（co）|x|xR（c0）
2利用不等式的性质去掉绝对值符号
4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：
若数X」X2
分别使含有|x-X1|，|x-X2|，……'|x
中相应绝对值为零，称X2Xn为相应绝对值
的零点，零点X」X2，……，Xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符
号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝
对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于
|xa||xb|m或xa||xb|m（m为正常数）类型不等式。
对|axb|
|cxd|m（或Vm）'当|a工c||时一般不用°
、如何化简绝对值
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题5确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。
（-）、根据题设条件
例1:
设化简的结果是（）
A）（B）（C）（D）
_2_x
思路分析：
由可知可化去第一层
绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去•
解：
・•・应选（B）•
归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路•
二）、借助数轴
例2：
实数a、b、在数轴上的位置如图所示，
c则代数式的值等于（）・
B）C）
D）
思路分析由数轴上容易看出
，这就为去掉绝对值符号
扫清了障碍•
解：
原式
.•・应选（C）•
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1-零点的左边都是负数，右边都是正数•
2•右边点表示的数总大于左边点表示的数•
3•离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了•
三）、采用零点分段讨论法
例3:
化简
思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况讨论・
解：
令得零点：
；令得零点：
把数轴上的数分为三个部分（如图）
1当时，
/.原式
2当时，，
••・原式
3当时，，
/.原式
归纳点评：
虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：
1•求零点：
分别令各绝对值符号内的代数式为零5求出零点（不一定是两个）•
2•分段：
根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定•
3•在各区段内分别考察问题•
4•将各区段内的情形综合起来，得到问题的答
案•
误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或
无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果•
三、带绝对值符号的运算
在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？
因为
这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？
我认为应从以下几个方面着手：
（一）、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身
是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对
值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为，以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
（三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如丨a|的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，丨a丨=a（性质1:
正数的绝
对值是它本身）
值是0）；
（性质3:
负数的绝
当a<0时；Ia|=-a
对值是它的相反数）。
2、对于形如丨a+b|的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，|a+b|=（a+b）=a+b（性质
1:
正数的绝对值是它本身）；
当a+b=0时，|a+b|=（a+b）=0（性质
2：
0的绝对值是0）；
当a+b<0时，|a+b|=-（a+b）=-a-b（性质3:
负数的绝对值是它的相反数）3、对于形如丨a-b|的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为丨大■小丨=I小■大
I=大■小，所以当a>b时，Ia-b
=（a-b）=a-b|b-aI=（a-b）=a-b。
口诀：
无论是大减小，还是小减大,去掉绝对值,都是大减小O
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如丨a-b
的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论
正负），便可得到丨a-b|=（a-b）=a-b，|b-a
=（a-b）=a-b5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运
万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一
个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小
于0的整体前面加负号。
四、去绝对值化简专题练习
（1）设化简的结果是（B）。
（A）（B）（C）（D）
（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则
代数式的值等于（C）。
A）B）（C）D）
已知，化简的结果是
（3）x-8°
（4）
已知，化简的结果是
-x+8。
（5）已知，化简的结果是-3x。
（6）已知a、
b、c、d满足且
那么a+b+c+d=0（提示：
可借
助数轴完成）
（7）若，则有（A）。
（A）（B）（C）（D）
（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则
式子化简结果为
（A）（B）（C）（D）
（9）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，中负数的个数是
（A）0（B）1（C）2（D）3
（10）化简=
（1）-3x（x<-4）
（2）-x+8（-42）
（11）设x是实数，下列四个结论中正确的是（D）
（A）y没有最小值
（B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个x使y取得最小值D）有无穷多个x使y取得最小值
五、绝对值培优教案
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习
相反数、有理数运算及后续二次根式的基础•绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组）、解不等（组）、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：
a（a0）
I•绝对值的代数意义：
a0（a0）
a（a0）
2•绝对值的几何意义从数轴上看，
a表示数a的点
到原
点的
距离
度，
非负）
ab表示数a、数b的两点间的距离•
3•绝对值基本性质
①'非负性：
aO；②abab；③0）；④a2a2a2bb
培优讲解
（-）、绝对值的非负性问题
【例1】若x3y1z50，则xyz。
总结：
若干非负数之和为
0，°
（二）、绝对值中的整体思想
【例2】已知a5,b4'且abba'那么
ab=
变式1•若|m—1|=m—1，贝【」m
1|>m—1‘则m1;
（三）、绝对值相尖化简问题（零点分段法）
【例3］阅读下列材料并解决有矢问题：
xx0
我们知道XOXO，现在我们可以用这一个结论
xx0
来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
称他分别为"与X2的零点值）。
在有理数范
围内，零点值"和X2可将全体有理数分成不重
复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当^时，原式=
x1x22x1；
（2）当1x2时5原式=x1x23；（3）当x2
时，原式=X1x22x1°
2x1x1
综上讨论，原式31x2
2x1x2
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（D分别求出X2和x4的零点值；2）化简代
数式x2x4
变式1•化简
（1）2x1；
（2）x1x3；
变式2已知x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为
b'求ab的值°
（4）、ab表示数轴上表示数八数b的两点间的距
离°
【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5，2与6，4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么矢系吗？
答：
—.
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的
数为一1，则A与B两点间的距离
可以表示为
（3）结合数轴求得X2X3的最小值为，取得
最小值时x的取值范围为•
（4）满足X1x43的x的取值范围为
（5）若x1x2X3LX2008的值为常数5试求x的取值范围•
（五）、绝对值的最值问题
【例5】
（1）当x取何值时，x3有最小值？
这个最小值是多少？
（2）当x取何值时，5x2有最大值？
这个最大值是多少？
（3）求x4x5的最小值。
（4）求x7x8x9的最小值。
【例6】•已知x1,y15设Mxyy12yx4，求M的最大值
与最小值•
课后练习：
1宀与的）2互为相反数，求3a2b1的值。
2•若“与（ab“
互为相反数，则a与b的大小尖系是（）•
D-ab3•已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理
数a,1,一|,那么“表示（）-
A•A、B两点的距离B•A、C两点的距离
C•A、B两点到原点的距离之和D•A、
C两点到原点的距离之和4•利用数轴分析心，可以看出，这个式子表示的是X到2的距离与X到3的距离之
和，它表示两时，发现，这两条线段
条线段相加：
⑴当
的和随X的增大而越来越大；⑵当
X时，发
现，这两条线段的和随X的减小而越来越大；⑶当
，时，发现，无论X在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值5且比⑴、⑵情况下的值都小。
因此5
总结，"有最小值，即等于到的距离
5.利用数轴分析“，这个式子表示的是X到
7的距离与％到1的距离之差它表示两条线段相
减：
⑴当，时，发现，无论％取何值，这个差值是一个定值；⑵当*时，发现，
无论％取何值，这个差值是一个定值；
⑶当X时，随着X增大，这个差值渐
渐由负变正5在中点处是零。
因此，总结，式子心当X时，
有最大值；当％时，有最小值；
ca
9•i殳abc0，abc0，贝[]
A--3B-1
D--3或110•若x
2，则小a1
a2
的值是（）•
C-3或
；若，，，则
12•设「b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,并且abc，则ab⑴可能取得的最
大值是
4、当b为时，5…有最大值5最大值是
当a为__时，1+|a+3|有最小值是
；当b为
时，|2+b|有最大值是
5♦当a为时，3+|2a—1|有最小值是
且a、b满足|2a—4|+b=1
2♦已知b为正整数，
求a、b的值。
X3;12l2X1
7•化简:
（1）xi
x3
4、如果2x+|4-5x|+|1-3x|+4恒为常数，求x
的取值范围。
7•冲2|7，求X的取值范围°
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