最新x届高考数学理配套文档学案 空间向量的坐标表示运算及应用人教b版优秀名师资料.docx

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最新x届高考数学理配套文档学案空间向量的坐标表示运算及应用人教b版优秀名师资料

x届高考数学（理）配套文档学案　空间向量的坐标表示、运算及应用（人教b版）

?

8.7空间向量的坐标表示、运算及应用

1（了解空间向量的基本定理及其意义（

2（掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（

3（掌握空间向量的坐标运算（

4（掌握用空间直角坐标计算空间向量数量积的公式（

5（掌握空间两点间的距离公式（

6（理解直线的方向向量与平面的法向量（

7（能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系（

8（能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）（

9（能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题（

10（了解向量方法在研究立体几何问题中的应用（

（1）直线的方向向量和平面的法向量是一种连接空间几何与代数的有效工具，已成为高考的热点，而空间向量特别是直角坐标系下的空间向量又是解决立体几何的有力工具，在高考试题中，可以利用空间向量的概念、数量积及其运算律，以及向量的数量积判断向量的共线与垂直，从而得到线线、线面、面面平行与垂直（

（2）向量语言是描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的重要代数语言，它可以将几何中的复杂信息代数化，从而变成简单的信息，有利于立体几何问题的解决（

（3）空间直线和平面的关系，可以借助空间向量量化，量化需要建立适当的空间直角坐标系，这样可以较快地解决这些问题;但证明简单的线线、线面、面面平行与垂直问题，可以直接利用空间几何语言进行描述并解决（

1（空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组____________，使得__________________（其中，{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________（

2（空间直角坐标系

（1）如果空间的一个基底的三个基向量_________，且长都为_________，则这个基底叫

i，j，kijk做单位正交基底，常用{}来表示（其中||,||,||,1）（

i，j，k

（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴:

__________________________，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量（通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面（

（3）建系时，一般使?

xOy,135?

（或45?

），?

yOz,90?

，建立____手直角坐标系（

?

（4）在空间直角坐标系中有一点A，若OA,xi，yj，zk，则有序实数组____________叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________（其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的________（

3（空间向量的直角坐标运算

设a,（x，y，z），b,（x，y，z），a，b是非零向量，则111222

（1）向量加法:

a，b,__________________（

（2）向量减法:

a,b,__________________（

（3）数乘:

λa,________________（

（4）数量积:

a?

b,________________（

（5）平行:

a?

b（b?

0）?

_________?

x,λx，________，__________（12

（6）垂直:

a?

b?

________?

________________（

a（7）向量a的模||,_________,______________（

（8）向量a与b夹角公式:

a?

bcos〈a，b〉,,___________（ab||||

?

（9）点坐标和向量坐标:

若点A（x，y，z），B（x，y，z），则AB,111222

?

____________________，线段AB的长度d,,______________________________（AB||AB

4（直线的方向向量

（1）与直线l__________的向量a叫做直线l的方向向量（

（2）空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定（设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式____________，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式表示（注意同一条直线的点向式表示不唯一（

5（平面的法向量和法向量的求法

（1）平面的法向量

已知平面α，直线l?

α，取直线l的方向向量a，则________叫做平面α的法向量（

（2）平面的法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求，步骤如下:

?

设出平面的法向量为n,（x，y，z）;

?

找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a,（a，b，c），b,（a，b，c）;111222

?

根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组（

?

解方程组，取其中的一个解，即得法向量（由于一个平面的法向量有______个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量（

注:

平面的法向量的确定通常有两种方法:

（1）几何体中已经给出的有向线段～只需证明线面垂直（

（2）几何体中没有具体的直线～此时可以采用待定系数法求平面的法向量（

6（空间中任意一个平面α，有两种向量表示形式:

（1）通过α上的一个定点O和两个向量a和b来确定（设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式____________，其中，x，y为实数，a，b分别是α上相交于点O的两条直线的方向向量（这种形式与平面向量基本定理一致（注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一（

（2）通过α上的一个定点O和一个向量a来确定（设点P是α上的任意一点，则α有向量表示形式____________，其中a是α的法向量，这种形式叫做平面的点法式表示（注意同一个平面的这种形式的表达式不唯一（

7（利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角

设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

（1）线线平行:

l?

m?

____________?

____________（

（2）线线垂直:

l?

m?

____________?

____________（

（3）线面平行:

l?

α?

____________?

____________（

（4）线面垂直，方法一:

l?

α?

__________?

__________;

方法二:

若e，e为平面α的一组基底，则12

a?

e，1,l?

α?

?

a?

e,a?

e,0.12,a?

e2

（5）面面平行:

α?

β?

____________?

____________（

（6）面面垂直:

α?

β?

____________?

____________（

π,,（7）线线夹角:

l，m的夹角为θ0?

θ?

，cosθ,（,,2

π,,（8）线面夹角:

l，α的夹角为θ0?

θ?

，sinθ,（,,2

π,,（9）面面夹角:

α，β的夹角为θ0?

θ?

，cosθ,（,,2

注意:

（1）这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面

π重合;

（2）这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0?

θ?

，而2

二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值

范围为____________，若设u，v的夹角为φ，当u，v均指向二面角内部或外部时（如图1），

u?

v二面角的大小为θ,π,φ，cosθ,cos（π,φ）,,cosφ,,;当u，v一个指向二面角内，uv||||

u?

v另一个指向二面角外时（如图2），二面角的大小为θ,φ，cosθ,cosφ,.uv||||

8（点到直线的距离

设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离

为d,______________（如图3）（

图3图4

9（点到平面的距离

设P为平面α内的一点，n为平面α的法向量，A为平面α外一点，点A到平面α的距离

为d,（如图4）（

10（线面距离、面面距离都可以转化为_________（

【自查自纠】

x，y，z1.{}p,xa，yb，zc基底基向量

2（

（1）互相垂直1

（2）x轴，y轴，z轴（3）右

（4）（x，y，z）A（x，y，z）竖坐标

3（

（1）（x，x，y，y，z，z）121212

（2）（x,x，y,y，z,z）121212

（3）（λx，λy，λz）（4）xx，yy，zz111121212

（5）a,λby,λyz,λz1212

（6）a?

b,0xx，yy，zz,0121212222（7）a?

ax，y，z111

xx，yy，zz121212（8）222222x，y，zx，y，z111222

（9）（x,x，y,y，z,z）212121222（x,x），（y,y），（z,z）212121

?

4（

（1）平行且非零

（2）AP,ta

5（

（1）向量a

n?

a,ax，by，cz,0，111,,

（2）无数n?

b,,ax，by，cz,0,222

?

?

6（

（1）OP,xa，yb

（2）OP?

a,0

7（

（1）a?

ba,kb，k?

R

（2）a?

ba?

b,0

（3）a?

ua?

u,0（4）a?

ua,ku，k?

R

（5）u?

vu,kv，k?

R（6）u?

vu?

v,0

a?

ba?

uu?

v||||||（7）（8）（9）0?

θ?

πabauuv||||||||||||

?

||PA?

n22?

?

8._9.||||PA?

nPAn||

10（点到面的距离

在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述:

?

点P关于x轴的对称点的坐标是（x，,y，z）;?

点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，,y，,z）;?

点P关于y轴的对称点的坐标是（x，,y，z）;?

点P关于原点的对称点的坐标是（,x，,y，,z）（其中正确的个数是（）

A（3B（2C（1D（0解:

易知?

?

?

是错的～仅?

正确～故选C.

已知向量a,（,1，1，,1），b,（2，0，,3），则a?

b等于（）A（,5B（,4C（2D（1解:

a?

b,,1×2，1×0，（,1）×（,3）,1.故选D（

已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉,,

1，则l与α所成的角为（）2

A（30?

B（60?

C（x0?

D（150?

1解:

?

cos〈m～n〉,,～?

〈m～n〉,x0?

.2

?

直线l与α所成的角为30?

.故选A.

已知向量a,（2，,1，3），b,（,4，2，x），使a?

b成立的x与使a?

b成立的x

分别为____________（

10解:

因为a,（2～,1～3）～b,（,4～2～x）～?

a?

b?

8,2，3x,0?

x,.a?

b?

3

11023,,?

x,,6.故填，,6.,42x3

正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E，F分别为BB，CD的中点，则点F到平11111

面ADE的距离为__________（11

解:

以点D为坐标原点～DA～DC～DD所在射线为x～y～z轴～建立如图所示的空间1

11?

,,,直角坐标系～连接AF～则A（1～0～1）～E1～1～～D（0～0～1）～F0～～0～AF,1111,,,,22

11?

?

,,,,1～～,1～AE,0～1～,～AD,（,1～0～0）（111,,,,22

1?