高考数学理科一本培养优选练中档大题分类练5选考部分选修44选修45.docx
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高考数学理科一本培养优选练中档大题分类练5选考部分选修44选修45
中档大题分类练（五） 选考部分（选修4－4、选修4－5）
（建议用时：
60分钟）
（对应学生用书第141页）
1．[选修4—4：
坐标系与参数方程]
（2018·邯郸市一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
（t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．
[解]
（1）∵
＝t，∴x＝
，即y＝
（x－2），
又t＞0，∴
－
＞0，∴x＞2或x＜0，
∴曲线M的普通方程为y＝
（x－2）（x＞2或x＜0）．
∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，
即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0.
（2）由
得x2－4x＋3＝0，
∴x1＝1（舍去），x2＝3，
则交点的直角坐标为（3，
），极坐标为
.
[选修4－5：
不等式选讲]
（2018·邯郸市一模）已知函数f（x）＝|x－4|＋|x－1|－3.
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若直线y＝kx－2与函数f（x）的图象有公共点，求k的取值范围．
[解]
（1）由f（x）≤2，得
或
或
解得0≤x≤5.
故不等式f（x）≤2的解集为[0,5]．
（2）f（x）＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函数f（x）的图象，如图所示，
直线y＝kx－2过定点C（0，－2），
当此直线经过点B（4,0）时，k＝
；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈（－∞，－2）∪
.
2．[选修4—4：
坐标系与参数方程]
（2018·唐山市一模）已知直线l的参数方程为
（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2.
（1）求φ的取值范围；
（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．
[解]
（1）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，将
代入x2＋y2＝1得
t2－4tsinφ＋3＝0（*）．
由16sin2φ－12＞0，得|sinφ|＞
，又0≤φ≤π，
所以φ的取值范围是
.
（2）由（*）可知，
＝2sinφ，代入
中，整理得P1P2的中点的轨迹方程为
φ为参数，
＜φ＜
.
[选修4－5：
不等式选讲]
（2018·沈阳质监三）已知正实数a，b，c，函数f（x）＝|x＋a|·|x＋b|.
（1）若a＝1，b＝3，解关于x的不等式f（x）＋x＋1＜0；
（2）求证：
f
（1）f（c）≥16abc.
[解]
（1）原不等式等价于|（x＋1）（x＋3）|＜－x－1⇔x＋1＜（x＋1）（x＋3）＜－x－1
⇔
⇔
⇔x∈（－4，－2）．
（2）∵a，b，c为正数，所以有
∴f
（1）f（c）＝（a＋1）（b＋1）（a＋c）（b＋c）
≥2
·2
·2
·2
＝16abc.
3．[选修4－4：
坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线l的极坐标方程是2ρsin
＝4
，射线OM：
θ＝
与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
[解]
（1）∵圆C的参数方程为
（φ为参数）∴圆C的普通方程为x2＋（y－3）2＝9.
（2）化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ＝6sinθ，
设P（ρ1，θ1），则由
解得ρ1＝3，θ1＝
，
设Q（ρ2，θ2），则由
解得ρ2＝4，θ2＝
，∴|PQ|＝ρ2－ρ1＝1.
[选修4－5：
不等式选讲]
已知函数f（x）＝|x－4|＋|x－2|.
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设f（x）的最小值为M，若2x＋a≥M的解集包含[0,1]，求a的取值范围．
[解]
（1）f（x）＝|x－4|＋|x－2|＝
∴当x≤2时f（x）＞2,6－2x＞2，解得x＜2；
当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；
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