《三角形全等的判定5》教案.docx

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《三角形全等的判定5》教案

12.2全等三角形的判定

第5课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.

2.运用各种全等判定法进行说理，三角形全等的判定和性质的综合应用.

3.掌握全等三角形证明的思路，有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.

（二）学习重点

灵活运用各种方法判定两个三角形全等.

（三）学习难点

掌握全等三角形证明的思路，综合应用三角形全等的判定和性质.有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.

二、教学设计

（一）课前设计

1．复习任务

基本知识回顾（完成表格）

两个三角形中对应相等的元素

两个三角形是否全等（全等画√，不全等画×）

依据的判定法（简写）

三条边

√

SSS

两边一角

两边及其夹角

√

SAS

两边与一边对角

×

\

两角一边

两角及其夹边

√

ASA

两角与一角对边

√

AAS

三个角

×

\

判断题

（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（√）

（2）有两条边对应相等的两个直角三角形全等.（×）

（3）有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等.（×）

（4）只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形.（×）

（5）有一边对应相等的两个等腰三角形全等.（×）

（6）斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.（√）

2．复习自测

（1）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：

以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于

CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是    （    ）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．

【解题过程】

∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；

以点C，D为圆心，以大于

CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；

∴在△OCP和△ODP中

∴△OCP≌△ODP（SSS）．

【答案】D

（2）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：

△ABE≌△DCF．

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】根据平行线的性质求出∠A=∠D，根据SAS推出即可．

【解题过程】

证明：

∵AB∥CD，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（SAS）

（2）课堂设计

1.知识回顾

判定和性质

注：

①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

②全等三角形除了对应边相等，对应角相等；还有对应中线，对应高，对应角平分线，对应周长和面积相等．

证题的思路：

【设计意图】通过对旧知识的复习整理，让知识系统化，明确证明全等的思路,为新知识的学习作铺垫.

2.问题探究

探究一：

整合旧知，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等．

●活动善于挖掘出隐含条件，灵活运用判定证全等.

例1：

如图，已知∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是_____________.（只需添加一个你认为适合的条件）

师提出问题:

（1）在△ABC和△DCB中，有隐含条件吗？

（2）根据前面对全等三角形证明思路的梳理，本题已知一边一角，可以怎样补充全等的条件呢？

学生举手抢答.

方法一：

补充AB=DC（SAS）.

方法二：

补充∠A=∠D（AAS）.

方法三：

补充∠DBC=∠ACB（ASA）.

练习：

1.如图，CD与BE相交于点O，AD=AE,AB=AC.若∠B=20°，CD=5cm，则∠C=______，BE=______.说说理由.

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】找到∠A为公共角这个隐含条件是解决本题的关键.

【解题过程】

解:

∵在△ABE与△ACD中，

AD=AE，AB=AC，∠A为公共角，

∴△ABE≌△ACD，

∴∠C=∠B=20°，BE=CD=5cm．

【答案】20°，5cm

2.如图，若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=______.

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】找到对顶角∠AOB=∠COD这个隐含条件是解决本题的关键.

【解题过程】

解：

∵在△AOB与△COD中，

∠A=∠C，∠AOB=∠COD，OB=OD，

∴△AOB≌△COD，

∴CD=AB=3cm．

【答案】3cm

3.如图，已知∠1=∠2，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（   ）

​

A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.BD=CDD.AB=AC

B.【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】

C.A.加∠ADB=∠ADC，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），故正确；

B.加∠B=∠C∵∠1=∠2，AD=AD，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），故正确；

C.加DB=DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，故错误；

D.加AB=AC，∵∠1=∠2，AD=AD，AB=AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），故正确.

【答案】C

【设计意图】熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.善于挖掘公共边、公共角、对顶角这些隐含的边、角相等的条件！

探究二三角形全等的判定和性质的综合应用（证二次全等）★▲

●活动①大胆猜想，寻找思路.

例1：

如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF.求证：

BF=DE

师提出问题：

从BF和DE在图形中的位置可以看出BF和DE分别在哪些三角形中？

引导生分析:

△ABF和△CDE中或△CFB和△AED中，所以可以通过证△ABF≌△CDE或△CFB≌△AED来达到证BF=DE的目的.

【设计意图】问题引领，知道从结论入手的分析方法．

●活动②集思广益，探寻三角形全等的条件.

问题1：

从已知出发,能直接证到上述三角形全等吗?

问题2：

由已知易证到哪两个三角形全等?

它可以为证△ABF≌△CDE准备条件吗?

教师引导，学生讨论，得出方法.

证明：

在△ABC和△CDA中

BC＝DA

AB＝DC

AC＝CA

∴△ABC≌△CDA（SSS）．

∴∠CAB=∠ACD．

在△ABF和△CDE中

AB=CD

∠CAB=∠ACD

AF=CE，

∴△ABF≌△CDE（SAS）．

∴BF=DE．

【设计意图】教师设计问题链，引导学生思考如何寻求证明全等的条件，初步明确证明题的分析方法.

●活动③反思小结，总结方法．

回顾上述分析过程，说说证明两个三角形全等如何入手？

归纳：

证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.

（1）综合法：

就是从已知条件入手进行推理，逐步向要证明的结论推进。

如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。

同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角相等，达到证题的目的。

（2）分析法：

即从欲证的结论出发，分析结论成立的必要条件，用条件联系已知，寻找他们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。

证明时，分析法和综合法结合起来使用更加有效（即“两头凑”）。

证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

【设计意图】培养学生探究、发现、归纳方法的能力.

●活动④多元思维，知识迁移．

同类题突破练习:

如图，AB和CD相交于点O,由O画OE⊥AD，垂足为E，OF⊥BC，垂足为F，若有OE=OF，AO=BO.求证:

CO=DO

【知识点】全等三角形的判定和性质

【思路点拨】先证Rt△AOE≌Rt△BOF，可得∠A=∠B，再根据对顶角相等得到∠AOD=∠BOC，再根据ASA证△AOD≌△BOC,即可得CO=DO.

【解题过程】

证明：

∵OE⊥AD，OF⊥BC，

∴∠OEA=∠OFB=90°，

在Rt△AOE和Rt△BOF中，

 ∴Rt△AOE≌Rt△BOF（HL），

∴∠A=∠B，

在△AOD和△BOC中,

∴△AOD≌△BOC（ASA）

∴CO=DO.

探究三掌握全等三角形证明的思路，解决实际问题和综合问题.★▲

●活动①全等三角形在实际问题中的应用.

例1：

为了测量一池塘的两端A,B之间的距离,同学们想出了如下的两种方案:

①如图1,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出DE的距离就是AB的长;

②如图2,过点B作AB的垂线BF,在BF上取C,D两点,使BC=CD接着过D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即是AB的距离.

问：

（1）方案①是否可行?

理由是什么.

（2）方案②是否可行?

理由是什么.

（3）小明说在方案②中,并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要______就可以了，请把小明所说的条件补上.

【知识点】全等三角形的应用．

【思路点拨】熟记判定与性质,灵活准确运用．

【解题过程】

（1）解：

（1）在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴AB=DE；

（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF,

∴∠B=∠BDE，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△EDC（ASA）

∴AB=DE；

（3）只需AB∥DE即可，

∴

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（ASA）

∴AB=DE.

【答案】

（1）可行，由SAS可证明△ABC≌△DEC,再根据全等三角形的性质可得AB=DE

（2）可行，由ASA可证明△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质可得AB=DE

（3）AB∥DE，由这个条件可得∠B=∠BDE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB=DE

练习1：

如图所示，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点处，头顶为点D，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿势不变，原地转了180°，正好看见了他所在岸上的一块石头B点，他测量出BC=30米，你能猜出河有多宽吗？

说说理由.

【知识点】全等三角形的应用．

【思路点拨】要转化为数学问题，须仔细读题，找出有用的已知条件，其中∠BDC=∠ADC是不易被发现的．解决本题的关键是条件∠BDC=∠ADC的找出，做题时要认真读题，理解题意，这是正确解题的保证．

【解题过程】

在△BCD和△ACD中，

由题意知∠BCD=∠ACD=90°，CD=CD，∠BDC=∠ADC，

∴△BCD≌△ACD，

∴AC=BC=30m．

【答案】30m．

【设计意图】让学生初步学会运用三角形全等的知识解决生活中的实际问题,知道解决此类问题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，感受到数学源于生活而又服务于生活.

●活动2作辅助线构造全等三角形

例2：

如图，在△ABC中，AB=12，AC=8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.

【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．

【数学思想】转化思想

【思路点拨】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．

【解题过程】

解：

延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中

AD＝DE

∠ADC＝∠EDB

DC＝BD

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC=BE=8，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，

∴12-8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

练习2.如图，AB=AE，BC=ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，点F为垂足.求证：

CF=DF.

【知识点】全等三角形的判定与性质

【思路点拨】由已知可利用SAS判定△ABC≌△AED，根据全等三角形的对应边相等可得到AC=AD，再利用HL证明Rt△ACF≌Rt△ADF，即可推出CF=DF．

【解题过程】

证明：

连结AC、AD,

∵在△ABC和△AED中，

AB＝AE，

∠B=∠E，

BC＝ED

∴△ABC≌△AED（SAS）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵AF⊥CD

∴∠AFC=∠AFD=90°

在Rt△ACF和Rt△ADF中

AC＝AD（已证）

AF＝AF（公共边）

∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）

∴CF=DF（全等三角形的对应边相等）

【设计意图】熟练运用全等三角形的性质与判定，初步感受通过作辅助线构造全等三角形．

●活动3运用全等三角形解决全等变换问题（平移、翻折、旋转等变换）

例3：

（1）已知如图1,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠DAE,连接CE、BD,求证：

CE=BD.

（2）将△ADE绕着A点旋转，当点C、E、D在一条直线时如图2，上述结论是否成立？

（直接写出结论）

（3）旋转到图3时，上述结论仍成立吗？

说明理由.

【知识点】三角形全等的判定和性质．

【数学思想】类比思想

【思路点拨】

（1）求证CE=BD，应证明△ACE≌△ABD，根据SAS即可证明；

（2），（3）的证明方法和

（1）类似.

【解题过程】

证明：

（1）∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB-∠BAE=∠DAE-∠BAE．

即∠CAE=∠BAD．

在△ACE和△ABD中

AB=AC

∠CAE=∠BAD

AD=AE，

∴△ACE≌△ABD（SAS）．

∴CE=BD．

（2）结论仍成立．

（3）结论成立．理由如下:

∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE．

即∠CAE=∠BAD．

在△ACE和△ABD中

AB=AC

∠CAE=∠BAD

AD=AE，

∴△ACE≌△ABD（SAS）．

∴CE=BD．

练习3：

（1）如图①，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF.求证：

△AFC≌△DEB．

（2）如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图②，③时，其余条件不变，

（1）中的结论是否成立？

如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

【知识点】平行线的性质，三角形全等的判定

【数学思想】类比思想

【思路点拨】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图

（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证．

【解题过程】

解：

（1）∵AB=CD，

∴AB+BC=CD+BC，

即AC=BD．

∵DE∥AF，

∴∠A=∠D．

在△AFC和△DEB中，

AF＝DE，

∠A＝∠D，

AC＝DB  

∴△AFC≌△DEB（SAS）．

（2）在②，③中结论依然成立．

如在③中，∵AB=CD，

∴AB-BC=CD-BC，

即AC=BD，

∵AF∥DE，

∴∠A=∠D．

在△ACF和△DBE中，

AF＝DE，∠A＝∠D，AC＝DB  

∴△ACF≌△DBE（SAS）．

【设计意图】明确全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，同时让学生体会在图形的变化过程中，要紧紧把握住图形的形状，大小是否发生变化，原有的规律是否存在是解决此类题目的关键，自然渗透类比的数学思想．

2.课堂总结

知识梳理

（1）三角形全等的判定和性质.

（2）三角形全等证题的思路.

（3）全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时

①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中.

②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件.

③有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角.

证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.

重难点归纳

（1）灵活运用三角形全等的判定和性质解决综合问题.

（2）三角形全等证题的思路和分析方法.

（三）课后作业

基础型自主突破

1.如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（　　）

A.HLB. SASC. ASAD. AAS

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是注意是两个三角形的公共边，本题属于基础题型．

【解题过程】

解：

在Rt△ABC与Rt△ABD中， 

AC=AD,AB=AB

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） 

【答案】A

2.用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用全等三角形来解决的，其中判定全等的方法是（　　）

A.SSSB. SASC. ASAD. HL

【知识点】尺规作图，全等三角形的判定

【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，以及作一个角等于已知角的做法，关键是熟练掌握作一个角等于已知角的做法．用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用了SSS定理来判定全等的， 

【答案】A． 

3.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）

A.72°B.60°

C.58°D.50°

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】解题时认准对应关系是解决本题的关键.

【解题过程】

解：

∵图中的两个三角形全等

a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角

∴∠α=50°

【答案】D

4.若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=_______度.

【知识点】全等三角形的性质

【思路点拨】由全等三角形的性质知：

对应角∠CAB=∠EAD相等，再从上图中找出等量关系：

∠BAD=∠CAB-∠EAB=∠EAC．

【答案】35

5.如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（  ）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．

【解题过程】

解：

第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．

第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．

第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．

第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．

所以有3组能证明△ABC≌△DEF．

故符合条件的有3组．

【答案】C．

6.如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：

 ________

​

【知识点】全等三角形的判定

【思路点拨】要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．

【解题过程】

解：

①添加条件：

AE=AF，

证明：

在△AED与△AFD中，

∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，

∴△AED≌△AFD（SAS），

②添加条件：

∠EDA=∠FDA，

证明：

在△AED与△AFD中，

∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，

∴△AED≌△AFD（ASA）．

【答案】AE=AF或∠EDA=∠FDA（其它也可以）．

能力型　师生共研

1．如图，AB=DC，AC=BD，求证：

∠A=∠D．

【知识点】全等三角形的判定和性质.

【思路点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过添加辅助线，构造出两个全等的三角形，利用三角形的全等证明.连接BC，先根据全等三角形的判定得到△ABC≌△DCB，再利用全等三角形的性质即可得到∠A=∠D．

【解题过程】

证明：

连接BC，

在△ABC和△DCB中，

∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠A=∠D．

2．已知：

如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：

AF=DE.

【知识点】全等三角形的判定和性质.

【思路点拨】要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等．根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．

【解题过程】

证明：

∵CE=FB，

∴CE+EF=FB+EF，

即CF=BE，

在△ABE和△DCF中，

AB=CD

AE=DF

CF=BE

∴△ABE≌△DCF（SSS），

∴∠B=∠C，

在△ABF和△DCE中，

AB=CD

∠B=∠C

CE=FB

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE．

探究型　多维突破

1.如图1，已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE

（1）请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？

（2）若将△ABC沿BC方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？

请说明为什么?

【知识点】全等三角形的判定和性质,垂直的定义，三角形内角和定理.

【思路点拨】

（1）根据全等三角形的判定SAS证△ABC≌△FDE，推出∠A=∠EFD，求出∠DCE+∠ACB=90°，推出∠ACE=90°即可；

（2）根据∠F=∠A,∠AMN=∠FMB,求出∠A+∠AMN=90°，根据三角形的内角和定理和垂直定义即可推出答案.

【解题过程】

解:

（1）AC⊥EF理由是:

∵AB⊥BD于B，ED⊥BD于D

∴∠B=∠D=90°

在△ABC和△FDE中

∴△ABC≌△FDE

∴∠A=∠EFD

∵∠B=90°

∴∠A+∠ACB=90°

∴∠ACB+∠ECD=90°

∴∠ACE=180°-90°=90°

∴AC⊥CE

即AC⊥FE

（2）AC⊥FE

理由如下

∵∠A=∠F（已证），∠ABC=∠ABF=90°，∠AMN=∠FMB

∴∠F+∠FMB=90°

∴∠A+∠AMN=90°

∴∠ANM=180°-90°=90°

∴AC⊥FE

2.

（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：

BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？

请予以证明．

【知识点】全等三角形的判定

【数学思想】类比思想

【思路点拨】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．

（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△ACE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；

（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为