遗传算法与优化问题重要有代码.docx
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遗传算法与优化问题重要有代码
实验十遗传算法与优化问题
一、问题背景与实验目的
遗传算法(GeneticAlgorithm—GA),是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型,它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的•遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法,以其简单通用、鲁棒
性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点,奠定了它作为21世纪关键智能
计算之一的地位.
本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论,然后用其解决几个简单的函数最值问题,使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算.
1.遗传算法的基本原理
遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程.它把问题的参
数用基因代表,把问题的解用染色体代表(在计算机里用二进制码表示),从而
得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体.这个群体在问题特定的环境里生存竞争,适者有最好的机会生存和产生后代.后代随机化地继承了父代的最好特征,并也在生存环境的控制支配下继续这一过程.群体的染色体都将逐渐适应环
境,不断进化,最后收敛到一族最适应环境的类似个体,即得到问题最优的解.值得注意的一点是,现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的,这种学说
对我们用计算机解决复杂问题很有用,而它本身是否完全正确并不重要(目前生物界对此学说尚有争议).
(1)遗传算法中的生物遗传学概念
由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法;故而在
这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念.
首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系.这些概念如下:
序号
遗传学概念
遗传算法概念
数学概念
1
个体
要处理的基本对象、结构
也就是可行解
2
群体
个体的集合
被选定的一组可行解
3
染色体
个体的表现形式
可行解的编码
4
基因
染色体中的元素
编码中的元素
5
基因位
某一基因在染色体中的位置
元素在编码中的位置
6
适应值
个体对于环境的适应程度,或在环境压力下的生存能力
可行解所对应的适应函数值
7
种群
被选定的一组染色体或个体
根据入选概率定出的一组可行解
8
选择
从群体中选择优胜的个体,淘汰劣质个体的操作
保留或复制适应值大的可行解,去掉小的可行解
9
交叉
一组染色体上对应基因段的交换
根据交叉原则产生的一组新解
10
交叉概率
染色体对应基因段交换的概率(可能性大小)
闭区间[0,1]上的一个值,
一般为0.65~0.90
11
变异
染色体水平上基因变化
编码的某些元素被改变
12
变异概率
染色体上基因变化的概率(可能性大小)
开区间(0,1)内的一个值,
一般为0.001~0.01
13
进化、适者生存
个体进行优胜劣汰的进化,一代又一代地优化
目标函数取到最大值,最优的可行解
(2)遗传算法的步骤
遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程,主要有
三个基本操作(或称为算子):
选择(Selection)、交叉(Crossove)、变异(Mutation).
遗传算法基本步骤主要是:
先把问题的解表示成“染色体”,在算法中也就
是以二进制编码的串,在执行遗传算法之前,给出一群“染色体”,也就是假设
的可行解.然后,把这些假设的可行解置于问题的“环境”中,并按适者生存的原则,从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制,再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群.经过这样的一代一代地进化,最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上,它就是问题的最优解.
下面给出遗传算法的具体步骤,流程图参见图1:
第一步:
选择编码策略,把参数集合(可行解集合)转换染色体结构空间;
第二步:
定义适应函数,便于计算适应值;
第三步:
确定遗传策略,包括选择群体大小,选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数;
第四步:
随机产生初始化群体;
第五步:
计算群体中的个体或染色体解码后的适应值;
第六步:
按照遗传策略,运用选择、交叉和变异算子作用于群体,形成下一代群体;
第七步:
判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数,不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步.
图1一个遗传算法的具体步骤
遗传算法有很多种具体的不同实现过程,以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤,此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止.
2.遗传算法的实际应用
例1:
设f(x)x2x0.5,求maxf(x),x[1,2].
注:
这是一个非常简单的二次函数求极值的问题,相信大家都会做•在此我们要研究的不是问题本身,而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题.
在此将细化地给出遗传算法的整个过程.
(1)编码和产生初始群体
首先第一步要确定编码的策略,也就是说如何把1到2这个区间内的数用计算机语言表示出来.
编码就是表现型到基因型的映射,编码时要注意以下三个原则:
完备性:
问题空间中所有点(潜在解)都能成为GA编码空间中的点(染色
体位串)的表现型;
健全性:
GA编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解;非冗余性:
染色体和潜在解必须一一对应.
这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题,将某个变量值代表的个体
表示为一个{0,1}二进制串.当然,串长取决于求解的精度.如果要设定求解精度到六位小数,由于区间长度为2
(1)3,则必须将闭区间[1,2]分为3106等分•因为209715222131062224194304所以编码的二进制串至少需要
22位.
将一个二进制串(b21b20b19…b1b0)转化为区间[1,2]内对应的实数值很简单,只需采取以下两步(Matlab程序参见附录4):
1)将一个二进制串(b21b20b19・・・b1b。
)代表的二进制数化为10进制数:
21
(b21b20b]9(bi2)10x'
i0
2)x'对应的区间[1,2]内的实数:
例如,一个二进制串a=<1000101110110101000111表示实数0.637197.
2288967
3
2221
0.637197
x'=(1000101110110101000111)=2288967
二进制串<0000000000000000000000><1111111111111111111111>则分别表示区间的两个端点值-1和2.
利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步编码,这种二进制编码的
方法完全符合上述的编码的三个原则.
首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下:
pop
(1)={1.523032,0.574022,-0.697235,0.247238}接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了.
(2)定义适应函数和适应值
保证映射后的适应值非负,而且目
也为以后计算各个体的入选概率
由于给定的目标函数f(x)x22x0.5在[1,2]内的值有正有负,所以必
对于本题中的最大化问题,定义适应函数
g(x),采用下述方法:
须通过建立适应函数与目标函数的映射关系,标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向,打下基础.
g(x)
f(x)Fmin,若f(x)Fmin0
0,其他
式中Fmin既可以是特定的输入值,也可以是当前所有代或最近K代中f(x)的最小值,这里为了便于计算,将采用了一个特定的输入值.
若取Fmin1,则当f(x)1时适应函数g(x)2;当f(X)1.1时适应函数g(x)0.
由上述所随机产生的初始群体,我们可以先计算出目标函数值分别如下
(Matlab程序参见附录3):
f[pop
(1)]={1.226437,1.318543,-1.380607,0.933350}
然后通过适应函数计算出适应值分别如下(Matlab程序参见附录5、附录6):
取Fmin1,
g[pop
(1)]={2.226437,2.318543,0,1.933350}
(3)确定选择标准
这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准,得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率.其计算公式如下:
对于给定的规模为n的群体pop={a1,a2,a3,L,an},个体ai的适应值为g(aj,
则其入选概率为
Ps(a)ng(ai),i1,2,3,,n
g(ai)
i1
由上述给出的群体,我们可以计算出各个个体的入选概率.
4
首先可得g(ai)6.478330,
i1
4
然后分别用四个个体的适应值去除以g(a),得:
i1
P(a1)=2.226437/6.478330=0.343675%%a1
P(a2)=2.318543/6.478330=0.357892%%a2
P(a3)=0/6.478330=0%%a3
P(a4)=1.933350/6.478330=0.298433%%a4(Matlab程序参见附录7)
(4)产生种群
计算完了入选概率后,就将入选概率大的个体选入种群,淘汰概率小的个体,并用入选概率最大的个体补入种群,得到与原群体大小同样的种群(Matlab程序参见附录&附录11).
要说明的是:
附录11的算法与这里不完全相同•为保证收敛性,附录11的
算法作了修正,采用了最佳个体保存方法(elitistmodel),具体内容将在后面给出介绍.
由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3,再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop
(1)如下:
newpop
(1)={
<1101011101001100011110>%%a1
<1000011001010001000010〉,%%a2
<1000011001010001000010>%%a2
<0110101001101110010101〉}%%a4
(5)交叉
交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体,然后得到新
的染色体组,组成新的群体(Matlab程序参见附录9).
我们把之前得到的newpop
(1)的四个个体两两组成一对,重复的不配对,进行交叉.(可以在任一位进行交叉)
<1101011叭/1001100011110><1101011101010001000010>
交叉得:
10010101>,
<0110101001101101000010>
<10000110010100
<01101010011011
01000010>,
<1000011001010001000010〉<1000011001001100011110>
<1000011001010010010101>
交叉得:
通过交叉得到了四个新个体,得到新的群体jchpop
(1)如下:
jchpop
(1)={
<1101011101010001000010>
<1000011001001100011110>
<1000011001010010010101>
<0110101001101101000010>}
这里采用的是单点交叉的方法,当然还有多点交叉的方法,不过有些烦琐,
这里就不着重介绍了.
(6)变异
变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因(Matlab程序参见
附录10).
现把刚得到