《三角形全等的判定5》教案.docx
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《三角形全等的判定5》教案
12.2全等三角形的判定
第5课时
一、教学目标
(一)学习目标
1.熟记三角形全等的判定条件,能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.
2.运用各种全等判定法进行说理,三角形全等的判定和性质的综合应用.
3.掌握全等三角形证明的思路,有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.
(二)学习重点
灵活运用各种方法判定两个三角形全等.
(三)学习难点
掌握全等三角形证明的思路,综合应用三角形全等的判定和性质.有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.
二、教学设计
(一)课前设计
1.复习任务
基本知识回顾(完成表格)
两个三角形中对应相等的元素
两个三角形是否全等(全等画√,不全等画×)
依据的判定法(简写)
三条边
√
SSS
两边一角
两边及其夹角
√
SAS
两边与一边对角
×
\
两角一边
两角及其夹边
√
ASA
两角与一角对边
√
AAS
三个角
×
\
判断题
(1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(√)
(2)有两条边对应相等的两个直角三角形全等.(×)
(3)有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等.(×)
(4)只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形.(×)
(5)有一边对应相等的两个等腰三角形全等.(×)
(6)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.(√)
2.复习自测
(1)尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于
CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是 ( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】认真阅读作法,从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等,加上公共边相等,于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件,答案可得.
【解题过程】
∵以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,即OC=OD;
以点C,D为圆心,以大于
CD长为半径画弧,两弧交于点P,即CP=DP;
∴在△OCP和△ODP中
∴△OCP≌△ODP(SSS).
【答案】D
(2)如图,AB∥CD,AB=CD,点E、F在AD上,且AE=DF.求证:
△ABE≌△DCF.
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】根据平行线的性质求出∠A=∠D,根据SAS推出即可.
【解题过程】
证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF(SAS)
(2)课堂设计
1.知识回顾
判定和性质
注:
①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;
②全等三角形除了对应边相等,对应角相等;还有对应中线,对应高,对应角平分线,对应周长和面积相等.
证题的思路:
【设计意图】通过对旧知识的复习整理,让知识系统化,明确证明全等的思路,为新知识的学习作铺垫.
2.问题探究
探究一:
整合旧知,能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.
●活动善于挖掘出隐含条件,灵活运用判定证全等.
例1:
如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB,只需添加一个条件是_____________.(只需添加一个你认为适合的条件)
师提出问题:
(1)在△ABC和△DCB中,有隐含条件吗?
(2)根据前面对全等三角形证明思路的梳理,本题已知一边一角,可以怎样补充全等的条件呢?
学生举手抢答.
方法一:
补充AB=DC(SAS).
方法二:
补充∠A=∠D(AAS).
方法三:
补充∠DBC=∠ACB(ASA).
练习:
1.如图,CD与BE相交于点O,AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,则∠C=______,BE=______.说说理由.
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】找到∠A为公共角这个隐含条件是解决本题的关键.
【解题过程】
解:
∵在△ABE与△ACD中,
AD=AE,AB=AC,∠A为公共角,
∴△ABE≌△ACD,
∴∠C=∠B=20°,BE=CD=5cm.
【答案】20°,5cm
2.如图,若OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,则CD=______.
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】找到对顶角∠AOB=∠COD这个隐含条件是解决本题的关键.
【解题过程】
解:
∵在△AOB与△COD中,
∠A=∠C,∠AOB=∠COD,OB=OD,
∴△AOB≌△COD,
∴CD=AB=3cm.
【答案】3cm
3.如图,已知∠1=∠2,欲证△ABD≌△ACD,还必须从下列选项中补选一个,则错误的选项是( )
A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.BD=CDD.AB=AC
B.【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】
C.A.加∠ADB=∠ADC,∵∠1=∠2,AD=AD,∠ADB=∠ADC,∴△ABD≌△ACD(ASA),故正确;
B.加∠B=∠C∵∠1=∠2,AD=AD,∠B=∠C,∴△ABD≌△ACD(AAS),故正确;
C.加DB=DC,满足SSA,不能得出△ABD≌△ACD,故错误;
D.加AB=AC,∵∠1=∠2,AD=AD,AB=AC,∴△ABD≌△ACD(SAS),故正确.
【答案】C
【设计意图】熟记三角形全等的判定条件,能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.善于挖掘公共边、公共角、对顶角这些隐含的边、角相等的条件!
探究二三角形全等的判定和性质的综合应用(证二次全等)★▲
●活动①大胆猜想,寻找思路.
例1:
如图,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:
BF=DE
师提出问题:
从BF和DE在图形中的位置可以看出BF和DE分别在哪些三角形中?
引导生分析:
△ABF和△CDE中或△CFB和△AED中,所以可以通过证△ABF≌△CDE或△CFB≌△AED来达到证BF=DE的目的.
【设计意图】问题引领,知道从结论入手的分析方法.
●活动②集思广益,探寻三角形全等的条件.
问题1:
从已知出发,能直接证到上述三角形全等吗?
问题2:
由已知易证到哪两个三角形全等?
它可以为证△ABF≌△CDE准备条件吗?
教师引导,学生讨论,得出方法.
证明:
在△ABC和△CDA中
BC=DA
AB=DC
AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠CAB=∠ACD.
在△ABF和△CDE中
AB=CD
∠CAB=∠ACD
AF=CE,
∴△ABF≌△CDE(SAS).
∴BF=DE.
【设计意图】教师设计问题链,引导学生思考如何寻求证明全等的条件,初步明确证明题的分析方法.
●活动③反思小结,总结方法.
回顾上述分析过程,说说证明两个三角形全等如何入手?
归纳:
证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.
(1)综合法:
就是从已知条件入手进行推理,逐步向要证明的结论推进。
如从已知条件中推导出对应边或对应角相等,从而推导出三角形全等。
同时,也可以从三角形全等推导出对应边、对应角相等,达到证题的目的。
(2)分析法:
即从欲证的结论出发,分析结论成立的必要条件,用条件联系已知,寻找他们之间的关系,逐步靠拢已知条件,从而分析出已知与结论的因果关系。
证明时,分析法和综合法结合起来使用更加有效(即“两头凑”)。
证三角形全等时,既要有明显的已知条件,又要有隐藏的条件,通过综合法罗列已知条件,再通过分析法找出隐藏条件,从而得证。
【设计意图】培养学生探究、发现、归纳方法的能力.
●活动④多元思维,知识迁移.
同类题突破练习:
如图,AB和CD相交于点O,由O画OE⊥AD,垂足为E,OF⊥BC,垂足为F,若有OE=OF,AO=BO.求证:
CO=DO
【知识点】全等三角形的判定和性质
【思路点拨】先证Rt△AOE≌Rt△BOF,可得∠A=∠B,再根据对顶角相等得到∠AOD=∠BOC,再根据ASA证△AOD≌△BOC,即可得CO=DO.
【解题过程】
证明:
∵OE⊥AD,OF⊥BC,
∴∠OEA=∠OFB=90°,
在Rt△AOE和Rt△BOF中,
∴Rt△AOE≌Rt△BOF(HL),
∴∠A=∠B,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(ASA)
∴CO=DO.
探究三掌握全等三角形证明的思路,解决实际问题和综合问题.★▲
●活动①全等三角形在实际问题中的应用.
例1:
为了测量一池塘的两端A,B之间的距离,同学们想出了如下的两种方案:
①如图1,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出DE的距离就是AB的长;
②如图2,过点B作AB的垂线BF,在BF上取C,D两点,使BC=CD接着过D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即是AB的距离.
问:
(1)方案①是否可行?
理由是什么.
(2)方案②是否可行?
理由是什么.
(3)小明说在方案②中,并不一定需要BF⊥AB,DE⊥BF,只需要______就可以了,请把小明所说的条件补上.
【知识点】全等三角形的应用.
【思路点拨】熟记判定与性质,灵活准确运用.
【解题过程】
(1)解:
(1)在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE;
(2)∵BF⊥AB,DE⊥BF,
∴∠B=∠BDE,
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE;
(3)只需AB∥DE即可,
∴
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(ASA)
∴AB=DE.
【答案】
(1)可行,由SAS可证明△ABC≌△DEC,再根据全等三角形的性质可得AB=DE
(2)可行,由ASA可证明△ABC≌△DEC,再根据全等三角形的性质可得AB=DE
(3)AB∥DE,由这个条件可得∠B=∠BDE,利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB=DE
练习1:
如图所示,小明为了测量河的宽度,他先站在河边的C点处,头顶为点D,面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点,然后他姿势不变,原地转了180°,正好看见了他所在岸上的一块石头B点,他测量出BC=30米,你能猜出河有多宽吗?
说说理由.
【知识点】全等三角形的应用.
【思路点拨】要转化为数学问题,须仔细读题,找出有用的已知条件,其中∠BDC=∠ADC是不易被发现的.解决本题的关键是条件∠BDC=∠ADC的找出,做题时要认真读题,理解题意,这是正确解题的保证.
【解题过程】
在△BCD和△ACD中,
由题意知∠BCD=∠ACD=90°,CD=CD,∠BDC=∠ADC,
∴△BCD≌△ACD,
∴AC=BC=30m.
【答案】30m.
【设计意图】让学生初步学会运用三角形全等的知识解决生活中的实际问题,知道解决此类问题的关键是建立数学模型,将实际问题转化为数学问题,感受到数学源于生活而又服务于生活.
●活动2作辅助线构造全等三角形
例2:
如图,在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线,求AD的取值范围.
【知识点】全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.
【数学思想】转化思想
【思路点拨】延长AD到E,使AD=DE,连接BE,证△ADC≌△EDB,推出AC=BE=8,在△ABE中,根据三角形三边关系定理得出AB-BE<AE<AB+BE,代入求出即可.
【解题过程】
解:
延长AD到E,使AD=DE,连接BE,
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中
AD=DE
∠ADC=∠EDB
DC=BD
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=BE=8,
在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,
∴12-8<2AD<12+8,
∴2<AD<10,
练习2.如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,点F为垂足.求证:
CF=DF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【思路点拨】由已知可利用SAS判定△ABC≌△AED,根据全等三角形的对应边相等可得到AC=AD,再利用HL证明Rt△ACF≌Rt△ADF,即可推出CF=DF.
【解题过程】
证明:
连结AC、AD,
∵在△ABC和△AED中,
AB=AE,
∠B=∠E,
BC=ED
∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵AF⊥CD
∴∠AFC=∠AFD=90°
在Rt△ACF和Rt△ADF中
AC=AD(已证)
AF=AF(公共边)
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)
∴CF=DF(全等三角形的对应边相等)
【设计意图】熟练运用全等三角形的性质与判定,初步感受通过作辅助线构造全等三角形.
●活动3运用全等三角形解决全等变换问题(平移、翻折、旋转等变换)
例3:
(1)已知如图1,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠DAE,连接CE、BD,求证:
CE=BD.
(2)将△ADE绕着A点旋转,当点C、E、D在一条直线时如图2,上述结论是否成立?
(直接写出结论)
(3)旋转到图3时,上述结论仍成立吗?
说明理由.
【知识点】三角形全等的判定和性质.
【数学思想】类比思想
【思路点拨】
(1)求证CE=BD,应证明△ACE≌△ABD,根据SAS即可证明;
(2),(3)的证明方法和
(1)类似.
【解题过程】
证明:
(1)∵∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB-∠BAE=∠DAE-∠BAE.
即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中
AB=AC
∠CAE=∠BAD
AD=AE,
∴△ACE≌△ABD(SAS).
∴CE=BD.
(2)结论仍成立.
(3)结论成立.理由如下:
∵∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE.
即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中
AB=AC
∠CAE=∠BAD
AD=AE,
∴△ACE≌△ABD(SAS).
∴CE=BD.
练习3:
(1)如图①,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF.求证:
△AFC≌△DEB.
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图②,③时,其余条件不变,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
【知识点】平行线的性质,三角形全等的判定
【数学思想】类比思想
【思路点拨】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图
(2)、(3)时,其余条件不变,结论仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证.
【解题过程】
解:
(1)∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,
即AC=BD.
∵DE∥AF,
∴∠A=∠D.
在△AFC和△DEB中,
AF=DE,
∠A=∠D,
AC=DB
∴△AFC≌△DEB(SAS).
(2)在②,③中结论依然成立.
如在③中,∵AB=CD,
∴AB-BC=CD-BC,
即AC=BD,
∵AF∥DE,
∴∠A=∠D.
在△ACF和△DBE中,
AF=DE,∠A=∠D,AC=DB
∴△ACF≌△DBE(SAS).
【设计意图】明确全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,同时让学生体会在图形的变化过程中,要紧紧把握住图形的形状,大小是否发生变化,原有的规律是否存在是解决此类题目的关键,自然渗透类比的数学思想.
2.课堂总结
知识梳理
(1)三角形全等的判定和性质.
(2)三角形全等证题的思路.
(3)全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时
①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中.
②分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件.
③有公共边的,公共边一定是对应边,有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角.
证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.
重难点归纳
(1)灵活运用三角形全等的判定和性质解决综合问题.
(2)三角形全等证题的思路和分析方法.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.如图,∠C=∠D=90°,AC=AD,那么△ABC与△ABD全等的理由是( )
A.HLB. SASC. ASAD. AAS
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是注意是两个三角形的公共边,本题属于基础题型.
【解题过程】
解:
在Rt△ABC与Rt△ABD中,
AC=AD,AB=AB
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)
【答案】A
2.用直尺和圆规画出一个角等于已知角,是运用全等三角形来解决的,其中判定全等的方法是( )
A.SSSB. SASC. ASAD. HL
【知识点】尺规作图,全等三角形的判定
【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定,以及作一个角等于已知角的做法,关键是熟练掌握作一个角等于已知角的做法.用直尺和圆规画出一个角等于已知角,是运用了SSS定理来判定全等的,
【答案】A.
3.已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是()
A.72°B.60°
C.58°D.50°
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】解题时认准对应关系是解决本题的关键.
【解题过程】
解:
∵图中的两个三角形全等
a与a,c与c分别是对应边,那么它们的夹角就是对应角
∴∠α=50°
【答案】D
4.若△ABC≌△ADE,∠EAC=35°,则∠BAD=_______度.
【知识点】全等三角形的性质
【思路点拨】由全等三角形的性质知:
对应角∠CAB=∠EAD相等,再从上图中找出等量关系:
∠BAD=∠CAB-∠EAB=∠EAC.
【答案】35
5.如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS,可据此进行判断.
【解题过程】
解:
第①组满足SSS,能证明△ABC≌△DEF.
第②组满足SAS,能证明△ABC≌△DEF.
第③组满足ASA,能证明△ABC≌△DEF.
第④组只是SSA,不能证明△ABC≌△DEF.
所以有3组能证明△ABC≌△DEF.
故符合条件的有3组.
【答案】C.
6.如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:
________
【知识点】全等三角形的判定
【思路点拨】要证两三角形全等的判定,已经有∠EAD=∠FAD,AD=AD,所以再添加一对边或一对角相等即可得证.
【解题过程】
解:
①添加条件:
AE=AF,
证明:
在△AED与△AFD中,
∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS),
②添加条件:
∠EDA=∠FDA,
证明:
在△AED与△AFD中,
∵∠EAD=∠FAD,AD=AD,∠EDA=∠FDA,
∴△AED≌△AFD(ASA).
【答案】AE=AF或∠EDA=∠FDA(其它也可以).
能力型 师生共研
1.如图,AB=DC,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
【知识点】全等三角形的判定和性质.
【思路点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过添加辅助线,构造出两个全等的三角形,利用三角形的全等证明.连接BC,先根据全等三角形的判定得到△ABC≌△DCB,再利用全等三角形的性质即可得到∠A=∠D.
【解题过程】
证明:
连接BC,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴∠A=∠D.
2.已知:
如图,AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:
AF=DE.
【知识点】全等三角形的判定和性质.
【思路点拨】要证AF=DE,可证△AFB与△DEC全等,但还缺少相关角相等的条件,所以先证△AEB与△DFC全等.根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键,注意本题需要两次证明三角形全等.
【解题过程】
证明:
∵CE=FB,
∴CE+EF=FB+EF,
即CF=BE,
在△ABE和△DCF中,
AB=CD
AE=DF
CF=BE
∴△ABE≌△DCF(SSS),
∴∠B=∠C,
在△ABF和△DCE中,
AB=CD
∠B=∠C
CE=FB
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE.
探究型 多维突破
1.如图1,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,点C在直线BD上且与F重合,AB=FD,BC=DE
(1)请说明△ABC≌△FDE,并判断AC是否垂直FE?
(2)若将△ABC沿BC方向平移至如图2的位置时,且其余条件不变,则AC是否垂直FE?
请说明为什么?
【知识点】全等三角形的判定和性质,垂直的定义,三角形内角和定理.
【思路点拨】
(1)根据全等三角形的判定SAS证△ABC≌△FDE,推出∠A=∠EFD,求出∠DCE+∠ACB=90°,推出∠ACE=90°即可;
(2)根据∠F=∠A,∠AMN=∠FMB,求出∠A+∠AMN=90°,根据三角形的内角和定理和垂直定义即可推出答案.
【解题过程】
解:
(1)AC⊥EF理由是:
∵AB⊥BD于B,ED⊥BD于D
∴∠B=∠D=90°
在△ABC和△FDE中
∴△ABC≌△FDE
∴∠A=∠EFD
∵∠B=90°
∴∠A+∠ACB=90°
∴∠ACB+∠ECD=90°
∴∠ACE=180°-90°=90°
∴AC⊥CE
即AC⊥FE
(2)AC⊥FE
理由如下
∵∠A=∠F(已证),∠ABC=∠ABF=90°,∠AMN=∠FMB
∴∠F+∠FMB=90°
∴∠A+∠AMN=90°
∴∠ANM=180°-90°=90°
∴AC⊥FE
2.
(1)如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A点的一条直线,且B、C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:
BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕点A旋转到图2的位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
请予以证明.
【知识点】全等三角形的判定
【数学思想】类比思想
【思路点拨】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用,常用的判定方法有SSS,SAS,AAS等.这种类型的题目经常考到,要注意掌握.
(1)根据已知利用AAS判定△ABD≌△ACE从而得到BD=AE,AD=CE,因为AE=AD+DE,所以BD=DE+CE;
(2)根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE,AD=CE,因为