二元一次方程组应用题 教师用.docx

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二元一次方程组应用题教师用

实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：

列方程组解应用题的基本思想

　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

知识点二：

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

　　1.行程问题：

（1）追击问题：

追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　

；

；

（2）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程。

　　（3）航行问题：

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

　　注意：

飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

　　2．工程问题：

工作效率×工作时间=工作量.

　　3．商品销售利润问题：

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）

；（3）利润＝成本（进价）×利润率；

（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；

　　注意：

“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

　　4．储蓄问题：

（1）基本概念

　　　①本金：

顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：

银行付给顾客的酬金叫做利息。

　　　③本息和：

本金与利息的和叫做本息和。

④期数：

存入银行的时间叫做期数。

　　　⑤利率：

每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：

利息的税款叫做利息税。

（2）基本关系式

　　　①利息＝本金×利率×期数

　　　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　　　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

　　　④税后利息＝利息×（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×12⑥

。

　　注意：

免税利息=利息

　　5．配套问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

　　6．增长率问题：

　　解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）＝增长后的量；

　　　　　　　　　　　　　　　　　原量×（1－减少率）＝减少后的量.

　　7．和差倍分问题：

　　解这类问题的基本等量关系是：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

　　8．数字问题：

　　解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。

如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：

两位数=十位数字

10+个位数字

　　9．浓度问题：

溶液质量×浓度=溶质质量.

　　10．几何问题：

解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

　　11．年龄问题：

解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

　　12．优化方案问题：

　　在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

　　注意：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

　　1．审题:

弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:

可直接设元，也可间接设元；

　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:

根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.

　　要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

　　（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

　（4）列方程组解应用题应注意的问题

　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

分类练习：

类型一：

列二元一次方程组解决——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

解：

设汽车速度为xkm/h，拖拉机速度为ykm/h，根据题意得

（x+y）4/3=160；3/2y=1/2x，解得x=90，y=30

此时汽车走过的路程为（4/3+1/2）*90=165km；拖拉机走过得路程为（4/3+3/2）*30=85km

答：

汽车走过的路程为165km，拖拉机走过的路程为85km。

　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

　　解：

设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据题意得

2.5（x+y）=36-2x；3（x+y）=36-2y

解得x=6，y=3.6

答：

甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

　解：

设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据题意得

（x+y）14=280；（x-y）20=280

解得x=17，y=3

答：

船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h

类型二：

列二元一次方程组解决——工程问题

2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

（1）解：

设甲工作一天需x元，乙工作一天需y元，根据题意得

（x+y）8=3520；6x+12y=3480解得x=300，y=140

答：

甲、乙两组工作一天，应各付300元，140元

（2）300*12=3600（元）；140*24=3360（元）3600>3360答：

单独请乙组，商店所付费用最少

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？

请你说明理由.

解：

设甲每周需要x万元，乙每周需要y万元，根据题意得

6（x+y）=5.2；4x+9y=4.8解得x=0.6，y=4/15

设甲公司单独x周完成，乙公司单独y周完成，根据题意得

6/x+6/y=1；4/x+9/y=1解得1/x=1/10；1/y=1/15，即x=10,y=15

所以甲单独做总费用为0.6*10=6万元，乙单独做总费用为4/15*15=4万元

答：

从节约开支得角度考虑，小明家应选乙公司

类型三：

列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

解：

设甲进价为x元，乙进价为y元，根据题意得

5/100x+4/100y=46；4/100x+5/100y=44

解得x=600，y=400

答：

甲进价为600元，乙进价为400元

　【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

　解：

设甲蔬菜种植x亩，乙蔬菜种植y亩，根据题意得

　x+y=10；2000x+1500y=18000

解得x=6，y=4

答：

甲蔬菜种植6亩，乙蔬菜种植4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A

B

进价（元/件）

1200

1000

售价（元/件）

1380

1200

（注：

获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

解：

设甲商品x件，乙商品y件，根据题意得

1200x+1000y=360000；1380x+1200y=420000

解得x=200，y=120

答：

该商场购进A商品200件，B商品120件

类型四：

列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

　解：

设第一种存x元，第二种存y元，根据题意得

　x+y=2000；x（1+2.25%）+y（1+2.25%）-2.25%y*20%=2042.75

解得x=1500，y=500

答：

这两种储蓄分别存了1500元，500元

【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？

（注：

公民应缴利息所得税=利息金额×20%）

解：

设两种年利率分别为x，y，根据题意得

x+y=3.24%；2000（1-20%）x+1000（1-20%）y=43.92

解得x=2.25%，y=0.99%

答：

两种年利率分别为2.25%，0.99%

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

若1.07^2=1.055；1.07^3=1.083；1.07^4=1.125

解：

设两种存款分别为x，y元，根据题意得

（x+y）=4000；x*2.25%*3+y*2.7%*3=303.75复利（x+y）=4000；

x*2.25%*3+y*（1+2.7%）^3-y=303.75

解得x=1500，y=2500解得x=1823，y=2177

答：

分别存1500元，2500元。

答：

分别存1823元，2177元。

类型五：

列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

解：

设衣身需布料xm，衣袖需布料ym，根据题意得

x+y=132；3/2*x*2（因为1个衣身需要2个衣袖，所以要乘以2）=5/2*y

解得x=60，y=72

答：

衣身需布料60m，衣袖需布料72m

　【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

解：

设盒身x张，盒底y张，根据题意得

x+y=190；8x·2=22y，解得x=110，y=80

答：

盒身110张，盒底80张

　【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

　解：

设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母，根据题意得

x+y＝60；14x*2＝20y

解得x=25，y=35

答：

应安排25人生产螺栓，有35人生产螺母

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。

现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？

能配多少张方桌？

　解：

设x立方米木材用于生产桌面，y立方米木材用于生产桌腿，根据题意得

x+y=5；50x*4=300y

解得x=3，y=2

答：

设3立方米木材用于生产桌面，2立方米木材用于生产桌腿

类型六：

列二元一次方程组解决——增长率问题

6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

　　解：

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得

x-y=200；（1+20%）x-（1-10%）y=780

解得x=2000，y=1800

答：

去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元

【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

解：

设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得

x-y=780；5/6x-10/9y=200

解得x=2400，y=1620

答：

今年的总产值为2400万元，总支出为1620万元

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

　解：

设城镇人口x万人，农村人口y万人，根据题意得

x+y=42；0.8%x+1.1%y=42*1%

解得x=14，y=28

答：

城镇人口14万人，农村人口28万人

类型七：

列二元一次方程组解决——和差倍分问题

7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

解：

设在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂x千顶，“温暖”帐篷厂y千顶，根据题意得

x+y=14；x/1.6+y/1.5=9

解得x=8，y=6

答：

在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂8千顶，“温暖”帐篷厂6千顶

【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动。

解：

设去年x个，今年y个，根据题意得

x+y=119；y=3x-13

解得x=33，y=86

答：

去年33个，今年86个

　【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

　　解：

设男孩x人，女孩y人，根据题意得

x-1=y；x=2（y-1）

解得x=4，y=3

答：

男孩4人，女孩3人

类型八：

列二元一次方程组解决——数字问题

8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

　　解：

设这两个两位数分别为x，y，且x为较大的数，根据题意得

x+y=68；（100x+y）-（100y+x）=2178

解得x=45，y=23

答：

这两个两位数分别为45，23

　　【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

解：

设这个两位数个位为x，十位为y，根据题意得

10y+x-3（x+y）=23；10y+x=5（x+y）+1

解得x=6，y=5，10*5+6=56

答：

这个两位数是56

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

解：

设这个两位数个位为x，十位为y，根据题意得

y-x=5；（10y+x）/2-9=10x+y

解得x=2，y=7，10*7+2=72

答：

这个两位数是72

【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

　解：

设个位数字为x，百位数字为y，根据题意得

x+y=9；y-1=x

解得x=4，y=5

答：

这个三位数是504

类型九：

列二元一次方程组解决——浓度问题

9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

　　解：

设甲、乙各取xkg，ykg，根据题意得

x+y=50；（3/10x+4/5y）/（7/10x+1/5y）=3/2

解得x=20，y=30

答：

甲取20kg，乙取30kg

【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

解：

设10%的xkg,85%的ykg，根据题意得

x+y=12；x*10%+y*85%=12*45%

解得x=6.4；y=5.6

答10%的6.4kg,85%的5.6kg

【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。

用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

解：

设35%的农药xkg，水ykg，根据题意得

x+y=800；35%x=800*1.75%

解得x=40，y=760

答：

35%的农药40kg，水760kg

类型十：

列二元一次方程组解决——几何问题

10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

　　解：

设小长方形长为xcm，宽为ycm，根据题意得

x+y=60；2x=x+3y

解得x=45，y=15

答：

小长方形长为45cm，宽为15cm

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

　　解：

设矩形长为acm，宽为bcm，根据题意得

2（a+b）=48；a-3=b+3

解得a=，b=

S矩=15*9=135（cm2）

S正=（15-3）*（9+3）=144（cm2）

S正-S矩=144-135=9（cm2）

答：

正方形面积比矩形面积大9cm2

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？

　解：

设长为am，宽为bm，根据题意得

2（a+b）=132；a=2b+10

解得a=142/3，b=56/3

答：

长为142/3m，宽为56/3m

类型十一：

列二元一次方程组解决——年龄问题

11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

　　解：

设今年父亲得年纪是x岁，儿子得年纪是y岁，根据题意得

x=5y；x+6=3（y+6）

解得x=30，y=6

答：

今年父亲得年纪是30岁，儿子得年纪是6岁

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

　　解：

设今年小李年纪为x岁，爷爷年纪为y岁，根据题意得

x=1/5y；x+12=1/3（y+12）

解得x=12，y=60

答：

小李今年12岁

类型十二：

列二元一次方程组解决——优化方案问题：

12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案

　　方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

　　方案二：

尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

　　方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成

　　你认为选择哪种方案获利最多？

为什么？

　　解：

方案一16*15=240>140，获利为：

4500×140=630000（元）．

方案二6*15=90<140，140-90=50（t）

获利为：

7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）=675000+50000=725000（元）．

方案三：

设x天进行粗加工，y天进行精加工，根据题意得

x+y=15；16x+6y=140，解得x=5，y=10

获利为：

4500×16×5+7500×6×10=810000（元）．

由于810000＞725000＞630000，

所以选择方案三获利最多．

答：

选择方案三获利最多．举一反三：

【变式1】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

　解：

（1）分情况计算：

设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台．

（Ⅰ）购进甲、乙两种电视机

解得

（Ⅱ）购进甲、丙两种电视机