《三角形全等的判定5》教案.docx

1、三角形全等的判定5教案12.2 全等三角形的判定第5课时一、教学目标（一）学习目标1.熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.2.运用各种全等判定法进行说理，三角形全等的判定和性质的综合应用.3.掌握全等三角形证明的思路，有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.（二）学习重点灵活运用各种方法判定两个三角形全等.（三）学习难点掌握全等三角形证明的思路，综合应用三角形全等的判定和性质.有一定分析综合问题和解决实际问题的能力.二、教学设计（一）课前设计1复习任务基本知识回顾（完成表格）两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等（全等画，不全等画）依据的判定法（简写）三条边S

2、SS两边一角两边及其夹角SAS两边与一边对角两角一边两角及其夹边ASA两角与一角对边AAS三个角判断题 (1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） (2)有两条边对应相等的两个直角三角形全等. （ ） (3) 有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等.（ ） (4)只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形.（ ） (5)有一边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） (6)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. （ ）2复习自测（1）尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作

3、射线OP，由作法得OCPODP的根据是（ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】认真阅读作法，从角平分线的作法得出OCP与ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得【解题过程】以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在OCP和ODP中OCPODP（SSS)【答案】D (2)如图，ABCD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF求证：ABEDCF【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】根据平行线的性

4、质求出A=D，根据SAS推出即可【解题过程】证明：ABCD，A=D，在ABE和DCF中 ABEDCF（SAS） (2)课堂设计1. 知识回顾判定和性质注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形除了对应边相等，对应角相等；还有对应中线，对应高，对应角平分线，对应周长和面积相等证题的思路：【设计意图】通过对旧知识的复习整理，让知识系统化，明确证明全等的思路,为新知识的学习作铺垫.2. 问题探究探究一：整合旧知，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等活动 善于挖掘出隐含条件，灵活运用判定证全等.例1：如图，已知ABC=DCB，要使ABCDCB，只需添加一个条件是 _.(只需添加一个你认

5、为适合的条件)师提出问题:(1)在ABC和DCB中，有隐含条件吗？(2)根据前面对全等三角形证明思路的梳理，本题已知一边一角，可以怎样补充全等的条件呢？学生举手抢答.方法一：补充AB=DC(SAS).方法二：补充A=D(AAS).方法三：补充DBC=ACB(ASA).练习：1. 如图，CD与BE相交于点O，AD=AE,AB=AC.若B=20，CD=5cm，则C=_， BE=_. 说说理由.【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】找到A为公共角这个隐含条件是解决本题的关键.【解题过程】解:在ABE与ACD中，AD=AE，AB=AC，A为公共角，ABEACD，C=B=20，BE=CD=5cm【答案

6、】20，5cm2.如图，若OB=OD，A=C，若AB=3cm，则CD=_ .【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】找到对顶角AOB=COD这个隐含条件是解决本题的关键.【解题过程】解：在AOB与COD中，A=C，AOB=COD，OB=OD，AOBCOD，CD=AB=3cm【答案】3cm3.如图，已知1=2，欲证ABDACD，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）A.ADB=ADC B.B=C C.BD=CD D.AB=AC B.【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】C.A.加ADB=ADC，1=2，AD=AD，ADB=ADC，ABDACD（ASA)，故正确；B.加B=C1=2，A

7、D=AD，B=C，ABDACD（AAS)，故正确；C.加DB=DC，满足SSA，不能得出ABDACD，故错误；D.加AB=AC，1=2，AD=AD，AB=AC，ABDACD（SAS)，故正确.【答案】C 【设计意图】熟记三角形全等的判定条件，能灵活运用各种方法判定两个三角形全等.善于挖掘公共边、公共角、对顶角这些隐含的边、角相等的条件！探究二 三角形全等的判定和性质的综合应用（证二次全等） 活动 大胆猜想，寻找思路.例1：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE师提出问题：从BF和DE在图形中的位置可以看出BF和DE分别在哪些三角形中？引导生分析:AB

8、F和CDE中或CFB和AED中，所以可以通过证ABFCDE或CFBAED来达到证BF=DE的目的.【设计意图】问题引领，知道从结论入手的分析方法活动 集思广益，探寻三角形全等的条件.问题1：从已知出发,能直接证到上述三角形全等吗?问题2：由已知易证到哪两个三角形全等?它可以为证ABFCDE准备条件吗?教师引导，学生讨论，得出方法.证明：在ABC和CDA中BCDAABDCACCAABCCDA（SSS）CAB=ACD在ABF和CDE中AB=CDCAB=ACDAF=CE，ABFCDE（SAS）BF=DE【设计意图】教师设计问题链，引导学生思考如何寻求证明全等的条件，初步明确证明题的分析方法.活动 反

9、思小结，总结方法回顾上述分析过程，说说证明两个三角形全等如何入手？归纳：证明两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.（1）综合法：就是从已知条件入手进行推理，逐步向要证明的结论推进。如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角相等，达到证题的目的。（2）分析法：即从欲证的结论出发，分析结论成立的必要条件，用条件联系已知，寻找他们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证明时，分析法和综合法结合起来使用更加有效（即“两头凑”）。证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，

10、再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。【设计意图】培养学生探究、发现、归纳方法的能力.活动 多元思维，知识迁移同类题突破练习:如图，AB和CD相交于点O,由O画OEAD，垂足为E，OFBC，垂足为F，若有OE=OF，AO=BO.求证:CO=DO【知识点】全等三角形的判定和性质 【思路点拨】 先证RtAOERtBOF，可得A=B，再根据对顶角相等得到AOD = BOC，再根据ASA证AODBOC,即可得CO=DO.【解题过程】证明：OEAD，OFBC，OEA=OFB=90，在RtAOE和RtBOF中，RtAOERtBOF(HL)，A=B，在AOD和BOC中,AODBOC(ASA)CO=DO.探究三

11、 掌握全等三角形证明的思路，解决实际问题和综合问题. 活动 全等三角形在实际问题中的应用. 例1：为了测量一池塘的两端A,B之间的距离,同学们想出了如下的两种方案:如图1,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后量出DE的距离就是AB的长;如图2,过点B作AB的垂线BF,在BF上取C,D两点,使BC=CD接着过D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即是AB的距离.问：(1)方案是否可行? 理由是什么 .(2)方案是否可行? 理由是什么 .(3)小明说在方案中,并不一定需要BFAB，DEBF，只需要

12、_就可以了，请把小明所说的条件补上.【知识点】全等三角形的应用【思路点拨】熟记判定与性质,灵活准确运用【解题过程】(1)解：(1)在ABC和DEC中，ABCDEC(SAS)AB=DE；(2)BFAB，DEBF,B=BDE，在ABC和DEC中，ABCEDC(ASA)AB=DE；(3)只需ABDE即可，在ABC和DEC中，ABCDEC(ASA)AB=DE.【答案】（1）可行，由SAS可证明ABCDEC,再根据全等三角形的性质可得AB=DE（2）可行，由ASA可证明ABCDEC，再根据全等三角形的性质可得AB=DE（3）ABDE，由这个条件可得B=BDE，利用ASA定理证明ABCDEC可得AB=DE

13、练习1：如图所示，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点处，头顶为点D，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿势不变，原地转了180，正好看见了他所在岸上的一块石头B点，他测量出BC=30米，你能猜出河有多宽吗？说说理由.【知识点】全等三角形的应用【思路点拨】要转化为数学问题，须仔细读题，找出有用的已知条件，其中BDC=ADC是不易被发现的解决本题的关键是条件BDC=ADC的找出，做题时要认真读题，理解题意，这是正确解题的保证【解题过程】在BCD和ACD中，由题意知BCD=ACD=90，CD=CD，BDC=ADC，BCDACD，AC=BC=30m【答案】30m【设计意图

14、】让学生初步学会运用三角形全等的知识解决生活中的实际问题,知道解决此类问题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，感受到数学源于生活而又服务于生活.活动2 作辅助线构造全等三角形例2：如图，在ABC中，AB=12，AC=8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系【数学思想】转化思想【思路点拨】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证ADCEDB，推出AC=BE=8，在ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BEAEAB+BE，代入求出即可【解题过程】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，AD是BC边上的中线，BD=CD，在ADC和

15、EDB中ADDEADCEDB DCBDADCEDB（SAS），AC=BE=8，在ABE中，AB-BEAEAB+BE，12-82AD12+8，2AD10，练习2. 如图，AB=AE，BC=ED，BE，AFCD，点F为垂足.求证：CF=DF.【知识点】全等三角形的判定与性质【思路点拨】由已知可利用SAS判定ABCAED，根据全等三角形的对应边相等可得到AC=AD，再利用HL证明RtACF RtADF，即可推出CF=DF【解题过程】证明：连结AC 、AD,在ABC 和AED 中，ABAE，B=E，BCEDABCAED（SAS）AC=AD（全等三角形的对应边相等）又AFCDAFC=AFD=90 在Rt

16、ACF和RtADF中ACAD（已证）AFAF（公共边）RtACFRtADF（HL）CF=DF（全等三角形的对应边相等）【设计意图】熟练运用全等三角形的性质与判定，初步感受通过作辅助线构造全等三角形活动3 运用全等三角形解决全等变换问题（平移、翻折、旋转等变换）例3：（1）已知如图1,ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,且CAB=DAE,连接CE、BD,求证：CE=BD.（2）将ADE绕着A点旋转，当点C、E、D在一条直线时如图2，上述结论是否成立？（直接写出结论)（3）旋转到图3时，上述结论仍成立吗？说明理由.【知识点】三角形全等的判定和性质【数学思想】类比思想【思路点拨】（1）求证CE

17、=BD，应证明ACEABD，根据SAS即可证明；（2），（3）的证明方法和（1）类似.【解题过程】证明：（1）CAB=DAE，CAB-BAE=DAE-BAE即CAE=BAD在ACE和ABD中AB=ACCAE=BADAD=AE，ACEABD（SAS）CE=BD（2）结论仍成立（3）结论成立理由如下:CAB=DAE，CAB+BAE=DAE+BAE即CAE=BAD在ACE和ABD中AB=ACCAE=BADAD=AE，ACEABD（SAS）CE=BD 练习3：（1）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD，DEAF，且DE=AF.求证：AFCDEB（2）如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图

18、，时，其余条件不变，(1)中的结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由【知识点】平行线的性质，三角形全等的判定【数学思想】类比思想【思路点拨】可以根据已知利用SAS判定AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图(2)、(3)时，其余条件不变，结论仍然成立可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证【解题过程】解：(1)AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BDDEAF，A=D在AFC和DEB中，AFDE，AD，ACDB AFCDEB(SAS)(2)在，中结论依然成立如在中，AB=CD，AB-BC=CD-BC，即AC=BD，AFDE，A=D在ACF和DBE中，AF

19、DE，AD ，ACDB ACFDBE (SAS)【设计意图】明确全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，同时让学生体会在图形的变化过程中，要紧紧把握住图形的形状，大小是否发生变化，原有的规律是否存在是解决此类题目的关键，自然渗透类比的数学思想2. 课堂总结知识梳理（1）三角形全等的判定和性质.（2）三角形全等证题的思路.（3）全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中.分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件.有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角.证明

20、两个三角形全等一般采用“综合法”和“分析法”.重难点归纳（1）灵活运用三角形全等的判定和性质解决综合问题.（2）三角形全等证题的思路和分析方法.（三）课后作业基础型 自主突破1.如图，C=D=90，AC=AD，那么ABC与ABD全等的理由是（）A. HL B.SAS C.ASA D.AAS【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是注意是两个三角形的公共边，本题属于基础题型【解题过程】解：在RtABC与RtABD中，AC=AD,AB=ABRtABCRtABD（HL）【答案】A2.用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用全等三角形来解决的，其中判定全等的方法是（）

21、 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL【知识点】尺规作图，全等三角形的判定【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，以及作一个角等于已知角的做法，关键是熟练掌握作一个角等于已知角的做法用直尺和圆规画出一个角等于已知角，是运用了SSS定理来判定全等的，【答案】A3.已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50【知识点】全等三角形的判定【思路点拨】解题时认准对应关系是解决本题的关键.【解题过程】解：图中的两个三角形全等 a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 =50 【答案】D4.若ABCADE，EAC=35，则BAD=_度.【知识点】全等

22、三角形的性质【思路点拨】由全等三角形的性质知：对应角CAB=EAD相等，再从上图中找出等量关系：BAD=CAB-EAB=EAC【答案】355. 如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF； AB=DE，B=EBC=EF；B=E，BC=EF，C=F； AB=DE，AC=DF，B=E其中，能使ABCDEF的条件共有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】要使ABCDEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断【解题过程】解：第组满足SSS，能证明ABCDEF 第组满足SAS，能证明ABCDEF第组满足ASA，能证

23、明ABCDEF第组只是SSA，不能证明ABCDEF所以有3组能证明ABCDEF故符合条件的有3组【答案】 C6.如图，已知AD是ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，需添加一个条件是：_【知识点】全等三角形的判定 【思路点拨】要证两三角形全等的判定，已经有EAD=FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证【解题过程】解：添加条件：AE=AF，证明：在AED与AFD中，AE=AF，EAD=FAD，AD=AD，AEDAFD（SAS），添加条件：EDA=FDA，证明：在AED与AFD中，EAD=FAD，AD=AD，EDA=FDA，AEDAFD（ASA）【答案】

24、AE=AF或EDA=FDA（其它也可以） 能力型师生共研1如图，AB=DC，AC=BD，求证：A=D【知识点】全等三角形的判定和性质.【思路点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过添加辅助线，构造出两个全等的三角形，利用三角形的全等证明.连接BC，先根据全等三角形的判定得到ABCDCB，再利用全等三角形的性质即可得到A=D【解题过程】证明：连接BC，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，ABCDCB，A=D2已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE.【知识点】全等三角形的判定和性质.【思路点拨】要证AF=DE，可证AFB与DE

25、C全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证AEB与DFC全等根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等 【解题过程】证明：CE=FB， CE+EF=FB+EF， 即CF=BE， 在ABE和DCF中， AB=CDAE=DFCF=BEABEDCF（SSS）， B=C， 在ABF和DCE中 ， AB=CDB=CCE=FBABFDCE（SAS）， AF=DE 探究型多维突破1.如图1，已知ABBD于B,EDBD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE（1）请说明ABC FDE，并判断AC是否垂直FE？（2）若将ABC 沿BC方向平移至如图2的位置时，且

26、其余条件不变， 则AC是否垂直FE？请说明为什么?【知识点】全等三角形的判定和性质,垂直的定义，三角形内角和定理.【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定SAS证ABC FDE，推出A=EFD，求出DCE+ACB=90，推出ACE=90即可；（2）根据F=A,AMN=FMB,求出A+AMN=90，根据三角形的内角和定理和垂直定义即可推出答案.【解题过程】解:（1）ACEF理由是:ABBD于B，EDBD于DB=D=90在ABC和FDE中ABCFDEA=EFDB=90A+ACB=90ACB+ECD=90ACE=180-90=90ACCE即ACFE（2）ACFE理由如下A=F（已证），ABC=ABF=

27、90，AMN=FMBF+FMB=90A+AMN=90ANM=180-90=90ACFE2.（1）如图1，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E，求证：BD=DE+CE （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明 【知识点】全等三角形的判定【数学思想】类比思想【思路点拨】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等这种类型的题目经常考到，要注意掌握（1）根据已知利用AAS判定ABDACE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE； （2）根据已知利用AAS判定ABDCAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为