，{1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={,}，R2={,,}，R3={,}，则（）是从A到B的函数．

A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3

3．设{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，{2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（）．

A．8、2、8、2B．无、2、无、2

C．6、2、6、2D．8、1、6、1

4．若完全图G中有n个结点（n≥2），m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．

A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数

5．已知图G的邻接矩阵为

则G有（）．

A．6点，8边B．6点，6边

C．5点，8边D．5点，6边

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{∅,{a}}．

7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12，R21中对称关系有4个．

8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去1条边后使之变成树．

9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．

10．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式（∀x）（A（x）∧B（x））消去量词后的等值式为（A（a）∧B（b））∧（A（a）∧B（b））．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．

设P：

今天有联欢活动，Q：

明天有文艺晚会，（2分）

P∧Q．（6分）

12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．

设P：

小王来，Q：

小李去（2分）

P→Q．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．若偏序集的哈斯图如图一所示，

则集合A的最大元为a，极小元不存在．

错误．（3分）

对于集合A的任意元素x，均有∈R（或），所以a是集合A中的最大元．（5分）

但按照极小元的定义，在集合A中均是极小元．（7分）

14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式．

错误．（3分）

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）

如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，

也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）

另种说明：

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）

可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）

或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔T

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．设集合{1，2，3，4}，{,y∈A；-1或x-0}，试

（1）写出R的有序对表示；

（2）画出R的关系图；

（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

15．

（1）{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（3分）

（2）关系图如图二：

图二（6分）

（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的．（9分）

因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的．

（12分）

16．设图，{v1，v2，v3，v4，v5}，{（v1,v2），（v1,v3），（v2,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）画出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；

（4）画出图G的补图的图形．

16．

（1）关系图如图三：

（3分）

（2）邻接矩阵

（6分）

（3）（v1）=2

（v2）=2

（v3）=2

（v4）=2

（v5）=2（9分）

（4）补图如图四

（12分）

17．求P→Q∧R的合取范式与主析取范式．

P→（R∧Q）

⇔┐P∨（R∧Q）（4分）

⇔（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式）（6分）

P→（R∧Q）

⇔┐P∨（R∧Q）

⇔（┐P∧（┐Q∨Q））∨（R∧Q）（7分）

⇔（┐P∧┐Q）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（8分）

⇔（（┐P∧┐Q）∧（┐R∨R））∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（9分）

⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（10分）

⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（（┐P∧Q）∧（┐R∨R））∨（R∧Q）

⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐P∧Q∧R）∨（R∧Q）

⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨

（┐P∧Q∧R）∨（（┐P∨P）∧（R∧Q））

⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨

（┐P∧Q∧R）∨（P∧R∧Q）（主析取范式）（12分）

说明：

此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．

六、证明题（本题共8分）

18．设连通无向图G有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G中可能有的顶点数．

证明：

可利用数列可图化及握手定理解答

顶点度数和为2⨯14=28，（2分）

28-（3⨯4+4⨯3）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）

对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：

2个2度点；

1个2度点和2个1度点；

4个1度点，（6分）

即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）

2011年7月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．C4．D5．B

1．若集合{1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．

A．{2}∈AB．{1，2}⊂A

C．1∉AD．2⊂A

2．设G为无向图，则下列结论成立的是（）．

A．无向图G的结点的度数等于边数的两倍．

B．无向图G的结点的度数等于边数．

C．无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍．

D．无向图G的结点的度数之和等于边数．

3．图G如图一所示，以下说法正确的是（）．

A．{（a，b）}是边割集

B．{a，c}是点割集

C．{d}是点割集

D．{（c，d）}是边割集

图一

4．设集合{1}，则A的幂集为（）．

A．{{1}}B．{1，{1}}

C．{∅，1}D．{∅，{1}}

5．设A（x）：

x是人，B（x）：

x犯错误，则命题“没有不犯错误的人”

可符号化为（）．

A．┐（

x）（A（x）→┐B（x））B．┐（

x）（A（x）∧┐B（x））

C．┐（

x）（A（x）∧B（x））D．（

x）（A（x）∧B（x））

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．命题公式

的真值是　真（或T，或1）　．

7．若无向图T是连通的，则T的结点数v与边数e满足关系1时，T是树．

8．无向图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且结点度数都是偶数．

9．设集合{1，2}上的关系R＝{<2,2>,<1,2>}，则在R中仅需加入一个元素<1,1>，就可使新得到的关系为自反的．

10．（∀x）（P（x）→R（y）∨S（z））中的约束变元有x．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．

设P：

雪是黑色的，（2分）

则命题公式为：

P．（6分）

12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．

设P：

如果明天下雨，Q：

我们在室内上体育课，（2分）

则命题公式为：

P→Q．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．设集合{1，2}，{3，4}，从A到B的关系为{<1,3>，<1,4>}，则f是A到B的函数．

错误．（3分）

因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）

14．设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面．

正确．（3分）

因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有2，

所以2-（）=2-（5-9）=6（7分）

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．试求出P→（R∧Q）的合取范式．

P→（R∧Q）⇔┐P∨（R∧Q）（6分）

⇔（┐P∨R）∧（┐P∨Q）（合取范式）（12分）

16．设{{1},{1,2}，1}，{1,2,{2}}，试计算

（1）（A∩B）

（2）（A∪B）（3）（A∩B）-A．

（1）（A∩B）={1}（4分）

（2）（A∪B）={1,2,{1},{2},{1,2}}（8分）

（3）（A∩B）-A=∅（12分）

17．试画一棵带权为2,3,3,4,5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．

最优二叉树如图二所示．

（10分）

图二

权为2⨯3+3⨯3+3⨯2+4⨯2+5⨯2=39（12分）

六、证明题（本题共8分）

18．试证明：

若R与S是集合A上的对称关系，则R∩S也是集合A上的对称关系．

证明：

设∀x，y∈A，因为R对称，所以若∈R，则∈R．（2分）

因为S对称，所以若∈S，则∈S．（4分）

于是若∈R∩S则∈R且∈S

即∈R且∈S（6分）

也即∈R∩S，故R∩S是对称的．（8分）

中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试

离散数学（本）试题

2011年1月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．D3．B4．D5．C

1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是（）．

A．{1}∈AB．{1}⊆A

C．{a}∈AD．∅∈A

2．设图G＝，v∈V，则下列结论成立的是（）．

A．（v）=2∣E∣B．（v）=∣E∣

C．

D．

3．如图一所示，以下说法正确的是（）．

A．（e,c）是割边B．（d,e）是割边

C．（b,a）是割边D．（b,c）是割边

4．命题公式（P∨Q）的合取范式是（）．

A．PB．（P∧Q）

C．（P∨P）D．（P∨Q）

5．下列等价公式成立的为（）．

A．P∧Q⇔P∨QB．⌝Q→P⇔P→Q

C．⌝P∧P⇔⌝Q∧QD．⌝P∨P⇔Q

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．设集合{0,1,2}，{1,2,3,4,}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为　{<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>}　　　．

7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式2．

8．设G＝是有20个结点，25条边的连通图，则从G中删去6条边，可以确定图G的一棵生成树．

9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且连通．

10．设个体域D＝{1,2}，则谓词公式

消去量词后的等值式为A

（1）∧A

（2）．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．

12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．

11．设P：

小李学习努力，Q：

小李会取得好成绩，（2分）

P→Q．（6分）

12．设P：

小张学习努力，Q：

小王取得好成绩，（2分）

P∧Q．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1⋂R2是自反的．

14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．

13．正确．（3分）

R1和R2是自反的，∀x∈A，∈R1，∈R2，

则∈R1⋂R2，

所以R1⋂R2是自反的．（7分）

14．正确．（3分）

因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．设{{2},1,2}，{1,{1,2}}，试计算

（1）（A-B）；

（2）（A∩B）；（3）A×B．

16．设，{v1，v2，v3，v4，v5}，{（v13），（v23），（v24），（v34），（v35）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

17．设谓词公式

，试

（1）写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

15．

（1）A-B={2,{2}}（4分）

（2）A∩B={1}（8分）

（3）A×{<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,{1,2}>，

<2,1>，<2,{1,2}>}（12分）

16．

（1）G的图形表示如图三：

（3分）

（2）邻接矩阵：

（6分）

（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，2，1（9分）

（4）补图如图四：

（12分）

17．

（1）∃x量词的辖域为

，（2分）

∀z量词的辖域为

（4分）

∀y量词的辖域为

．（6分）

（2）自由变元为

中的y，以及

中的z（9分）

约束变元为

中的x与

中的z，以及

中的y．（12分）

六、证明题（本题共8分）

18．试证明集合等式A⋃（B⋂C）=（A⋃B）⋂（A⋃C）．

18．证明：

设A⋃（B⋂C），（A⋃B）⋂（A⋃C），若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，（1分）

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．（2分）

也即x∈A⋃B且x∈A⋃C，（3分）

即x∈T，所以S⊆T．（4分）

反之，若x∈T，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，（5分）

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，（6分）

也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．（7分）

因此．（8分）

2011年1月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D2．B3．C4．A5．B

1．若集合{a，b}，{a，{a，b}}，则（）．

A．A∉BB．A⊆B

C．A⊂BD．A∈B

2．集合{为小于10的自然数}，集合A上的关系{10且x,y

A}，则R的性质为（）．

A．自反的B．对称的

C．传递且对称的D．反自反且传递的

3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是（）．

图一

A．（a）仅为弱连通的B．（b）仅为弱连通的

C．（c）仅为弱连通的D．（d）仅为弱连通的

4．设图G的邻接矩阵为

则G的边数为（）．

A．5B．6C．7D．8

5．下列公式（）为永真式．

A．⌝P∧⌝Q↔P∨QB．（P→（⌝Q→P））↔（⌝P→（P→Q））

C．（Q→（P∨Q））↔（⌝Q∧（P∨Q））D．（⌝P∨（P∧Q））↔Q

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．设集合A＝{1，2，3}，那么集合A的幂集是{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．

7．设{a，b}，{1，2}，作f：

A→B，则不同的函数个数为4．

8．若{1,2}，{∈A,y∈A,<4}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}．

9．无向连通图在结点数v与边数e满足1关系时是树．

10．（∀x）（A（x）→B（x））∨C（x，y）中的自由变元为C（x，y）中的x与y．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．

12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．

11．设P：

他们去旅游，Q：

明天天晴，（2分）

P→Q．（6分）

12．设P：

今天下雪，（2分）

⌝P．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．汉密尔顿图一定是欧拉图．

错误．（3分）

存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）

反例见图二．

（7分）

14．下面的推理是否正确，试予以说明．

（1）（∃x）（F（x）→G（y））前提引入

（2）F（y）→G（y）

（1）．

1、错误．（3分）

（2）应为F（a）→G（y），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．设{0，1，2，3，4，5，6}，{∈A，y∈A且<1}，{∈A，y∈A且≤3}，试求R，S，R∙S，1，1，r（R）．

{<0,0>}（2分）

{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}（4分）

R∙{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>}（6分）

1={<0,0>}（8分）

1=S（10分）

r（R）．（12分）

16．画一棵带权为1,2,2,3,6的最优二叉树,计算它们的权．

最优二叉树如图四：

图四（10分）

权为：

1⨯3+2⨯3+2⨯3+3⨯3+6⨯1=30（12分）

注:

其他正确的最优二叉树参照给分．

17．求（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式，合取范式．

（P∨Q）→（R∨Q）

⇔⌝（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）

⇔（⌝P∧⌝Q）∨（R∨Q）

⇔（⌝P∨R∨Q）∧（⌝Q∨R∨Q）

⇔（⌝P∨R∨Q）析取、合取范式（12分）

注:

其他正确答案参照给分．

六、证明题（本题共8分）

18．试证明集合等式A⋂（B⋃C）=（A⋂B）⋃（A⋂C）．

证明：

设∩（B∪C），（A∩B）∪（A∩C），若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以S⊆T．（4分）

反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，

即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T⊆S．

因此．（8分）

2010年7月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B2．D3．B4．C5．B

1．若集合{1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．

A．2⊂AB．{1}⊂A

C．1∉AD．2∈A

2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为

（）．

A．6B．4C．3D．5

3．设无向图G的邻接矩阵为

则G的边数为（）．

A．1B．7C．6D．14

4．设集合{a}，则A的幂集为（）．

A．{{a}}B．{a，{a}}

C．{∅，{a}}D．{∅，a}

5．下列公式中（）为永真式．

A．⌝A∧⌝B↔⌝A∨⌝BB．⌝A∧⌝B↔⌝（A∨B）

C．⌝A∧⌝B↔A∨BD．⌝A∧⌝B↔⌝（A∧B）

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．命题公式

的真值是　假（或F，或0）　．

7．若无向树T有5个结点，则T的边数为4．

8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则

（1）1．

9．设集合{1，2}上的关系R＝{<1,1>,<1,2>}，则在R中仅需加一个元素<2,1>，就可使新得到的关系为对称的．

10．（∀x）（A（x）→B（x，z）∨C（y））中的自由变元有z，y．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．

设P：

今天上课，（2分）

则命题公式为：

P．（6分）

12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设P：

他去操场锻炼，Q：

他有时间，（2分）

则命题公式为：

P→Q．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．设集合{1，2}，{3，4}，从A到B的关系为{<1,3>}，则f是A到B的函数．

14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．

13．错误．（3分）

因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）

14．错误．（3分）

不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤36．”

（7分）

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．

（P∨Q）→（R∨Q）⇔┐（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）

⇔（┐P∧┐Q）∨（R∨Q）（8分）

⇔（┐P∧┐Q）∨R∨Q（析取范式）（12分）

16．设{{1},1,2}，{1,{2}}，试计算

（1）A∩B

（2）A∪B（3）A-（A∩B）．

（1）A∩{1}（4分）

（2）A∪{1,2,{1},{2}}（8分）

（3）A-（A∩B）={{1},2}（12分）

17．图，其中{a,b,c,d}，{（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形表示如图一所示：

（3分）

（2）邻接矩阵：

（6分）

（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：

（10分）

权为：

1+1+3=5（12分）

六、证明题（本题共8分）

18．试证明：

若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的