拉格朗日插值法总结.docx

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拉格朗日插值法总结

拉格朗日插值法总结

拉格朗日插值法

2008-05-1216：

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一、问题的背景

在实际问题中常遇到这样的函数y=f（x）,其在某个区间[a,b]上是存在的。

但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f（xi）,（i=0,1,…,n）。

或者f（x）的函数f（x）表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f（x）的特性，又便于计算的简单函数来描述它。

二、插值问题的数学提法：

已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值

yi=f（xi）,（i=0,1,…,n）

求一个简单函数y=P（x）,使其满足：

P（xi）=yi,（i=0,1,…,n）。

即要求该简单函数的曲线要经过y=f（x）上已知的这个n+1个点：

（x0,y0）,（x1,y1）,…,（xn,yn）,

同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：

R（x）=f（x）-P（x）

其中P（x）为f（x）的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P（x）的方法称为插值法。

若P（x）是次数不超过n的代数多项式，就称P（x）为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

若P（x）是分段的多项式，就是分段插值。

若P（x）是三角多项式，就称三角插值。

三、插值方法面临的几个问题

第一个问题：

根据实际问题选择恰当的函数类。

本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：

（1）代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；

（2）根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。

第二个问题：

构造插值函数P（x）,使其满足：

P（xi）=yi,（i=0,1,…,n）与此相关的问题是：

插值问题是否可解（存在性的问题），如果有解,是否唯一?

（唯一性的问题）

第三个问题：

插值误差R（x）=f（x）-P（x）的估计问题。

与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。

第一节拉格朗日插值公式

一.线性插值（一次插值）

已知函数f（x）在区间[xk,xk+1]的端点上的函数值yk=f（xk）,yk+1=f（xk+1）,求一个一次函数y=P1（x）使得yk=f（xk）,yk+1=f（xk+1）,其几何意义是已知平面上两点（xk,yk）,（xk+1,yk+1）,求一条直线过该已知两点。

1.插值函数和插值基函数

由直线的点斜式公式可知：

把此式按照yk和yk+1写成两项：

记

并称它们为一次插值基函数。

该基函数的特点如下表：

从而

P1（x）=yklk（x）+yk+1lk+1（x）

此形式称之为拉格朗日型插值多项式。

其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。

一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.

例1：

已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。

解：

f（x）=lgx,f（10）=1,f（20）=1.3010,设

x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010

则插值基函数为：

于是,拉格朗日型一次插值多项式为：

故：

即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字（精确值lg12=1.0792）.

二.二次插值多项式

已知函数y=f（x）在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f（xk-1）,yk=f（xk）,yk+1=f（xk+1）,求一个次数不超过二次的多项式P2（x）,使其满足,

P2（xk-1）=yk-1,P2（xk）=yk,P2（xk+1）=yk+1.

其几何意义为：

已知平面上的三个点

（xk-1,yk-1）,（xk,yk）,（xk+1,yk+1）,

求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。

1.插值基本多项式

有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：

（1）基本多项式为二次多项式；

（2）它们的函数值满足下表：

因为lk-1（xk）=0,lk-1（xk+1）=0,故有因子（x-xk）（x-xk+1）,而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设

lk-1（x）=a（x-xk）（x-xk+1）,

又因为

lk-1（xk-1）=1==a（xk-1-xk）（xk-1-xk+1）=1

得

从而

同理得

基本二次多项式见右上图（点击按钮"显示Li"）。

2.拉格朗日型二次插值多项式

由前述,拉格朗日型二次插值多项式：

P2（x）=yk-1lk-1（x）+yklk（x）+yk+1lk+1（x）,P2（x）

是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足：

P2（xi）=yi,（i=k-1,k,k+1）。

例2已知：

xi101520yi=lgxi11.17611.3010

利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。

解：

设x0=10,x1=15,x2=20,则：

故：

所以

7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多项式

已知函数y=f（x）在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为

y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn（x）,使其满足：

Pn（xi）=yi,（i=0,1,…,n）,

即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。

1.插值基函数

过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数

l0（x）,l1（x）,…,ln（X）

每个插值基本多项式li（x）满足：

（1）li（x）是n次多项式；

（2）li（xi）=1,而在其它n个li（xk）=0,（k≠i）。

由于li（xk）=0,（k≠i）,故有因子：

（x-x0）…（x-xi-1）（x-xi+1）…（x-xn）

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。

令：

li（x）=a（x-x0）…（x-xi-1）（x-xi+1）…（x-xn）

由li（xi）=1,可以定出a,进而得到：

2.n次拉格朗日型插值多项式Pn（x）

Pn（x）是n+1个n次插值基本多项式l0（x）,l1（x）,…,ln（X）的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn。

即：

Pn（x）=y0l0（x）+y1l1（x）+…+ynln（x）,

从而Pn（x）是一个次数不超过n的多项式,且满足

Pn（xi）=yi,（i=0,1,2,…,n）.

例3求过点（2,0）,（4,3）,（6,5）,（8,4）,（10,1）的拉格朗日型插值多项式。

解用4次插值多项式对5个点插值。

所以

四、拉格朗日插值多项式的截断误差

我们在[a,b]上用多项式Pn（x）来近似代替函数f（x）,其截断误差记作

Rn（x）=f（x）-Pn（x）

当x在插值结点xi上时Rn（xi）=f（xi）-Pn（xi）=0,下面来估计截断误差：

定理1：

设函数y=f（x）的n阶导数y（n）=f（n）（x）在[a,b]上连续，

y（n+1）=f（n+1）（x）

在（a,b）上存在；插值结点为：

a≤x0x1…xn≤b,

Pn（x）是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x∈[a,b]有：

其中ξ∈（a,b）,ξ依赖于x：

ωn+1（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）

证明：

由插值多项式的要求：

Rn（xi）=f（xi）-Pn（xi）=0，（i=0,1,2,…,n）；

设

Rn（x）=K（x）（x-x0）（x-x1）…（x-xn）=K（x）ωn+1（x）

其中K（x）是待定系数；固定x∈[a,b]且x≠xk，k=0,1,2,…,n；作函数

H（t）=f（t）-Pn（t）-K（x）（t-x0）（t-x1）…（t-xn）

则H（xk）=0，（k=0,1,2,…,n）,且H（x）=f（x）-Pn（x）-Rn（x）=0,所以，

H（t）在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理：

存在ξ∈（a,b）,

使；因Pn（x）是n次多项式，故P（n+1）（ξ）=0,而

ωn+1（t）=（t-x0）（t-x1）…（t-xn）

是首项系数为1的n+1次多项式，故有

于是

H（n+1）（ξ）=f（n+1）（ξ）-（n+1）！

K（x）

得：

所以

设,则：

易知，线性插值的截断误差为：

二次插值的截断误差为：

下面来分析前面两个例子（例1，例2）中计算lg12的截断误差：

在例1中，用lg10和lg20计算lg12,

P1（12）=1.0602,lg12=1.0792e=|1.0792-1.0602|=0.0190；

估计误差：

f（x）=lgx,

当x∈[10,20]时,

在例2中，用lg10,lg15和lg20计算lg12.

P2（12）=1.0766,

e=|1.0792-1.0766|=0.0026

估计误差：

对应的C++程序：

#includeiostreamusingnamespacestd；

doublefunc（doubleX,intk,doublex,intn）；

intmain（）

{

doubleSn=0；

intn；

cout"请输入点的个数n：

"；

cinn；

double*x=（double*）malloc（n*sizeof（double））；

double*y=（double*）malloc（n*sizeof（double））；

doubleX；

inti；

for（i=0；in；i++）

{

cout"请输入x"i+1",y"i+1"：

"endl；

cinx[i]y[i]；

}

cout"请输入x"；

cinX；

for（i=0；in；i++）

{

Sn=Sn+func（X,i,x,n）*y[i]；

}

cout"通过拉格朗日插值公式所得的结果：

""当x="X"时，y="Snendl；

return0；

}

doublefunc（doubleX,intk,doublex,intn）

{

inti；

doublePn=1；

doublep；

for（i=0；in；i++）

{

if（i==k）continue；

elsep=（X-x[i]）/（x[k]-x[i]）；

Pn=Pn*p；

}

returnPn；

}