新高考新题型数学多选题专项练习4含答案解析.docx
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新高考新题型数学多选题专项练习4含答案解析
2021新高考新题型一一数学多选题专项练习（4）
一、多选题
1.我们将横.纵坐标均为整数的点称为整点，则直线l:
y=kx+b（）
A.存在S
beR使得直线/上无整点
B.存在
beR使得直线/上恰有一个整点
C.存在
beR使得直线/上恰有两个整点
D.存在4
beR使得宜线I上有无数个整点
2.已知实数d,bi苗足h>O♦“Hl,h≠∖,且X="'",y=b'il,z=alfζil9w=biφ,则（）
A.存在实数α,b»使得x>y>z>w
B.存在"Hb,使得X=y=z=W
C.任意符合条件的实数∏,b都有X=y
D・x,y,Z,⑷中至少有两个大于1
3.
已知函数/（X）=A-[A],其中[X]表示不大于X的最大整数，下列关于函数/（X）的性质,描述正确的是（）
4.
6.
设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3}，贝∣J（）
B.Q..B={4}
A・A∩θ={O,1}
7.泄义“正对数”:
∕h÷x=?
Ov
若“>0,b>0,则下列结论中正确的是（
InXx≥l
InJr（CIb）=bhιrci
Ife（^hea-Iri¥b
阳丄AC
B・bΓ（ab）=InJPa+InJrb
D・bΓ（a+b）^bra+Ilrb
E・bιr（a+b）£hfa+IfIrh+ln2
8.如图，∕¾垂直于以初为直径的圆所在的平而，点C是圆周上异于A,B的任一点,
则下列结论中正确的是（）
B.PC丄BC
E.平面Q4C丄平≡PBC
9.下而说法中错误的是（）
A.经过左点P（XO,儿）的直线都可以用方程>'-.Vo=R（X-Xo）表示
B.经过左点P（Xo,儿）的直线都可以用方程X-XO=>n（y-y0）表示
C.经过泄点A（0.b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
D.不经过原点的直线都可以用方程-+^=1表示
E.经过任意两个不同的点l↑（xl9yl）,Pl（X2,儿）的直线都可以用方程
（y一X）（X2一坷）=（X一舛）（）‘2一X）表示
10・已知双曲线Cι≤-τi=iω>0√7>0）的离心率为娑，右顶点为A,以A为圆心，bCrIr3
为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有（）
D.ZMAN=I20°
11・设有一组圆C√x-l）2+（y-Λ）2=Γ伙%下列四个命题正确的是（
A.存在R,使圆与X轴相切
B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
12.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，给岀的下而结论中正确的有（）
A.直线AE与直线BF异而B.直线AE与直线QF异面
C.直线EF//平而∕¾DD.直线DF丄平而PBC
13.已知函数/（x）=2sin（2Λ--）+l,则下列说法正确的是（）
3
A・/（—-λ）=2-∕（λ∙）
6
B・f（--x）的图象关于X=-对称
64
C.若OVAl<冷<彳，则f（a1）<∕（a-2）
D.若XI,兀,兀曰彳,彳]，则fW+∕U2）>/（⅞）
14.已知函数/（λ-）=,^（X）=-l-~r-,则.f（x）、g（x）满足（）
A.f（-χ）=-f（χ）,g（-χ）=g（χ）B./（-2）C./（2λ）=2f（x）.g（x）D.[/（x）]2-⅛（x）]2=l
15.现有一段长度为"的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是
整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对“
符合条件时的最多小段数为f（n）.贝∣J（）
A.f（7）=3B.f（7）=4C./（30）=6D./（30）=7
16.已知O,A,B,C为平而上两两不重合的四点，且XOA+yOB+ZoC=∂（xyz≠0）,则（）
A.当且仅当町z<0时，O在ΔABC的外部
B.当且仅当x：
y：
z=3:
4:
5时，SMBC=4SgB
C.当且仅当x=y=z时，O为ΔABC的重心
D.当且仅当x+>∙+z=0时，A，B，C三点共线
17.下列说法，正确的有（）
A.函数/（x）=∕m+3A∙-6的零点只有1个且属于区间（1,2）
B.若关于X的不等式d+2αr+l>0恒成立，则*（0.1）
C.函数3=χ的图象与函数y=si∏A∙的图象有3个不同的交点
D.函数y=SinXCosX+Sin.χ∙+cosa;x∈（0.—］的最小值是1
4
18.已知八y,ZeR^且Λ∙+y+z=∕r，则/=cosx+cosy+cosz的最值情况为（）
A・最大值为3B・最小值为一3C.最大值为丄D.最小值为一丄
22
19.在数列｛①｝中Sr若也一咗=k（k为常数），则称｛%｝为“等差比数列S下
列对“等差比数列”的判断正确的为（）
A.k不可能为0
B.等差数列一立是“等差比数列”
C.等比数列一泄是"等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
2021新高考新题型一一数学多选题专项练习（4）
答案解析
一、多选题
1.我们将横.纵坐标均为整数的点称为整点.则直线l:
y=lcx+h（
A,存在S
beR使得直线/上无整点
B.存在
beR使得直线/上恰有一个整点
C.存在R,
beR使得直线/上恰有两个整点
D.存在
beR使得直线/上有无数个整点
【解析】解：
根据题意，依次分析选项：
对于A,当k=∖,/7=1时，直线/的方程为y=x+^9直线/上无整点，A正确：
3"3
对于”，当k=4i,b=0时，直线/的方程为y=√2x,直线/上恰有一个整点（0.0）,B正
确：
对于C,假设直线/上恰有两个整点为（ZHltnJ和（叫，Gh则有20,
此时直线/存在第三个整点：
（2〃】2-加】，2/?
2-∕z1）,C错误；
对于D,当Jl=O,b=l时，直线/的方程为y=l,直线/上有无数个整点：
则ABD正确；
故选：
ABD・
2.已矢口实数α,bi肃足b>0>“Hl,b≠∖,且X=/",y=Z/",Z=a®>w=bi^h>则（）
A.存在实数a,〃，使得x>y>z>w
B・存在aHb,使得X=y=z=W
C.任意符合条件的实数∏,b都有x=y
D・x,y,Z,W中至少有两个大于1
【解析】解：
设Iga=P,lf*b=q.则有10r=<∕,IOv=/?
贝Ih="尬=（IOP尸=IoK,y=（I（T）P=10",Z=（IoP）P=I（/,W=（Io少=1（/・
所以任意符合条件的a，〃都有A=y.C正解，A错误.
若"Hb,则P丰q、则XHZ,3错误.
因为"Hl，b≠∖9所以PHO,gHθ,所以p>O9g*^>O,故z>l,且W>1»D正确.故选：
CD.
3.已知函数/U）=A-[a],其中[x]表示不大于X的最大整数，下列关于函数/（x）的性质，描述正确的是（）
A./（a）是增函数B.F（X）是周期函数
C./Cr）的值域为[0,1）D.f（x）是偶函数
【解析】解：
当-2≤λ<-1时，[λ]=-2,此时f（x）=x-[x]=x+2.
当一1≤Λ∙当O≤XV1时，W=O,此时f（χ）=χ-[χ]=χ・
当1≤λ<2时，[x]=l,IlW/（χ）=χ-[χ]=χ-1・
当2≤λ<3时，[x]=2,J⅛R4∕（X）=X-[λ∙]=x-2・
当3≤a∙v4时，[x]=3.此时/（x）=x-[x]=x-3・
由此可得函数y=x-[x]w[0,1）,故C正确；
函数y=x-[x]为非奇非偶函数，故A,D错误：
函数y=x-[x]是周期为1的周期函数，故B正确：
函数y=x-[x]在区间[0,1）上为增函数，但整个左义域为不具备单调性，故A错;
故选：
BC・
4.
正方体截而的形状有可能为（）
A.正三角形B.正方形
【解析】解：
画出截而图形如图：
可以画出正三角形但不是直角三角形（如图1）:
可以画出正方形（如图2）经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形（如图3）；
正方体有六个而，用平面去截正方体时最多与六个而相交得六边形,且可以画岀正六边形（如
图4）:
故选：
ABD・
5.已知集合A={x∖x=3a+2l^a9beZ}.B={λIx=加一3〃，—beZ},贝∣J（）
C・A=B
【解析】解：
已知集合A={xlx=3d+2/八∏,⅛∈Z},B={x∖x=2a-3b.a9beZ}.若A丿加于B,贝Ihx=2α-3b=3*（2α-b）+2*（-2π）:
2iι-b.-2“均为整数，X也属于A,所以3是A的子集；
若a丿再于A,贝Ihx=3α+2Λ=2*（3"+b）-3*（a）：
攵+b、"均为整数，X也属于3,所以A是3的子集：
所以：
A=B,
故选：
ABC.
6.设全集（∕={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},贝∣]（）
A・A∩B={0,1}B・QB={4}
C.AUB={0,1，3,4}D.集合A的真子集个数为8
【解析】解：
∙.∙全集i∕={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},
/.A∩B={O,1},故A正确，
Q-B={2,4},故3错误，
A∣j3={0,1,3,4},故C正确，
集合A的貞•子集个数为23-l=7,故D错误
故选：
AC.
7.定义“正对数S∕H+x=100若“>0,心0,则下列结论中正确的是（）
Ifir（Ub）=blf↑ra
∣n^一bfb
B・bt（Ub）=InJra+InJrb
D・Ift（"+bQbfa+bΓb
In^（a+∕7）≤∕n+t/+In^b+Inl
【解析】解：
对于A,由怎义，当时，o6≥l»故bf（Ub）=In（Clb）=blna,又bln^a=bbuι♦
当OVdVl时，ab<∖,故∕n+（^）=0,又“vl时血α=0,所以此时亦有ln∖ab）=bln+a.
由上判断知A正确：
19
对∖B此命题不成立，可令“=2,b=—,则Ub=—»由左义∕n+（Uh）=0>hfa+bιrb=1∏2,33
所以IZbabm由此知B错误：
对于C,当C（^h>0时，-≥1,此时ln+（-）=ln（-）≥0,hbb
当少1时，∣n∖ι-Inb=Ina-Inb=ln（-）,此时命题成立:
当a>∖>b时9If^a-Ifrh=Ina,此时—>α>故命题成立：
h
同理可验证当时，In+（―）≥∕/?
+-In+b成立：
b'
当纟<1时，同理可验证是正确的，故C正确：
b
对于D,若OV“+/xl,b>0时，左=0,右端$0,显然成立：
若a+b>↑,贝IJbΓ（U+b）^ln~u+Iitb+ln2OIif■-≤∕m+
确.
故选：
ACE.
8.如图，Q4垂直于以AB为直径的圆所在的平而，点C是圆周上异于A,B的任一点,
B.PC丄BC
D.平而QAB丄平而PBC
则下列结论中正确的是（）
A・PB丄AC
C.AC丄平而PBC
E.平WiPAC丄平而PBC
【解析】解：
由题意，BC丄AC,若PB丄Ae,则AC丄平面PBC,可得AC丄Pe,与AC丄P4矛盾，故A、C错误；
Be丄AC,又∕¾丄底而ABC,:
.PA丄BC,则BC丄平面PAC,则BC丄PC,故B、E正确：
平≡Λ4C丄平面PBC,若平^PAB丄平而PBC，而平而咖C平面PAC=PA,则∕¾丄平面PBC,可得朋丄PC,与AC丄∕¾矛盾，故D错误.
故选：
BE.
9.下而说法中错误的是（）
A.经过圧点P（Xo,儿）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示
B.经过泄点P（x0,儿）的直线都可以用方程X-Xo=m（y-yit）表示
C.经过定点A（O.b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
D.不经过原点的直线都可以用方程-+-=1表示
Ub
E.经过任意两个不同的点^（XI,y1）,Λ（a-2,儿）的直线都可以用方程
（y-yl）（x2-Xl）=（X-A-Xy2-yi）表示
【解析】解：
当直线的斜率不存在时，经过泄点P（Ao,儿）的直线方程为A-=A0,不能写成
y-y0=k（x-x0）的形式，故A错误.
当直线的斜率等于零时，经过立点P（Xo,儿）的直线方程为y=y°,不能写成
X-XO=∣n（y-y0）的形式，故B错误.
当直线的斜率不存在时，经过立点A（0.∕7）的直线都方程为x=0,不能用方程y=kx+b表示,故C错误.
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x=a（a≠0）的形式，故D错误.
经过任意两个不同的点片（旺，y1）,P2（x2,儿）的直线，当斜率等于零时，片=），2,x1≠x2,
方程为y=y∖,
能用方程（y->,1）U2-XI）=（X-A-Xy2-yl）表示；
当直线的斜率不存在时，y1≠y2,XI=^,方程为A=XI,能用方程
（y-yjg-Xl）=（X-舛）（儿-x）表示，故E正确,
故选：
ABCD・
10.已知双曲线Cι4-4=iω>0√7>0）的离心率为斗，右顶点为A,以A为圆心，bCrIy3
为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有（）
A.渐近线方程为>'=±√3xB.渐近线方程为y=±fX
C・ZMAN=60oD・ZMAA^=I20o
【解析】解：
由题意可得e=-=^-,可设c=2∕,a=j3t,r>0,
a3
则b=Jc'—a'=t,A（>∕3t♦0）♦
圆A的圆心为（妁，0）,半径广为f,双曲线的渐近线方程为y=±-x,即尸±迺
a3
If•问I娶
圆心A到渐近线的距离为CI=‘3_=亠2
可得三角形MNA为等边三角形,即有ZM4N=60o∙
故选：
BC.
11.设有一组圆C:
（X-I）2+（y-⅛）2=Jt4ZNr,下列四个命题正确的是（）
A.存在R,使圆与X轴相切
B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
【解析】解：
对于A：
存在使圆与X轴相切Ok=F（展N、有正整数解Ok=O或k=∖,
故A正确；
对于3：
因为圆心（1,灯恒在直线a-=1±,故〃正确：
对于C：
当£取无穷大的正数时，半径F也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确：
对于D：
将（QO）代入得1+疋=R4•即I=k2（k2-∖）.因为右边是两个相邻整数相乘为偶数•而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确.
故选：
ABD・
12.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为M、PC的中点，在此几何体中，给出的下而结论中正确的有（）
A・直线Af与直线3F异而B.直线AE与直线DF异而
C.直线EF//平而EADD.直线DF丄平而PBC
【解析】解：
如图，把几何体恢复原状，显然BF异面,可知A正确；
-EFllBC>BCIIAD,
：
.EFIIAD,
：
.EFIl平而Λ4Q,可知C正确；
易知AEFD为等腰梯形，可知3,D错误.
13・已知函数/（x）=2sin（2A--）+l,则下列说法正确的是（）
3
A・/（f-x）=2-∕（Λ∙）
O
B.八兰—x）的图象关于x=-对称
64
C.若0D.若XI,冷,兀3W吟,彳】'则/3）+f（χ2）>f（∙⅞）
【解析】解：
∙.∙f（x）=2sin（2x—£）+1,
对A/（--X）=2sin[2（--X）--I+1=-2Sin2x+l≠2-f（x）,故A错误：
663
对3：
当X=-时，/（--χ）=-2sin-+l=-H故f（--x）关于λ=-对称，故3正确:
4*6264
对C:
∙.∙f（x）在（0,彳）上不单iJ5J,.∙.0对D-/（X）在（二兰）上单调递增，在（迴上）上单调递减，・•・当xpλ^x3∈[-Λ],
31212232
由/（X）的图象知/（λ∙）÷∕（x2）>/（X3）,故D正确.
故选：
BD.
3正确,
ex_严ex+严
2f（x）^（x）=2×一-一•一-一=2×
2x_-2λ
L-^-=2f（2x）,故C正确,
[f（χ）F-[g（χ）F=Lf（χ）+g（χ）]・
[∕ω-^（χ）]=^∙（-^）=-ι,故D错误,
故选：
ABC.
15・现有一段长度为”的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是
整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对H符合条件时的最多小段数为f（n）.则（）
D・/（30）=7
A・f（7）=3B.f（7）=4C./（30）=6
【解析】解：
当料=7时，最多可锯成3段：
7=3+4=3+2+2,:
J（7）=3,故A正确，
B不正确；
当»=30时，最多能锯6段，具体如下：
30=12+18=12+10+8=6+6+10+8=6+6+5+5+8=6+6+5+5+4+4・
下证大于6段是不可能成立的：
若可锯成7段，设为西，x2>...>兀7（其中λi>x2>...≥x7）t
显然召>4,若舛$4,贝∣Jx7≥4,K∏4x6+7=31>30,矛盾，因11匕Al=5或州=6,
当可=6时，只能是6+4+4+4+4+4+4,退一步必岀现6+4=10,或4+4=8,
8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾
同理，当召=5时，・・・情况为5+5+4+4+4+4+4,或5+5+5+4+4+4+3,或
5+5+5+5+4+3+3,
针对以上情形采取还原的方法都可得岀矛盾，
综上，”=30时最多能锯成6段，即/（30）=6,故C正确，D不正确.
故选：
AC.
16.已知O,A,B,C为平面上两两不重合的四点，且XoA+yOB+ZoC=∂（xyz≠0）,则（）
A.当且仅当勺z<0时，O在ΔABC的外部
B.当且仅当x：
y：
z=3:
4:
5时，SAAflC=45iθβc
C.当且仅当x=>=z时，O为ΔABC的重心
D.当且仅当x+y+z=0时，A，B,C三点共线
【解析】解：
对于A,如图1,若X,y,Z只有一个为负时，不妨设y<0,x>0,z>0,则有XOA+yOC与同向.则O在ΔABC的外部，
若X,y,Z均为负时，不妨取X=y=Z=-I,
可得O/i+ob+OC；=d,显然O为ΔABC的重心，则O在ΔΛBC的内部，
综上，A错.
对于3.λ^:
y:
z=3:
4:
5时，不妨取x=3,y=4.z=5.分别作Ozi=3θ∕,OE=,
OF≈5OC.
则点O为2EF的重心.SQfC=总Sg=护耗M=右Sg，
=Y^X"MEF=§X20SSBC=4S∖OBC
正确.
对于C・当且仅当X=V=Z时，且XOA÷yOB^ZOC=∂（xyz≠0）,
OOA^OB^OC≈6
Oo为WC的重心，正确.
对于D・x+y+z=0时，JiXOA+y∂B÷ZOC=O（xyz≠O）,<≠>XOA÷yOB-（X÷y）OC=O,化为：
XCA=yBC,可得A,B,C三点共线.
综上可得：
BCD都正确.
故选：
BCD.
17.下列说法，正确的有（）
A.函数/（x）=∕∕u∙+3x-6的零点只有1个且属于区间（1,2）
B.若关于X的不等式c∕+2αr+l>O恒成立，则*（0,1）
C.函数3=χ的图象与函数V=Sinx的图象有3个不同的交点
D.函数y=Sinxcosx+sinx+∞sλ,Xe[0,-]的最小值是1
4
【解析】解：
①对于选项A,由函数/W=Zm-+3%-6在（0.+8）为增函数，又/
（1）/
（2）
<0.即函数/（a）=∕∕lv+3a-6的零点只有1个且属于区间（1,2），即A正确，
2对于选项3,关于X的不等式coC+2ax+∖>O恒成立，则1。
“=0时，满足题意，
ZIAt解得：
°V"V1,综上可得:
u∈[0,1）t即〃错误，
4（广一4α3对于选项C,设g（x）=x-sinx,则√（x）=l-cosx≥0>即y=g（x）在R上为增函数，又g（0）=0,即g（x）只有一个零点，即函数>=x的图象与函数V=SinA-的图象有1个不同的交点，即C错误
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