度人教B版高中数学选修23教学案第二课时 基本计数原理的应用Word.docx
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度人教B版高中数学选修23教学案第二课时基本计数原理的应用Word
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案-第二课时基本计数原理的应用（Word）
组数问题
[例1]
（1）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数，则三位数的个数为
（ ）
A．120 B．80
C．90D．100
（2）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．（用数字作答）
[思路点拨]
（1）分三步，即分百位、十位、个位；
（2）此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解．
[精解详析]
（1）分三步：
第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．
（2）若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．
[答案]
（1）D
（2）14
[一点通]
对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数．
1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12
C．10D．5
解析：
分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．
答案：
D
2．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中，且能被5整除的数共有________个．
解析：
能被5整除的数个位为5或0，若个位为0，千位有5种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有5×4×3＝60个；若个位为5，千位有4种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有4×4×3＝48个．故能被5整除的且没有重复数字的四位数共有60＋48＝108个．
答案：
108
种植与涂色问题
[例2] 如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
[思路点拨] 从“三”或“计”区域开始涂色，分四步完成．
[精解详析] 三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．
第一步，涂三区域，有3种选择；
第二步，涂维区域，有2种选择；
第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；
第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种．
[一点通]
涂色（种植）问题的一般思路：
①为便于分析问题，先给区域（种植品种）标上相应序号；②按涂色（种植）的顺序分步或按颜色（种植品种）恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．
3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（ ）
A．24种B．18种
C．12种D．6种
解析：
法一：
（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：
（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
答案：
B
操
场
宿舍区
餐
厅
教学区
4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方法．
解析：
法一：
操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．
法二：
分两类：
第一类，操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
答案：
480
两个计数原理的综合应用
[例3] （10分）有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
（3）若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
[思路点拨] 第
（1）问属于分类问题，用分类加法计数原理；第
（2）问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第（3）问是综合类问题，需先分类再分步．
[精解详析]
（1）有三类：
3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
（2）分三步：
第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
（3）可分两类，每一类又分两步．
第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[一点通]
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．
5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有（ ）
A．9种B．18种
C．23种D．24种
解析：
依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b，c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列出如下：
b
a
d
c
b
c
d
a
b
d
a
c
共3种不同的排法．
同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种．
答案：
A
6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
解：
每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
1．使用两个原理解题的本质：
→→
→→
2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法：
1．由0,1,2三个数字组成的三位数（允许数字重复）的个数为（ ）
A．27 B．18
C．12D．6
解析：
分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．
答案：
B
2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种B．5种
C．6种D．12种
解析：
若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
答案：
C
3．某市汽车牌照号码（由4个数字和1个字母组成）可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复）．某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有（ ）
A．180种B．360种
C．720种D．960种
解析：
分五步完成，第i步取第i个号码（i＝1,2,3,4,5）．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
答案：
D
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（ ）
A．40B．16
C．13D．10
解析：
分两类：
第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
答案：
C
5．如图，从A→C有________种不同的走法．
解析：
分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．
答案：
6
6．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种．（用数字作答）
解析：
分两步：
第一步，先选垄，如图，共有6种选法.
第二步，种植A，B两种作物，有2种选法．
因此，由分步乘法计数原理知，不同的选垄种植方法有6×2＝12种．
答案：
12
7．由数字1,2,3,4.
（1）可组成多少个三位数？
（2）可组成多少个没有重复数字的三位数？
（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？
解：
（1）百位数字共有4种选法；十位数字共有4种选法；个位数字共有4种选法．根据分步乘法计数原理，共可组成43＝64个三位数．
（2）百位数字共有4种选法；十位数字共有3种选法；个位数字共有2种选法．由分步乘法计数原理知，共可组成4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
（3）组成的三位数分别是432,431,421,321，共4个.
8．把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问
（1）有多少种不同的涂法？
（2）若分割成4个扇形呢？
解：
（1）不同的涂色方法是5×4×3＝60种．
（2）如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类：
第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法．由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法．
第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3种涂法．由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
_1.2排列与组合
1．2.1 排 列
排列的定义
1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．
问题1：
男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：
不是．
问题2：
有几种排法？
提示：
2种，男—师—女，女—师—男．
2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
问题3：
安排这项活动需分几步？
分别是什么？
提示：
分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．
问题4：
有几种排法？
提示：
上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．
问题5：
甲乙和乙甲是相同的排法吗？
提示：
不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．
1．一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
排列数及排列数公式
两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
问题1：
从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
提示：
4×3＝12个．
问题2：
从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
提示：
4×3×2＝24个．
问题3：
从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，共有多少种不同的排法？
提示：
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）种．
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A
表示
排列数公式
A
＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
阶乘式A
＝
（n，m∈N＋，m≤n）
特殊情况
A
＝n！
，A
＝1,0！
＝1
1．对于排列定义的理解：
（1）排列的定义包括两个方面：
一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．
（2）两个排列相同的条件：
①元素相同；②元素的排列顺序相同．
2．排列与排列数的区别：
“排列”是指从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，而是具体的一件事．
“排列数”是指从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数．
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