七年级下一元一次不等式综合应用.docx
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七年级下一元一次不等式综合应用
辅导讲义
学员编号:
年级:
七年级课时数:
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
授课
类型
解一元一次不等式的综合题
一元一次不等式的应用
授课日期时段
教学内容
1、专题精讲
题型一:
由不等关系式确定参数范围
例1.若x<y,且(m-2)x>(m-2)y,则m的取值范围是 。
【巩固1】当m满足 时,由a<b,可得到am2<bm2。
【巩固2】若|a-2|=2-a,则数a在数轴上的对应点在( )
A.表示数2的点的左侧
B.表示数2的点的右侧
C.表示数2的点或表示数2的点的左侧
D.表示数2的点或表示数2的点的右侧
答案:
m<2;m≠0;C
题型二:
已知字母范围,确定字母组成的代数式范围
例1.若-2<a<-1,-1<b<0,则M=a+b的取值范围是( )
A.M=-2B.M<-3C.-3<M<-2D.-3<M<-1
【变式】例1中条件不变,则N=a-b的取值范围是______。
【巩固1】5≤x≤20,25≤a≤30,则
的取值范围是 。
【巩固2】若0<a<1,则a2,a,
之间的大小关系为( )
A.a2>a>
B.
>a>a2C.
>a2>aD.不能确定
【巩固3】已知非负数a,b,c满足条件a+b=7,c-a=5,设S=a+b+c的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为 。
答案:
D;-2<N<0;
;B;12
题型三:
与解方程(组)相结合的解不等式
例1.已知x和y满足3x+4y=2,x-y<1,则( )
A.x=
B.y=-
C.x>
D.y>-
【巩固1】已知方程组:
的解x,y满足2x+y≥0,则m的取值范围是。
【巩固2】若方程组
的解满足条件x+y<1,则k的取值范围是( )
A.k<1B.k<0C.k<9D.k>-4
【巩固3】已知|3m-n+1|+(2m+3n-25)2=0,解不等式2mx-7(x-n)≥19.
答案:
D;
;A;
题型四:
解含参数的一元一次不等式
例1.若a<b,则ax+b>bx+a的解集是。
例2.已知不等式组
无解,则
的取值范围是 .
【巩固1】解下列关于x的不等式:
(1)
x+b>
x+ab(a>b);
(2)k(kx+1)<1-x.
【巩固2】如果不等式
的解集是x>1,那么b必须满足( )
A.b<-1 Bb≤-1 Cb>-1 Db≥-1
【巩固3】已知关于
的不等式组
的整数解共有5个,则
的取值范围是__________.
答案:
x<1;a≤-1;略;A;-4<a≤-3
题型五:
含绝对值的一元一次不等式
例1.已知关于x的不等式|x-1|+|x+1|<m有解,则m的取值范围是。
答:
m>2
【巩固1】若|2x+1|+|2x-1|>a对任意实数x恒成立,则a的取值范围是。
答:
a<2
解析:
由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边,若x对应点在1的右边,由图可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3.
【巩固2】参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x+3|=4的解为________;
(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|+|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围.
解:
(1)方程|x+3|=4的解就是在数轴上到-3这一点,距离是4个单位长度的点所表示的数,是1和-7.
故解是1和-7;
(2)由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与3和-4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值.
在数轴上,即可求得:
x≥4或x≤-5.
(3)|x-3|+|x+4|即表示x的点到数轴上与3和-4的距离之和,
当表示对应x的点在数轴上3与-4之间时,距离的和最小,是7.
故a≥7.
题型六:
一元一次不等式的整数解
例1.不等式19-3x>2的非负整数解的个数是。
【巩固1】已知不等式2x-a<0的正整数解有且只有2个,则a的取值范围为。
【巩固2】求不等式组
的整数解.
答:
0,1,2,3,4,5;4<a≤6;3或4;
三、学法提炼
1、专题特点:
(1)利用不等式(组)解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似,所不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系即可。
(2)在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键。
解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯。
即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验。
(3)在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为了防止漏解和便于比较,我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨。
2、解题方法:
运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言。
解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆。
3、注意事项:
(1)注意特殊解的时候不要忽略0的存在。
(2)解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆。
一、能力培养
由于列不等式(组)解应用题手段独特,方法灵活,因而近几年来常出现在中考试卷中,许多同学感到求解有难度,事实上,列不等式(组)解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同,简单地分为:
设、找、列、解、答五个步骤,具体就是:
(1)设:
弄清题意和题目中的数量关系,用字母(x、y)表示题目中的未知数;
(2)找:
找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系;
找到不等量关系后建议学生先用文字建立方程,详见例题。
(3)列:
根据这个不等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出不等式(组);
依据上一步建立的方程,将各个量用代数式替换。
(4)解:
解这个所列出的不等式(组),求出未知数的解集;
(5)答:
写出答案
这五步的关键是“列”,难点是“找”,下面结合几个例题分类加以说明.
题型一:
分配问题
例题、一群女生住若干间宿舍,每间住4人,剩19人无房住;每间住6人,有一间宿舍住不满,可能有多少间宿舍,多少名学生?
解答:
解:
设有x间宿舍.
0<4x+19-6(x-1)<6,
9.5<x<12.5
∴x可取10、11或12,
∴学生数为59或63或67人.
答:
有10间宿舍59名学生或11间宿舍,63名学生或12间宿舍,67名学生.
点评:
考查一元一次不等式组的应用;根据最后一间宿舍的人数得到关系式是解决本题的关键.
【巩固1】用若干载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空.请问:
有多少辆汽车?
多少吨货物?
解答:
解:
设有x辆车,则有(4x+20)吨货物.
∵每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空,
∴装满的有x-1辆车,
由题意,得0<(4x+20)-8(x-1)<8,
解得5<x<7.
∵x为正整数,
∴x=6.
∴4x+20=44.
答:
有6辆车,44吨货物.
【巩固2】将不足40只鸡放入若干个笼中,若每个笼里放4只,则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只.问有笼多少个?
有鸡多少只?
解答:
解:
设笼有x个.
解得:
8<x<11
x=9时,4×9+1=37
x=10时,4×10+1=41(舍去).
故笼有9个,鸡有37只.
题型二:
积分问题
例题、某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:
答对一题得6分,不答或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?
解答:
解:
设这个学生至少要答对x道题,则答错的题目为(16-x)道题.
依题意得:
6x-2(16-x)>60,
6x-32+2x>60,
8x>92,
X>11.5,
其中x的最小整数为12.
答:
他至少应答对12道题.
【巩固】一堆有红、白两种颜色的球若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的2倍比红球多.若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”,则总数为“60”,那么这两种球各有多少个?
解答:
解:
设白球有x个,红球有y个,
由题意得,
,
由第一个不等式得:
3x<3y<6x,
由第二个个式子得,3y=60-2x,
则有3x<60-2x<6x,
∴7.5<x<12,
∴x可取8,9,10,11.
又∵2x=60-3y=3(20-y),
∴2x应是3的倍数,
∴x只能取9,
此时y=14
答:
白球有9个,红球有14个.
题型三:
比较问题
例题、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游.甲旅行社说:
如果校长买全票一张,则其余学生可以享受半价优惠;乙旅行社说:
包括校长在内全部按全票的6折优惠.已知两家旅行社的全票价都是240元,请你就学生数说明哪家旅行社更优惠.
分析:
从题意可看出那家优惠和学生人数有关系,所以应该分三种情况讨论
(1)甲优惠,
(2)甲乙花钱一样,(3)乙优惠.
解答:
解:
设学生人数为x人.
(1)240+240×0.5x<240×0.6(x+1)
x>4
(2)240+240×0.5x=240×0.6(x+1)
x=4
(3)240+240×0.5x>240×0.6(x+1)
x<4
答:
x>4时甲优惠,x=4时花费一样,当x<4时乙优惠.
点评:
本题考查对题意的理解情况以及对优选方案为题分组讨论.
【巩固】暑假期间,两名老师计划带领若干名学生去三亚旅游,他们联系了报价均为每人400元的两家旅行社.经协商,甲旅行社的优惠条件是:
两名老师全额收费,学生都按六折收费;乙旅行社的优惠条件是:
老师,学生都按七折收费.假设这两名老师带领x名学生去旅游,他们应该选择哪家旅行社?
解答:
解:
设选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,
则y1=400×2+400×0.6x,即y1=240x+800
y2=(2+x)×400×0.7,即y2=280x+560
由y1=y2,得240x+800=280x+560
解得x=6;
由y1>y2,得240x+800>280x+560
解得x<6;
由y1<y2,得240x+800<280x+560
解得x>6.
所以,当x=6时,甲、乙两家旅行社的收费相同:
当x<6时,选择乙旅行社费用较少;
当x>6时,选择甲旅行社费用较少.
题型四:
行程、工程问题
例题1、某人要完成2.1千米的路程,并要在18分钟内到达,已知他每分种走90米,若跑步可跑210米,问这人完成这段路程,至少要跑几分种?
解答:
解:
设至少要跑x分钟,
根据题意得210x+90(18-x)≥2100,
解得x≥4,
所以这人完成这段路程,至少要跑4分种.
例题2、一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务.问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3?
解答:
解:
设平均每天挖土xm3,
由题意得:
(10-2-2)x≥600-120,
解得:
x≥80.
答:
平均每天至少挖土80m3.
【巩固1】昆明城市的一种出租车起价(即行驶距离3km内需付7元费),达到或超过3km后,每增加1km加价0.80元(不足1km的部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费11元,从甲地到乙地的路程最多是多少千米?
解答:
解:
设从甲地到乙地的路程大约有x千米,
根据题意,得,7+(x-3)×0.8≤11,
得x≤8,
答:
从甲地到乙地最多8千米.
【巩固2】一个修路队计划7天时间修路850m,第一天修了130m.根据上级部门的要求,至少需提前2天完成,那么以后几天里,平均每天至少要修多少米才能完成任务?
解答:
解:
设以后每天修x米,
根据题意,得:
130+(7-1-2)x≥850,
解得:
x≥180.
答:
以后几天平均每天至少修180米才能完成任务.
题型五:
浓度、利润问题
例题1、一种浓度是15%的溶液30千克,现要用浓度更高的同种溶液50千克和它混合,使混合得到的80千克溶液的浓度大于20%,则所用的浓度更高的溶液的浓度x至少为多少?
(想一想,其实你能做出来,步骤要完整!
)
解答:
解:
设所用的浓度更高的溶液的浓度x,则
30×15%+50x>80×20%
x>23%.
所用的浓度更高的溶液的浓度x至少为23%.
例题2、商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后将售价下降1O%,这样每件仍可以获利18元,又售出了全部商品的25%.
(1)试求该商品的进价和第一次的售价;
(2)为了确保这批商品总的利润不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元?
解答:
解:
(1)设该商品的进价为x元,第一次的售价为y元,
由题意,得
,
解这个方程组,得x=90y=120.
答:
该商品的进价为90元,第一次的售价为120元;
(2)设剩余商品的售价为z元,
由题意,得30×65%m+18×25%m+(z-90)(1-65%-25%)m≥90m×25%.
解这个不等式,得z≥75.
答:
剩余商品的售价应不低于75元.
【巩固1】一种浓度是15%的溶液30千克,现要用浓度更高的同种溶液50千克和它混合,使混合后的浓度大于20%,而小于35%,则所用溶液浓度x的取值范围是(C )
A.15%<x<23%B.15%<x<35%C.23%<x<47%D.23%<x<50%
【巩固2】商店进了一批服装,进价为320元,售价定为480元,为了使利润不低于20%,最多可以打几折?
解答:
解:
设设最多可以打x折,由题意,得
480x-320≥320×20%,
解得:
x≥0.8
∴x最少=0.8=80%.
故答案为8.
题型六:
方案选择与设计
例题1、某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料中的维生素C含量及每千克原料的价格如下表所示:
原料项目
甲种原料
乙种原料
维生素C含量(单位/kg)
600
100
原料价格(元/kg)
8
4
现配制这种饮料10kg,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,请根据以上条件解答下列问题:
(1)设需用xkg甲种原料,写出x所满足的不等式组;
(2)若按上述条件购买甲种原料的质量为整kg数,有几种购买方案,请写出购买方案.
解答:
解:
(1)
;
(2)由
(1)解得 6.4≤x≤8
若按上述的条件购买甲种原料的质量为整kg数,有两种购买方案,
即方案一:
甲种原料为7kg,乙种原料为3kg;
方案二:
甲种原料为8kg,乙种原料为2kg.
例题2、今年我市为庆祝国庆60周年,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧.具体信息如表格:
1个A种造型
1个B种造型
甲种花卉(盆)
80
50
乙种花卉(盆)
40
90
成本(元)
800
960
(1)请你设计一下有哪几种搭配方案;
(2)试说明
(1)中哪种方案成本最低?
最低成本是多少元?
解答:
解:
(1)设搭配A种造型x个,则B种造型为(50-x)个.
由题意,得
.
解得31≤x≤33.
∵x为整数,
∴x=31,32,33.
∴可设计三种搭配方案:
方案1:
A种园艺造型31个,B种园艺造型19个;
方案2:
A种园艺造型32个,B种园艺造型18个;
方案3:
A种园艺造型33个,B种园艺造型17个.
(2)∵B种造型的造价成本高于A种造型成本,
∴B种造型越少,成本越低,故应选择方案3,成本最低.
最低成本为:
33×800+17×960=42720(元).
答:
应选择方案3成本最低,最低成本为42720元.
【巩固1】某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.
解答:
解:
(1)由租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆,
由题意得:
,
解得:
5≤x≤6.
即共有2种租车方案:
第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆;
第二种是租用甲种汽车6辆,乙种汽车2辆.
(2)第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400(元);
第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600(元).
∴第一种租车方案更省费用.
【巩固2】某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只,付款总额不得超过11815元.已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表,试解答下列问题:
品名
厂家批发价(元/只)
商场零售价(元/只)
篮球
130
160
排球
100
120
(1)该采购员最多可购进篮球多少只?
(2)若该商场把这100只球全部以零售价售出,为使商场尽量获得更多的利润,采购员要购进篮球多少只?
该商场最多可盈利多少元?
解答:
解:
(1)设采购员可购进篮球x只,则排球是(100-x)只,
依题意得130x+100(100-x)≤11815,
解得x≤60.5,
∵x是整数,
∴x=60,
答:
购进篮球和排球共100只时,该采购员最多可购进篮球60只.
(2)设利润为y元,
y=(160-130)x+(120-100)(100-x)=10x+2000,
∵篮球的利润大于排球的利润,因此这100只球中,当篮球最多时,商场可盈利最多,
故篮球60只,此时排球40只,商场可盈利10×60+2000=2600(元).
即该商场可盈利2600元.
二、能力点评
学法升华
1、知识收获:
经过本节课的学习,你能从解不等式当中收获哪些题型总结?
列举看看,并且说说一般思想方法是什么?
答:
题型有:
求一元一次不等式的整数解、解含绝对值的一元一次不等式等;在解这些不等式的时候一定要抓住不等式的基本性质;
2、方法总结:
在解不等式的应用题时,有哪些方法?
答:
运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言。
解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆。
3、技巧提炼:
本节课有哪些思想方法?
答:
在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为了防止漏解和便于比较,我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨。
课后作业
1、某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞。
现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。
经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个,那么为了节约资金应选择哪种方案?
答案:
解:
(1)设购买甲种机器x台,则购买乙种机器(6-x)台。
7x+5(6-x)≤34
x≤2,
∵x为非负整数
∴x取0、1、2
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:
方案一:
不购买甲种机器,购买乙种机器6台;
方案二:
购买甲种机器1台,购买乙种机器5台;
方案三:
购买甲种机器2台,购买乙种机器4台;
(2)按方案一购买机器,所耗资金为30万元,新购买机器日生产量为360个;
按方案二购买机器,所耗资金为1×7+5×5=32万元;,新购买机器日生产量为1×100+5×60=400个;
按方案三购买机器,所耗资金为2×7+4×5=34万元;新购买机器日生产量为2×100+4×60=440个。
∵选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求,又比方案三节约2万元资金,故应选择方案二。
2、有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若使总收入不低于15.6万,则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?
解:
设安排x人种甲种蔬菜,(10-x)种乙种蔬菜。
0.5×3x+0.8×2×(10-x)≥15.6
x≤4
答:
最多只能安排4人种甲种蔬菜。
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;
(1)符合公司要求的购买方案有几种?
请说明理由;
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上那种购买方案?
解:
(1)设轿车要购买x辆,则面包车要购买(10-x)辆。
7x+4(10-x)≤55
x≤5
∵x≥3,
∴x取3、4、5
∴购机方案有三种:
方案一:
轿车3辆,面包车7辆;
方案二:
轿车4辆,面包车6辆;
方案三:
轿车5辆,面包车5辆;
(2)方案一的日租金为:
3×200+7×110=1370(元)
方案二的日租金为:
4×200+6×110=1460(元)
方案三的日租金为:
5×200+5×110=1550(元)
为保证日租金不低于1500元,应选择方案三。
4、小杰到学校食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人,a>8),就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
(1)此时,若小杰继续在A窗口排队,则他到达窗口所花的时间是多少(用含a的代数式表示)?
(2)此时,若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少,求a的取值范围(不考虑其他因素).
解:
(1)他继续在A窗口排队所花的时间为
(分)
(2)依题意得
a>20.
5、苏州地处太湖之滨,有丰富的水产养殖资源,水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖,他了解到如下信息:
①每亩水面的年租金为500元,水面需按整数亩出租;
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗;
③每公斤蟹苗的价格为75元,其饲养费用为525元,当年可获1400元收益;
④每公斤虾苗的价格为15元,其饲养费用为85元,当年可获160元收益;
(1)若租用水面
亩,则年租金共需__________元;
(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用,求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益-成本);
(