高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系第2课时圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用讲义.docx

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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系第2课时圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用讲义

第2课时　圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．

（1）如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？

判断步骤如何？

提示：

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；

②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；

③当|r1－r2|

④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；

⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．

判断步骤为：

①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．

（2）已知两圆C1：

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：

x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？

提示：

联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．

2．归纳总结，核心必记

（1）圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．

（2）圆与圆位置关系的判定

①几何法：

若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置

关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1、

r2的

关系

d＞r1＋r2

d＝r1

＋r2

|r1－r2|＜

d＜r1＋r2

d＝|r1

－r2|

d＜|r1

－r2|

②代数法：

通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

消元，一元二次方程

[问题思考]

将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0（i＝1,2）相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？

提示：

两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

（1）圆与圆有哪些位置关系？

　；

（2）怎样判断圆与圆的位置关系？

　.

下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．

可以用两个圆来表示变化过程．

[思考1]　根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？

提示：

5种，即内含、内切、相交、外切、外离．

[思考2]　能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？

提示：

可以，利用圆心距与半径的关系可判断．

[思考3]　直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？

提示：

可以．

讲一讲

1．当实数k为何值时，两圆C1：

x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：

x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？

（链接教材P129－例3）

[尝试解答]　将两圆的一般方程化为标准方程，

C1：

（x＋2）2＋（y－3）2＝1，

C2：

（x－1）2＋（y－7）2＝50－k.

圆C1的圆心为C1（－2,3），半径长r1＝1；

圆C2的圆心为C2（1,7），半径长r2＝（k＜50），

从而|C1C2|＝＝5.

当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．

当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．

当|－1|＜5＜1＋，

即k∈（14,34）时，两圆相交．

当1＋＜5或|－1|＞5，

即k∈（34,50）∪（－∞，14）时，两圆相离．

（1）判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：

①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；

②计算两圆圆心的距离d；

③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

（2）应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

练一练

1．两圆C1：

x2＋y2－2x－3＝0，C2：

x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是（　　）

A．相离　　　B．相切　　　C．相交　　　D．内含

解析：

选C　法一：

（几何法）把两圆的方程分别配方，化为标准方程是（x－1）2＋y2＝4，（x－2）2＋（y＋1）2＝2，所以两圆圆心为C1（1,0），C2（2，－1），半径为r1＝2，r2＝，则连心线的长|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．

法二：

（代数法）联立方程

解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．

讲一讲

2．已知圆C1：

x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：

x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

[尝试解答]　设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标是方程组

的解，

①－②得：

3x－4y＋6＝0.

∵A，B两点坐标都满足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．

易知圆C1的圆心（－1,3），半径r1＝3.

又C1到直线AB的距离为

d＝＝.

∴|AB|＝2＝2＝.

即两圆的公共弦长为.

（1）若圆C1：

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：

x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.

（2）公共弦长的求法

①代数法：

将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：

求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

练一练

2．求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．

解：

联立两圆的方程得方程组

两式相减得x－2y＋4＝0，

此即为两圆公共弦所在直线的方程．

法一：

设两圆相交于点A，B，

则A，B两点坐标满足方程组

解得或

所以|AB|＝＝2，

即公共弦长为2.

法二：

由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，

得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，其圆心坐标为（1，－5），半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.

设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，

即50＝（3）2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.

讲一讲

3．有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

[思路点拨]　建系后利用居民选择在A地购买商品建立不等关系后化简作出判断．

[尝试解答]　

以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，

设A（－5,0），则B（5,0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A运货到P地的运费为2a元/km.则从B运货到P地运费为a元/km.

若P地居民选择在A地购买此商品，则2a

2＋y2＝2的内部．

也就是说，圆C内的居民应在A地购物．

同理可推得圆C外的居民应在B地购物．

圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．

解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤

练一练

3．台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（　　）

A．0.5小时　　　　　　B．1小时

C．1.5小时D．2小时

解析：

选B　以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，

则台风中心在直线y＝x上移动，又B（40,0）到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时．故选B.

———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————

1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1.

（2）求两圆公共弦长的方法，见讲2.

（3）解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.

3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.

课下能力提升（二十五）

[学业水平达标练]

题组1　圆与圆的位置关系

1．圆O1：

x2＋y2－2x＝0和圆O2：

x2＋y2－4y＝0的位置关系为（　　）

A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切

解析：

选B　圆O1的圆心坐标为（1,0），半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为（0,2），半径长r2＝2;1＝r2－r1<|O1O2|＝

2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（121，＋∞）

C．[1,121]D．（1,121）

解析：

选C　x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝36.圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，∴1≤m≤121.

3．已知圆C1：

（x－1）2＋（y－2）2＝4，圆C2：

（x＋2）2＋（y＋2）2＝9，则两圆的位置关系是________．

解析：

C1（1,2），r1＝2，C2（－2，－2），r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．

答案：

外切

4．已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．

解析：

圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.

答案：

x＋3y＝0

5．求与圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4相切于点A（4，－1）且半径为1的圆的方程．

解：

设所求圆的圆心为P（a，b），则＝1.　①

（1）若两圆外切，则有＝1＋2＝3,②

联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为（x－5）2＋（y＋1）2＝1；

（2）若两圆内切，则有＝|2－1|＝1,③

联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋1）2＝1.

综上所述，所求圆的方程为（x－5）2＋（y＋1）2＝1或（x－3）2＋（y＋1）2＝1.

题组2　直线与圆的方程的应用

6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过（　　）

A．1.4米　　B．3.5米

C．3.6米D．2米

解析：

选B　建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A（0.8，h－3.6）所在圆的方程为：

x2＋（y＋3.6）2＝3.62，把A（0.8，h－3.6）代入得0.82＋h2＝3.62.

∴h＝4≈3.5（米）．

7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路（直道）的同侧，分别距小路km和2km，且A、B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？

解：

所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．

由题意，得A（，），B（0,2），

设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝b2，由A、B两点在圆上，得或由实际意义知a＝0，b＝，

∴圆的方程为x2＋（y－）2＝2，切点为（0,0），

∴观景点应设在B景点在小路的投影处．

8．（2016·日照高一检测）为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

解：

以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，

则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B（8,0），C（0,8），

所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）与圆的切点处时，DE为最短距离．所以DE长的最小值为－1＝（4－1）km.

[能力提升综合练]

1．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程为（　　）

A．（x－4）2＋（y－6）2＝6

B．（x±4）2＋（y－6）2＝6

C．（x－4）2＋（y－6）2＝36

D．（x±4）2＋（y－6）2＝36

解析：

选D　∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为（a，b），则b＝6（b＝－6舍去）．再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为（x±4）2＋（y－6）2＝36.

2．两圆C1：

x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：

x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选C　∵圆C1的圆心C1（－2,2），半径为r1＝1，圆C2的圆心C2（2,5），半径r2＝4，∴C1C2＝＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．

3．（2016·衡水高一检测）已知半径为1的动圆与圆（x－5）2＋（y＋7）2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）

A．（x－5）2＋（y－7）2＝25

B．（x－5）2＋（y－7）2＝17或（x－5）2＋（y＋7）2＝15

C．（x－5）2＋（y－7）2＝9

D．（x－5）2＋（y＋7）2＝25或（x－5）2＋（y＋7）2＝9

解析：

选D　设动圆圆心为（x，y），若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴（x－5）2＋（y＋7）2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴（x－5）2＋（y＋7）2＝9.

4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆心的距离|C1C2|＝（　　）

A．4B．4C．8D．8

解析：

选C　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点（4,1），∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为（a，a），（b，b），则有（4－a）2＋（1－a）2＝a2，（4－b）2＋（1－b）2＝b2，即a，b为方程（4－x）2＋（1－x）2＝x2的两个根，

整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.

∴（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝100－4×17＝32，

∴|C1C2|＝＝＝8.

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝__________.

解析：

由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝，利用圆心（0,0）到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝1.

答案：

1

6．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解：

以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图），其中取10km为单位长度，

则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，

港口所对应的点的坐标为（0,4），

轮船的初始位置所对应的点的坐标为（7,0），

则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，

即4x＋7y－28＝0.

圆心（0,0）到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，∴d>r，

∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．