贝叶斯的例子.docx

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贝叶斯的例子

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断（Bayesianinference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理（Bayes'theorem）的应用。

英国数学家托马斯贝叶斯（ThomasBayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。

它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。

正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。

只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。

人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证

这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显

现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。

后者实际上就是计算"条件概率"的

公式。

所谓"条件概率"（Conditionalprobability），就是指在事件B发生的情况下，事

件A发生的概率，用P（A|B）来表示。

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是

P（AnB）除以P（B）。

P（A\B）=

P（AnB）

因此，

同理可得，

|P（AnB）=F（B|A）P（A）

所以，

P（A|B）P（B）=P（B|A）P（A）

即

'17P（B）

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式

假定样本空间S，是两个事件A与A的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分

即

P（B）=P（BAA）+P（Bn"）

在上一节的推导当中，我们已知

|P（BnA）=F（B|A）P（A）

所以，

p（B）=P（B\A）P（A）+P（B|

这就是全概率公式。

它的含义是，如果A和A构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法:

P（A\B）=

P（B\A）P（A）

P（B|A）P（A）+P（B|

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式:

P（A\B）=P（A）

我们把P（A）称为"先验概率"（Priorprobability），即在B事件发生之前，我们对

A事件概率的一个判断。

P（A|B）称为"后验概率"（Posteriorprobability），即在

B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。

P（B|A）/P（B）称为"可能性函数"

（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成下面的式子：

后验概率二先验概率X调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。

我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P（B|A）/P（B）>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

五、【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。

3010:

2020

#1:

#2

第一个例子。

两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。

现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。

请冋这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。

由于这两个碗是一样的，所以

P（H1）=P（H2）,也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。

因此，P（H1）=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P（H1|E）。

我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之

后，对P（H1）的修正。

根据条件概率公式，得到

尸（旳E）"3】）罟器

求出P（E）就可以得到答案。

根据全概率公式,

P（E）=P（E|Hi）P（Hi）+P（E|HJP（H：

所以,

P{E）=0.75x0.5+0.5x0.5=0.625

将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。

也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。

现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。

它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。

现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P（A）为0.001。

这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。

再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P（A|B）。

这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。

根据条件概率公式,

用全概率公式改写分母,

P（A\B）=P（A）

P{B\A）P{A）+P{B\A）P（A）

将数字代入,

我们得到了一个惊人的结果，P（A|B）约等于0.019。

也就是说，即使检验呈现阳性,病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。

这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样？

为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%?

答案是与它的误报率太高有关。

（【习题】如果误报率从5%降为1%,请问病人得病的概率会变成多少？

）

有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。

然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险?