B题中南大学王小捷 陈典银 郑强.docx
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B题中南大学王小捷陈典银郑强
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：
B题：
DVD的在线租赁
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
中南大学
参赛队员（打印并签名）：
1.王小捷
2.陈典银
3.郑强
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
张鸿雁
日期：
2005年9月19日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
DVD在线租赁模型
摘要
本文针对DVD的在线租赁服务问题，建立了DVD的需求预测、购买和分配的多种模型。
针对第一个问题建立了一个概率模型。
我们从一张DVD被租赁的期望次数去考虑问题，从而避开了从会员租碟去考虑而要分多种情况复杂境地。
首先从理想情况出发，建立初步模型
，然后考虑到普遍性，给出了问题更符合实际的模型
及求解（见表5、6），得出应该至少准备6250张DVD1，才能保证希望看到DVD1的会员中至少50%在一个月内能够看到该碟；要保证在三个月内至少95%的会员能够看到DVD1，则需要至少准备3958张。
对于第二问，我们首先对数据进行了分析和预处理，推断出对于无论哪种分配方案，网站提供的DVD数是不能满足全部订购会员三张DVD的要求的。
接着，本文定义了个体满意程度
如下：
在个体满意程度定义下，给出了群体满意程度的定义。
基于群体满意程度，引入了数据结构中稀疏矩阵的行优先存储方法先建立了一个0-1规划模型
，然后采用贪心算法的思想建立起一个贪心算法模型，求出并列出前30位会员得到的DVD的种类和对应会员的偏爱程度（见表7）。
最后，对求解的结果进行分析，求出群体满意度为
。
在第三个问题的解决过程中，我们避开前两问另辟蹊径，认为一旦会员租赁到他的在线订单中的三种DVD，会员就得到了他想看的DVD。
为了使会员的满意度达到最大，我们让对一种DVD满意度为1或2或3的会员都得到满足，这样会员得到的三张DVD就是自己偏爱度为1、2、3的三张。
基于此再计算出每种DVD的购买数量（见表8）。
在问题四中，考虑到不同的年龄阶段对不同类型的DVD的需求差异一般比较大，所以提出了会员年龄分组问题，经过分析，给出了一种抽样准则，基于这个准则和简单随机抽样性质，建立了一个新的预测模型。
此外，还提出了A类和B类会员租赁DVD天数的问题，分析了会员租赁天数对群体满意度的影响，。
在模型改进里，我们把会员租赁DVD的周期设为10天或20天，让会员下订单和网站经营人员分配DVD都有较多的支配时间。
而且考虑那些在分配时分到一张或两张DVD的没有分发出去的不成功的DVD分配，再重新进行一次根据偏爱程度进行分配。
这样可以有效的提高会员的满意度。
该模型的特点是简单有效，思路清晰，基本能够解决题中的几个问题，但不足之处是模型假设有些理想化，而且缺少对结果验证，这些都有待改进。
1．问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD的在线租赁就是其中一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
我们需要考虑如下问题：
1）网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD应该至少准备多少张？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
并具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
从网站经营管理人员角度出发，应该如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）从网站经营管理人员角度出发，考虑并分析在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
并提出问题，尝试建立相应的数学模型。
2．模型假设
1．对1000个会员的调查结果是准确的且具有代表性，能够准确反映10万个会员的租赁愿望；
2．网站管理人员完全根据当前的会员在线订单决定每种DVD的购买量，不考虑未来租赁市场的可能变化以及其他因素对管理者决策的影响；
3．单个会员对网站的满意度仅与会员对网站租赁给会员的DVD的偏爱程度有关。
4．一个会员不会在一次订单中租相同的DVD；
5．每月月初会员发定单订购当月的DVD，由网站统一邮寄给客户，在网站第二次统一邮寄前已归还租赁DVD的会员可第二次订购当月的DVD，网站第二次统一邮寄给客户。
6．会员在当月租赁的DVD都能在下个月网站发货前成功归还；
3．符号说明
：
第i种新购买的DVD数目，i=1……5；
：
网站提供的第j种DVD的总量；j=1……100；
：
第i种DVD观众愿意观看的人数，i=1……5；
：
一张新购买DVD在一个月内被租赁出去的期望次数；
：
一张新购买DVD在三个月内被租赁出去的期望次数；
：
单个个体的满意度；i=1……1000；
：
总体的平均满意度；
：
会员用数字量化的对DVD偏爱程度；i=1，2，3；
：
表示允许的最大误差，即偏爱程度最低（8、9、10）的三张DVD与分配到偏爱程度最大（1、2、3）的三张DVD时的最大偏爱程度差值；
：
第i个会员第k次租赁的满意度，i=1……1000，k=1、2；
：
的权重，k=1、2；
：
第i个年龄区间；
：
第i个年龄区间占全体会员的比例；
：
某网站的会员总数。
4．模型的建立和求解
4．1问题一
4．1．1问题一分析
通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这5种DVD的人数见表1：
表1对1000个会员调查的部分结果：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
根据随机抽样的统计性质，随机样本反映了总体的特性，我们可以估计得到10万个会员的结果如表2：
表210万个会员的估计结果：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
20000
10000
5000
2500
1000
对于客户和网站的订购与经营，基于上面的假设，我们可以做如下推断：
在每月月初客户发定单订购当月的DVD，网站统一邮寄给客户，在第二次订购结束前归还已订DVD成功的客户可以参与第二次订购，网站再次统一把DVD邮寄给客户，也就是说，如果第一次订的DVD没在第二次定货结束前归还成功，网站就不予办理本月的第二次订货，这就出现了40%的会员一个月只租赁DVD一次，除此之外，网站有有效的措施使每位客户在当月末归还所有租赁的DVD。
根据题意，每个会员每次租赁可获得3张DVD，这里的三张可以是上面5种新购DVD中的1种、2种、3种或是没有，这样就必须对这4种情况分别讨论，从而把问题引进了一个很复杂的境地。
但是，我们转换一个角度思考问题，不是从每个会员的租赁DVD的分情况考虑，而是从上面5种新购买DVD的每一张被租赁次数去考虑，即考虑每张新DVD在每个月被租出去的次数，就可以使问题大大简化。
4．1．2模型建立和求解
历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，记为A类会员；而另外的40%每月只租一次，记为B类会员。
愿意观看各种新购DVD的会员也理当由A类会员和B类会员组成，且它们的比例为3：
2（60%：
40%），当满足的50%希望看到该新购DVD的会员在一个月内能够看到该DVD全是A类会员时，即新DVD能在当月第二次订货前归还，那么这张新DVD可以在本月再次被网站租赁出去，这样每张新购DVD在一个月内被租赁出去的次数为2，这样就可以保证用最少的DVD数量来达到50%希望看到该DVD的会员在一个月内能够看到该DVD，此时最少DVD数M1i=
，具体的解如下表：
表35种DVD购买数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买数量
5000
2500
1250
625
250
同理可得出要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD最理想的情况是租赁该DVD的95%会员是由A类会员60%和B类会员35%组成的，DVD租给A类会员的在三个月内可以被租出6次，而租给B类会员三个月内只能被租出3次，所以该种DVD的数量M2i与愿意观看该种DVD的人数Ni满足下面关系：
具体的解如下表：
表45种DVD购买数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买数量
3728
1864
932
466
188
但是，上述情况只是最理想的状况，发生的概率非常小。
每张新购买DVD如果在本月第二次订货前归还，则可被租赁两次，而在本月第二次订货前归还的客户都是A类客户，A类客户所占的比率为60%，所以该种新DVD碟的被租赁两次的概率
是60%，那么DVD被租赁一次的概率
就是40%。
这样，一张DVD在一个月内各被租赁出去的期望次数为：
a）保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD
建立目标函数：
约束条件：
1）新购买的该种DVD碟的被租出的期望次数要大于愿意观看该碟的人数的50%
………………约束1
2）保证DVD的数目非负
………………约束2
3）DVD的数目为整数
为整数………………约束3
建立模型如下：
（
）S．t．
求解模型（
）得出5种DVD的具体购买数量如下表5：
表55种DVD购买数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买数量
6250
3125
1563
782
391
b）要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD
此时，一张DVD在三个月内被租赁出去的期望次数为：
建立目标函数：
约束条件：
1）三个月中碟被租出的期望次数要大于愿意观看该碟的人数的95%
………………约束1
2）保证DVD的数目非负
………………约束2
3）DVD的数目为整数
为整数………………约束3
建立模型如下：
（
）S．t．
模型（
）求解得出5种DVD的具体购买数量如下表6：
表65种DVD购买数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买数量
3958
1979
985
493
247
4．2问题二
4．2．1数据分析和预处理
分析题中给出的数据，表格中每一行为一个会员的一个在线订单，每一列为DVD的种类，1—10的数字表示会员对某种DVD的偏爱程度，数字越小，表示会员对某种DVD的偏爱程度越高，数字0表示该会员对应的DVD不感兴趣，该DVD不在订单中。
进一步分析，我们利用Excel的统计、排序和查找功能，发现所有会员的订单中非零数组合由三部分组成：
（1）209个会员选择了八种DVD并根据偏爱程度进行了排序；
（2）209个会员选择了九种DVD并根据偏爱程度进行了排序；（3）582个会员选择了十种DVD并根据偏爱程度进行了排序。
我们又对每一种DVD的数量和对该种DVD偏爱程度为1的会员人数总和进行了统计比较发现，并非所有种类的现有DVD数量都能满足对该种DVD偏爱程度为1的会员人数总和的要求，共有14种DVD不能满足此要求。
这就要求我们要对14种DVD偏爱程度为1而没有分配到该DVD的会员在进行偏爱程度为2的DVD分配时优先考虑。
在计算过程中我们还发现，第37列的DVD数量为106张，而对D037有偏爱的顾客有91人，因此，D037要剩余15张，而1000个人每人分到三张DVD，总量为3000，网站现有DVD3007张，去除15张后，就不足1000人的需求，因此，不管是那种分配方案都一定有人在此次的分配中得不到自己订单中的三张DVD。
此外，在对会员的C0001~C1000和DVD的D000~D100的编号中，我们发现这些编号有错误，他们并不是按升序排列的，也不是互不相同的，况且会员不会在订货同一时间段里发两次订单。
4．2．2满意度的定义
因为会员对某种DVD的偏爱程度都用1-10的数字量化了，数字越小，表示会员对该种DVD的偏爱程度越高，所以我们定义了如下的个体满意度函数[3]：
定义没有分配到3张DVD的会员的
。
这里
为会员所得到的自己订单中的三张DVD的量化的偏爱程度；
为会员最理想的三张DVD的偏爱程度，
为偏爱程度最低的三张DVD，
表示允许的最大误差，即偏爱程度最低的三张DVD与分配到偏爱程度最高的三张DVD的最大偏爱程度差值。
我们量化这个差值，即三张DVD偏爱程度之和的差值，所以有
，根据此满意度定义，
为（1，2，3）时，该会员的满意度为最大
，
为（8，9，10）时，该会员的满意度为最小
根据个体满意度函数定义，我们又定义了如下群体满意度函数：
4．2．3模型建立和求解
4．2．3．10-1规划模型
1000个会员的在线订单可以看成是一个1000行100列的稀疏矩阵，里面有大量的零，表示会员没有订购该种DVD，但我们只对里面的非零项（共9373项）感兴趣，我们是要把群体满意度最大作为目标函数，而每一个非零项都是我们的决策变量，我们要决策每一个非零项所对应的DVD是买还是不买，所以它是一个0，1变量，问题也转变成一个0-1规划模型。
在这里引入数据结构里稀疏矩阵的按行优先储存方式，只记录下非零项的信息，把它储存在一个9373行3列的矩阵B里，B的第一列是按行的顺序依次存储非零项在订单矩阵的所在的行，第二列是存储该非零项在订单矩阵的所在的列，第三列是存储它在订单矩阵中的值，即它的偏爱程度。
分析订单，还可以得到订单矩阵中每一行的非零项在矩阵B的位置，在这里记为temp（i）。
基于上，就能建立一个0-1规划模型
目标函数：
约束条件：
1．设对应B矩阵一行的0-1变量为
，i=1,2….9372，每个会员的租碟总数不超过3，第i个会员在矩阵B里的顺序是从temp（i）行到temp（i+1）-1行：
2．设
为网站提供的第j种DVD的总量，所有会员租赁同一种DVD的总量不超过网站提供的该种DVD的总量；
3．9373个决策标量的0-1约束。
建立了一个0-1规划模型：
（
）s．t．
但是发现目标函数很难用线形的表达式表达出来，而且过多变量都极大的影响的模型的求解可行性。
针对该问题，采用了一个简易的贪心算法建立了一个DVD分配模型，来寻找分配的局部最优解。
4．2．3．2贪心算法模型
对于当前1000位会员的在线订单中，有582个会员选择了十种DVD并根据偏爱程度进行了排序，为了让在DVD进行分配时会员的满意度最大，我们可以采取分十步走的策略。
即：
在每位会员满足分到三张DVD的前提下，所有种类的DVD首先满足对其偏爱程度最高的会员，即：
首先满足对其偏爱程度为1的会员，因为当前状态下，这种选择是局部最好的选择，如果该种DVD在满足偏爱程度为1的会员后有剩余则再满足偏爱程度为2的会员，如此依次类推，直至该种DVD被全部分配出去。
这种分配只依赖于前面做出的选择，但决不依赖于将来所做出的选择[2]。
如果该种DVD数量或被分配后剩余的该种DVD在分配中不能满足同一偏爱程度的人数的要求，则根据会员的在线定单中的编号按顺序分配。
但是考虑到对于相同偏爱程度下没有分配到DVD的会员，需要对贪心算法做一些改进，在对其紧接下来的较高偏爱程度的DVD分配时给予优先考虑这部分会员（具体程序见附录一）。
基于上面思想，我们得出了1000个会员中订单被满足的人数为792人次，还得出了订单被满足的会员所分配到的偏爱的DVD的编号以及对该种DVD的偏爱度。
下表是前30个会员分配到的DVD种类及对该种DVD的偏爱程度：
表7前30个会员的分配方案
会员编号
DVD种类及相应偏爱度
DVD种类及相应偏爱度
DVD种类及相应偏爱度
C0001
8
1
82
2
98
3
C0002
6
1
44
2
0
C0003
80
1
50
2
4
3
C0004
7
1
18
2
41
3
C0005
66
1
68
2
11
3
C0006
19
1
53
2
16
3
C0007
81
1
8
2
26
3
C0008
71
1
0
0
C0009
53
1
100
2
78
3
C0010
60
1
55
2
85
3
C0011
59
1
63
2
19
3
C0012
31
1
2
2
7
3
C0013
96
1
78
2
21
3
C0014
52
1
23
2
89
6
C0015
13
1
85
3
66
9
C0016
84
1
97
2
55
9
C0017
67
1
47
2
51
3
C0018
41
1
60
2
78
3
C0019
84
1
86
2
66
3
C0020
45
1
89
2
61
3
C0021
53
1
45
2
2
4
C0022
57
1
55
2
38
3
C0023
95
1
29
2
81
3
C0024
76
1
41
2
37
4
C0025
9
1
69
2
81
3
C0026
22
1
68
2
95
3
C0027
58
1
22
3
50
4
C0028
8
1
34
2
0
C0029
55
1
30
2
44
3
C0030
62
1
37
2
98
5
得出了1000个会员中订单被满足的人数和订单被满足的会员所分配到的偏爱的DVD的编号以及对该种DVD的偏爱度后，利用我们定义的个体满意度函数求出每个
（程序见附录），进而根据我们的分配方案求出所有会员的群体满意度
=0.7521，这个满意度还是比较满意的，他能够满足792人的3张碟的要求，如表7中所示，表格中DVD种类为0的就说明不能满足三张碟，上面我们已经分析过了，这种情况一定会发生，这样的会员网站都不予以发货。
4．3问题三
4．3．1模型分析与建立
对于问题三，我们还需要做如下说明：
一个月内要租赁两次的会员得到DVD后可在随后的1~15天的任何一天归还；一个月内要租赁一次的会员得到DVD后可在随后的1~30天的任何一天归还。
网站对于第二次收到的订单，再从已经返还的DVD中根据客户的偏爱度进行分配，其中我们约定了A类会员和B类会员租赁DVD的天数为一个区间的均匀分布。
我们认为一旦会员租赁到他的在线订单中的三种DVD，会员就得到了他想看的DVD。
如果会员想要租赁两次DVD，而网站只能满足他一次的需求，他的满意度将降低。
假设会员的第一次租赁都要在每个月的第一天满足，为了满足95%的会员对DVD的需求，网站至少应购买
张DVD。
考虑使单个会员的满意度最大，网站应租赁给他偏爱程度为1、2和3的DVD。
如果网站购买DVD，使得在第一次租赁中95％的会员每个会员的满意度都达到最大，那么在第一次租赁中95％的会员对网站的满意度就达到了100％。
这样对于每一种DVD，如果网站购买的量仅仅用来而且刚好满足前950个会员（也可以是其他的任意950个会员）中对该种DVD偏爱程度为1、2或3的会员，那么网站就使一个月内95％的会员得到了他想看的DVD，且满意度最大。
综合以上两点，网站购买2850张DVD，就既能使购买量最小，又能使第一次租赁中95%会员的满意度最大。
网站管理人员决定每种DVD购买量
的方法是：
表示对该种DVD的偏爱程度为i的会员总数
在得到DVD购买量的前提下，我们考虑使需要租赁第二次的会员满意度最大。
前面我们定义的单个会员的满意度函数只代表了一次租赁的满意度，租赁二次的满意度
定义为
其中
由于会员希望尽快看到DVD，因此第一次租赁满意度的重要性应大于第二次，
应大于0.5。
这里我们取
为0.75。
4．3．2模型求解
具体的求解流程见下图：
我们再次利用贪心算法的原理（见附录二），让每步的选择是当前最优的选择的情况下，得出100种DVD的购买量如下表：
表8100种DVD的购买量
D001
D002
D003
D004
D005
D006
D007
D008
D009
D010
20
34
26
36
19
27
29
33
34
23
D011
D012
D013
D014
D015
D016
D017
D018
D019
D020
27
29
27
29
25
37
28
24
26
37
D021
D022
D023
D024
D025
D026
D027
D028
D029
D030
32
29
35
21
28
28
22
18
25
40
D031
D032
D033
D034
D035
D036
D037
D038
D039
D040
29
33
30
28
34
33
21
27
26
27
D041
D042
D043
D044
D045
D046
D047
D048
D049
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