函数奇偶性知识点总结与经典题型归纳Word文件下载.docx
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奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反.
3.判断函数奇偶性的方法
（1）图像法
（2）定义法
○
1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
○
2确定f（-x）与f（x）的关系;
3作出相应结论:
若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0,则f（x）是偶函数;
若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0,则f（x）是奇函数.
例题精讲
【例1】若函数2（）fxaxbx=+是偶函数,求b的值.
解:
∵函数f（x）=ax2+bx是偶函数,
∴f（-x）=f（x）.∴ax2+bx=ax2-bx.
∴2bx=0.∴b=0.
【例3】已知函数21（）fxx
=在y轴左边的图象如下图所示,画出它右边的图象.
题型一判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
（1）2（）||
（1）fxxx=+;
（2）
1（）
fx
x
=;
（3）（）|1||1|
fxxx
=+--;
（4）（）
fx=
（5）（）
（6）
2
0（）
0
xxx
⎧+<
⎪
=⎨
->
⎪⎩
（1）2
（）||
（1）
=+的定义域为R,关于原点对称.
∵22
（）||[（）1]||
（1）（）
fxxxxxfx
-=--+=+=
∴（）（）
fxfx
-=,即（）
fx是偶函数.
1
（）
=的定义域为{|0}
xx>
由于定义域关于原点不对称
故（）
fx既不是奇函数也不是偶函数.
=+--的定义域为R,关于原点对称.
∵f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x）,∴f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数.
fx={2},
由于定义域关于原点不对称,
fx=的定义域为{1,-1},
由
（1）0
f=且
（1）0
f-=,所以（）0
所以（）
fx图象既关于原点对称,又关于y轴对称
fx既是奇函数又是偶函数.
（6）显然定义域关于原点对称.
当x>
0时,-x<
0,f（-x）=x2-x=-（x-x2）;
当x<
0时,-x>
0,f（-x）=-x-x2=-（x2+x）.
即
（）,0（）
（）,0
⎧-+<
-=⎨
-->
即（）（）
-=-
∴（）
fx为奇函数.
题型二利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若f（x）是定义在R上的奇函数,f（3）=2,求f（-3）和f（0）的值.解:
∵f（x）是定义在R上的奇函数,
∴f（-3）=-f（3）=-2,
f（0）=0.
【例5】已知f（x）是奇函数,g（x）是偶函数,且f（-1）+g
（1）=2,f
（1）+g（-1）=4,求g
（1）.解:
由f（x）是奇函数,g（x）是偶函数
得（）（）fxfx-=-,（）（）gxgx-=
所以-f
（1）+g
（1）=2①
f
（1）+
g
（1）=4②
由①②消掉f
（1）,得g
（1）=3.
题型三利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数（）fx是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f（x）=x3-x2,
当x>
0时,求f（x）的解析式.
当0x>
时,有0x-<
所以3232（）（）（）fxxxxx-=---=--
又因为（）fx在R上为偶函数
所以32（）（）fxfxxx=-=--
所以当0x>
时,32（）fxxx=--.
【例7】若定义在R上的偶函数（）fx和奇函数（）gx满足（）（）xfxgxe+=,求（）gx.解:
因为（）fx为偶函数,（）gx为奇函数
所以（）（）fxfx-=,（）（）gxgx-=-
因为（）（）xfxgxe+=①
所以（）（）xfxgxe--+-=
所以（）（）xfxgxe-+-=②
由①②式消去（）fx,得（）2xx
eegx--=.
课堂练习
仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1.函数（）11fxxx=--）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.已知函数（）fx为奇函数,且当0x>
时,21（）fxxx
=+,则
（1）f-=（）A.2B.1C.0D.-2
3.f（x）为偶函数,且当x≥0时,f（x）≥2,则当x≤0时,有（）
A.f（x）≤2
B.f（x）≥2
C.f（x）≤-2D.f（x）∈R
4.已知函数y=f（x）是偶函数,y=f（x-2）在[0,2]上是单调减函数,则（）
A.f（0）<
f（-1）<
f
（2）
B.f（-1）<
f（0）<
C.f（-1）<
f
（2）<
f（0）
D.f
（2）<
5.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数,那么g（x）=ax3+bx2+cx是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数6.定义在R上的奇函数f（x）在（0,+∞）上是增函数,又f（-3）=0,则不等式xf（x）<
0的
解集为（）
A.（-3,0）∪（0,3）
B.（-∞,-3）∪（3,+∞）
C.（-3,0）∪（3,+∞）
D.（-∞,-3）∪（0,3）7.若f（x）在[-5,5]上是奇函数,且f（3）<
f
（1）,则下列各式一定成立的是（）
A.f（-1）<
f（-3）
B.f（0）>
f
（1）
C.f
（2）>
f（3）
D.f（-3）<
f（5）
8.设f（x）在[-2,-1]上为减函数,最小值为3,且f（x）为偶函数,则f（x）在[1,2]上（）
A.为减函数,最大值为3
B.为减函数,最小值为-3
C.为增函数,最大值为-3
D.为增函数,最小值为3
9.下列四个函数,既是偶函数又在（0,+∞）上为增函数的是（）
A.y=x^3
B.y=-x^2+1
C.y=|x|+1
D.y=2-|x|10.若函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数,则a=（）A.1
B.-1
C.0
D.不存在
11.偶函数y=f（x）的图象与x轴有三个交点,则方程f（x）=0的所有根之和为________.
12.如图,给出了偶函数y=f（x）的局部图象,试比较f
（1）与f（3）的大小.
13.已知函数（）（0）pfxxmpx=++≠是奇函数,求m的值.
14.已知f（x）是偶函数,g（x）是奇函数,且f（x）+g（x）=x2+x-2,求f（x）,g（x）的表达式.
15.定义在（-1,1）上的奇函数f（x）是减函数,且f（1-a）+f（1-a2）<
0,求实数a的取值范围.
16.函数f（x）=ax+b
1+x2是定义在（-1,1）上的奇函数,且f⎝
⎛
⎭
⎫1
2=
5,求函数f（x）的解析式
17.判断函数（）（1
fxx
=+.
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