第一轮复习自己绝对经典排列组合第一轮.docx
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第一轮复习自己绝对经典排列组合第一轮
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第一轮复习自己绝对经典排列组合第一轮
排列组合常见题型总结（2015版）
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
【知识要点】
一、分类加法原理与分布乘法计数原理
1．加法原理：
完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2．乘法原理：
完成一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
二、排列与组合
1．排列与排列数：
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用
表示，
=n（n-1）…（n-m+1）=
其中m,n∈N,m≤n,注：
一般地
=1，0！
=1，
=n!
。
2．组合与组合数：
一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用
表示：
规定：
组合数的基本性质：
（1）
；
（2）
；
一、可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：
一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
【例1】
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法
【解析】：
（1）
（2）
（3）
【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法
【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）
A、
B、
C、
D、
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例4】
五人并排站成一排，如果
必须相邻且
在
的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：
把
视为一人，且
固定在
的右边，则本题相当于4人的全排列，
种
【例5】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生必须相邻，则不同排法的种数是
真题：
【2014嘉兴二模】甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数（ ）
A．
18
B．
24
C．
36
D．
48
三．相离问题插空法：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例6】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】除甲乙外，其余5个排列数为
种，再用甲乙去插6个空位有
种，不同的排法种数是
种
【例7】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法
【解析】：
【例8】高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【例9】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
【例10】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.
【例11】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种
真题：
【2014四川模拟】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．
12
B．
18
C．
24
D．
48
【2014张掖模拟】现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ）
A．
20
B．
40
C．
60
D．
80
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例12】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A.36种B.12种C.18种D.48种
【例13】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种
【例14】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种
真题：
【2015高考广东，理12】某高三毕业班有
人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）
【2014四川】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A．
192种
B．
216种
C．
240种
D．
288种
五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例15】
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法
六．定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例16】
五人并排站成一排，如果
必须站在
的右边（
可以不相邻）那么不同的排法种数是（）
【解析】：
在
的右边与
在
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
种
【例17】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法
【例18】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法
【2014金华模拟】已知集合A={1，2，3，4，5，6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有（ ）
A．
4
B．
10
C．
15
D．
20
七．标号排位问题（配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例19】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种B、9种C、11种D、23种
【解析】：
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选
.
【例20】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种答案：
B
【例21】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
【解析】：
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
种分配方式。
故选（B）
真题：
【2014巴州区模拟】将A、B、C、D、E五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A、B被放在相邻抽屉内且文件C、D被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（ ）
A．
240
B．
480
C．
840
D．
960
【2015届佛山市】将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为.
八．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：
注意平均分堆的算法
【例22】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5）分给5人每人至少1本。
【例23】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种
【例24】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）
（A）150种（B）180种（C）200种（D）280种
【例25】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）
A．70B．140C．280D．840
【例26】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）30 （B）90（C）180 （D）270
【例27】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）
A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
【例28】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种
真题：
【2014宜宾一模】已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（ ）
A．
30种
B．
60种
C．
90种
D．
120种
【2014广西】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．
60种
B．
70种
C．
75种
D．
150种
【2014蓟县一模】从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）
A．
42
B．
30
C．
72
D．
60
【2014唐山二模】将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）
A．
240种
B．
120种
C．
60种
D．
180种
九．相同元素的分配问题隔板法：
【例29】：
把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法
【解析】：
向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
种。
【例30】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案
【解析】：
10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为
种.
变式1：
7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有
变式2：
马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种
【例31】：
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种
【解析】：
1、先从4个盒子中选三个放置小球有
种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。
各有
、
、
种方法。
3、由分步计数原理可得
=720种
十．数字排数问题（注意数字“0”）
【例33】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
A、210种B、300种C、464种D、600种
【例34】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数。
（1）能组成多少个六位数
（2）能组成多少个六位奇数
（3）能组成多少个被5整除的六位数（4）能组成多少个比240135大的数
真题：
【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个
【2014黄冈模拟】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（ ）
A．
36
B．
48
C．
72
D．
120
【2014漳州模拟】用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．
432
B．
288
C．
216
D．
144
【2014达州一模】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（ ）
A．
1120
B．
48
C．
24
D．
12
【2015届深圳市】从
，
，
，
，
，
这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有
A．
个B．
个C．
个D．
个
5（2015届湛江市）已知全集
，在
中任取四个元素组成的集合记为
，余下的四个元素组成的集合记为
，
，则集合
的取法共有____________种．
十一．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
【例35】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种
【解析】不分条件有
种，全是甲
种，全是乙
种，共有
-
-
=70种
真题：
【2015高考上海，理8】在报名的
名男教师和
名女教师中，选取
人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．
【2014邢台二模】身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．
48种
B．
72种
C．
78种
D．
84种
解：
由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果．
去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况
∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48
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