八年勾股定理经典.docx
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八年勾股定理经典
个性化教学辅导教案
学科：
数学任课教师：
授课时间：
2014年（星期六）8：
00~10：
00
姓名
年级
八年
性别
女
教学课题
勾股定理一
教学
目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．会用勾股定理进行简单的计算。
4．树立数形结合的思想、分类讨论思想
重点
难点
1、勾股定理的内容及证明。
2．勾股定理的简单计算及灵活运用。
课前检查
作业完成情况：
优□良□中□差□建议__________________________________________
课
堂
教
学
过
程
过
程
勾股定理一
教学过程
一、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：
“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，
即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
二、新课
知识点一：
勾股定理
命题1：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，
即直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方.
温馨提示：
1、勾股定理只适用于直角三角形。
2、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系：
已知直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，则：
a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=a2+b2。
3、在利用勾股定理求边长时，要分清直角边和斜边，若没有说明，则需分类讨论。
三、例题讲解
例1、已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
a2＋b2=c2。
分析：
⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：
4S△+S小正=S大正
4×
ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2、已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为
a、b、c。
求证：
a2＋b2=c2。
分析：
左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×
ab＋c2=（a+b）2
化简可证。
例3、在Rt△ABC，∠C=90°
1、若a=3，b=4，则c=
2、若a=8，c=10，则b=
3、若c=13，b=12则a=
4、若c=34，a：
b=8：
15则a=
例4、在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a：
b=1：
2,c=5,求a。
知识点二：
证明勾股定理的三种方法
方法1、证明BC2+AB2=AC2.（如左上图）、三个正方形的面积S1=BC2、S2=AB2、S3=AC2.
所以BC2+AB2=AC2
方法2、证明a2＋b2=c2。
将四个全等的直角三角形拼成（如右上图）的正方形
则S正方形ABCD的面积为
=
.
∴
∴
.
方法3、证明c2=a2+b2，如图
S大正方形的面积=S小正方形的面积+S4个全等的直角三角形的的面积
即：
.
∴
.
知识点三：
勾股定理的应用
利用勾股定理可以解决很多生活中的问题，其关键是将所给的条件转化到直角三角形中，通过勾股定理求解。
若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理求解。
例5、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：
已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，
因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全
面，体会分类讨论思想。
例6、已知：
如图，等边△ABC的边长是6cm。
1等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析：
勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
四、巩固练习
1、勾股定理的具体内容是：
。
2、如图，直角△ABC的主要性质是：
∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
⑷三边之间的关系：
。
3、△ABC的三边a、b、c，若满足c2=a2+b2，则=90°；
若满足c2＞a2+b2，则∠C是角；
若满足c2＜a2+b2，则∠C是角。
4、根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
5、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
1c=。
（已知a、b，求c）
（2）a=。
（已知b、c，求a）
（3）b=。
（已知a、c，求b）
6、如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
7、填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：
b=3：
4，则a=，b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。
8题7题
8、填空题
在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b=。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。
⑷如果c=10，a-b=2，则b=。
⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。
⑹如果b=8，a：
c=3：
5，则c=。
9、在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=
cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
10、已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：
⑴AD2－AB2=BD·CD
2D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
11、已知：
如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=
，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
12、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
作业：
勾股定理同步练习题
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
cm，则另一条直角边的长是（）
A.4cmB.
cmC.6cmD.
cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42B．32C．42或32D．37或33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
第4题图
5.在△ABC中，∠C＝90°，
（1）已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；
（2已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；
（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.
6.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
8.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.
9.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．
10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？
．
11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
13．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过
km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方
m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为
m，这辆小汽车超速了吗？
15．
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：
cm）.
课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题（累计不超过20分钟）_______道；成绩_______；教学需:
加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固
作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________
签字
教学组长签字：
学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方：
老师想知道的事情：
老师的建议：
勾股定理同步练习题答案
1.C2.C3.D4.105.4;60;36.25cm7.13cm8.6cm,24cm2
9.6,8,1010.能11.5;4;312.612元13.5s14.BC=72km,这辆小汽车超速了15.h=170cm
2011-2012学年广东省广州市越秀区八年级（上）期中数学试卷
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，对称轴条数最多的图形是（ ）
A．等腰三角形
B．菱形
C．正方形
D．圆形
显示解析
2．已知△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F=（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．70°
显示解析
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，则BC的长度是（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
显示解析
4．如图，数轴上点A所表示的数可能是（ ）
A．
7
B．
10
C．
15
D．
19
显示解析
5．下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形一定全等
B．周长相等的两个三角形一定全等
C．顶角相等的两个等腰三角形一定全等
D．关于轴对称的两个三角形一定全等
显示解析
6．在实数
6
，
3
8
，−
9
，−π，
23
7
中，无理数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
显示解析
7．如图，由AB=AC，∠ABE=∠ACF，得到△ABE≌△ACF，根据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．HL
显示解析
8．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列说法中，不一定成立的是（ ）
A．∠B=∠C
B．∠BAD=∠CAD
C．BD=CD
D．BD=AD
显示解析
9．下列说法正确的是（ ）
A．25的平方根是5
B．
25
的平方根是±
5
C．-25的平方根是-5
D．25的算术平方根是±5
显示解析
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
显示解析
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，△ABD和△ACD中，AB=AC，当添加条件
DB=CD
时，就可得到△ABD≌△ACD（写出一个条件即可）
显示解析
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，那么CD=
3
，点D到线段AB的距离是
3
．
显示解析
13．等腰△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，则△ABC的周长是
20或22
cm．
显示解析
14．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，其中∠B=40°，∠EAC=35°，则∠C=
65°
．
显示解析
15．如图，点D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在边BC上点F处，如果∠B=55°，则∠BDF=
70°
．
显示解析
16．定义运算“@”的运算法则为：
x@y=
xy+4
，则（2@6）@8=
6
．
★★★☆☆显示解析
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．
（1）解方程：
2x2=98
（2）计算：
|2−
2
|+（3
2
−4）．
显示解析
18．如图，△ABC的顶点都在平面直角坐标系的网格点上．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形，并记为△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标，求△A1B1C1的面积；
（3）已知△ABC的内部有一点P（a，b），则点P在△A1B1C1的对应点P1的坐标是
（a，-b）
．
显示解析
19．如图，已知AC⊥BD于点E，且点E是线段BD的中点，AB=CD．求证：
△ABE≌△CDE．
显示解析
20．将棱长为10cm的正方体铝块熔化，重新铸成4个大小相等的小正方体．通过计算，求每个小正方体的棱长（不计损耗，结果保留2个有效数字）提示：
V正方体＝a3，参考数值：
250
≈15.81，
3
250
≈6.300，
40
≈6.325，
3
40
≈3.420．
显示解析
21．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：
DC=AB．
VIP显示解析
22．如图，在△ABC中，∠A=90°，AC⊥CE，且BC=CE，过点E作BC的垂线，交BC的延长线于点D．求证：
（1）∠1=∠E；
（2）△ABC≌△DCE；
（3）BD=AB+CE．
显示解析
23．如图，△ABC是等边三角形，其中A点的坐标是（0，6），C点的坐标是（2
3
，0），B点在x轴上．
（1）写出B点的坐标；
（2）线段AB向右平移，点A、B分别平移至点D、C位置，得到平行四边形ABCD．求这个平行四边形的面积；
（3）如果以点A、B、C作为平行四边形的顶点，那么另外一点（除D点外）的坐标是什么？
（不用写计算过程，直接写答案）
显示解析
24．已知：
如图
（1）△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，连接BD、CE．
（1）求证：
△BAD≌△CAE；
（2）如果△ADE绕点A逆时针旋转，恰好点C、D、E三点在同一直线上（如图
（2）所示）．试猜想线段BD和CE有什么关系，并证明你的猜想．
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