三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方.docx
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三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明
以下内容作者为：
青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法
法1：
如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则
，有ADFC，所以FCBD，则四边形BCFD是平行四边
形，DFBC。
因为，所以DE
1
2
BC．
法2C作交DE的延长线于F，则，
有FCAD，那么FCBD，则四边形BCFD为平行四边形，DFBC。
因为，所以DE
1BC．
2
法3：
如图所示，延长DE至F，使，连接CF、DC、AF，则四边形
ADCF为平行四边形，有ADCF，所以FCBD，那么四边形BCFD为平
行四边形，DFBC。
因为，所以DE
1
BC．
2
法4：
如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为
平行四边形，易证AEMCEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM
和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE
1
2
BC。
法5：
如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．
二、教学说明
1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：
“二维”转化为“一维”
在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC（或线段BC的延长线）上的任意一点，D、E分别是AB、AC
的中点，线段DE与BC有什么关系？
A
BDEC
图⑴：
⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？
上述结论仍然成立吗?
A
DE
BC
图⑵：
说明：
学生观察（几何画板制作的）课件演示：
当△ABC的顶点A运动到直线B
C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不
难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.
如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.
2、教学重点：
本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
第一，要知道中位线定理的作用：
可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。
第二，要知道中位线定理的使用形式，如：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE
1
BC
2
A
DE
BC
第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。
题1如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，
点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.
（1）求证：
AF＝DE；
（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.
分析本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。
（1）要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证
明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件
∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.
11
（2）要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC
＝3.
证明：
（1）∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE∥AC，即DE∥AF
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC
1
∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B
又∵∠FDA＝∠B，
∴∠EAB＝∠FDA
∴EA∥DF，AEDF为平行四边形
∴AF＝DE
（2）∵AC＝6，BC＝10，
11
∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5
∴四边形AEDF的周长＝2（AE+DE）＝2（3+5）＝16
题2如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延
长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。
求证：
∠BKE＝∠CHE.
分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.
证明：
连BD并取BD的中点G，连FG、GE
在△DAB和△BCD中
∵F是AD的中点，E是BC的中点
11
∴FG∥AB且FG＝2AB，EG∥DC且EG＝2DC
∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF
∵AB＝CD∴FG＝EG
∴∠GFE＝∠GEF∴∠BKE＝∠CHE
题3如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。
求证：
△PQR为等边三角形.
分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边
1
中线定理。
利用条件可知PR＝2AD，能否把PQ、RQ与AD（BC）联系起来成为解题
的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.
证明：
连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC
∴AD＝BC∠ADC＝∠BCD
又∵DC为公共边∴△ADC≌△BCD
∴∠ACD＝∠BDC∴△ODC为等腰三角形
∵∠DOC＝∠AOB＝60°∴△ODC为等边三角形
∵R为OD的中点
∴∠ORC＝90°＝∠DRC（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）
1
1
∵Q为
BC的中点
∴RQ＝
2
BC＝
2
AD
1
1
同理PQ＝2
在△OAD中
BC＝2AD
∵P、R分别为
AO、OD的中点
1
∴PR＝2AD∴PR＝PQ＝RQ
故△PRQ为等边三角形
3、教学难点：
本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何
添加辅助线．
教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。
例如，教师可以启发学生：
要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。
上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。
证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：
1，长截短：
要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一
部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。
（角也亦然）
2，短延长：
要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一
条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。
（角也这样）
3，加倍法：
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，
延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。
（角也这样）
4，折半法：
要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的
中点，再证明其中之一与另一条线段相等。
（角也可用）
5，代数运算推理法：
这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、
分。
6，相似三角形及比例线段法：
利用相似三角形的性质进行推理论证。
题1（短延长）：
如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。
（1）若PAQ=45°，求证：
PB+DQ=PQ。
（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：
PAQ=45°
AD
Q
BPC
证明：
（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。
∵四边形ABCD是正方形
∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD
在△ABE和△ADQ中
∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ
ABE
ADQ
AEAQ，BAEQAD
PAQ
45°
BAP
QAD
45°
BAP
BAE
45°，
即EAP
PAQ
45°
在AEP和AQP中
AE
AEP
EP
EP
即PB
AQ
PQ
EB
DQ
，EAP
AQP
BPDQ
PQ
PAQBP
，AP
PQ
AP
AD
Q
EBPC
（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE
由
（1）可知ABEADQ
AE
AQ，BAE
QAD
DAQ
BAQ
BAE
BAQ
90°
PCQ的周长等于正方形周长的一半
PC
QC
QP
BC
CD
PQ
（BC
PC）
（CD
QC）BP
DQBPEBEP
在AEP和AQP中
AEAQ，EPPQ，APAP
AEPAQP
EAPPAQ45°
题2（长截短）：
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于
D。
求证：
AC=AB+BD
A
34
O
1
2
BDC
证明：
在AC上截取OA=AB，连接OD，
∵∠3=∠4，AD=AD
∴△ABD≌△AOD，∴BD=DO
∴∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C
∴∠2=∠C
∴OD=OC=BD
∴AC=OA+OC=AB+BD
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