计算方法与实习第五版期末复习资料.docx
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计算方法与实习第五版期末复习资料
计算方法与实习（第五版）期末复习资料
LT
第三章方程组求解
1.消去法：
高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，
消元因子
消元公式
回代公式
2.矩阵直接分解：
紧凑格式
3.追赶法
4.迭代法：
收敛条件
①雅可比法迭代格式：
②高斯-赛德尔法迭代格式：
第四章插值法
1.插值多项式
2.拉格朗日插值：
插值基函数
3.差商：
4.牛顿插值公式
f（x）=f（x0）+f[x0,x1]（x-x0）+f[x0,x1,x2]（x-x0）（x-x1）+…
+f[x0,x1,…,xn]（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）
5.差分（等间距节点）
6.牛顿前插公式
7.样条插值：
三次样条插值，要求光滑、连续
第五章曲线拟合
最小二乘原理
列表计算累加和如下
j
…
…
1
2
…
n
从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值ai（i=0,1,…,m）。
第六章数值积分、微分
1.积分的有限过程
a）插值型求积公式
用插值多项式代替被积函数，
从而在有两个求积节点时得到梯形公式
有三个等距求积节点时得到Simpson公式
2.柯特斯公式（等距节点情况）：
①柯特斯系数
②柯特斯求积公式（有五个等距求积节点时）
3.复化求积
①复化梯形公式
②复化Simpson公式
③复化柯特斯公式
4.步长自适应
5.龙贝格求积公式
6.数值微分
①二点公式
②三点公式
第七章常微分方程的数值解法
1.边值问题和初值问题
①边值问题
②初值问题
求解满足上述两式的近似值yi，即在a≤x0≤x1≤…≤xn≤b上的y（xi）的近似值yi（i=0,1,2,…,n）。
通常取等距节点，即h=xi+1-xi，有xi=x0+ih（i=0,1,2,…,n）。
初值问题的数值解法特点：
按节点顺序依次推进，由已知的y0,y1,…,yi，求出yi+1，这可以通过递推公式得到。
2.单步法
①欧拉折线法
②改进欧拉法
③四阶龙格-库塔法
3.多步法：
阿当姆斯内插、外推预测校正公式
4.一阶微分方程组求解
5.高阶微分方程求解
例1.求解超越方程
在区间〔0，1〕内的根，要求有二位有效数字。
解：
设f（x）=
该函数是连续的，且f（0）=1，f
（1）=e-1-1<0,
因f（0）×f
（1）<0，
f’（x）=-e-x-π/2cos（πx/2）＝-（e-x+π/2cos（πx/2））<0〔0，1〕,
单调递减，所以方程在〔0，1〕内只有1个根。
用二分法求解，先求二分次数
要求满足
1/2k+1（1-0）<10-2/2
则解得k后整k=6，用二分法求解过程如下：
kakbkxkf（xk）
0010.5-0.100576
100.50.250.396117
20.250.50.3750.131719
30.3750.50.43750.011255
40.43750.50.46875-0.045775
50.43750.468750.4453125-0.003208
60.43750.44531250.44140625
最后求得根为0.44。
例2.用牛顿迭代法求出f（x）=x41+x3+1＝0在x0＝-1附近的实根，要求迭代至
|xk+1-xk|<0.001时停止。
解：
迭代是否收敛可用f（x0）f’’（x0）>0判断，
f（x0）＝f（-1）＝（-1）41+（-1）3+1＝-1<0
f’（x）=41x40+3x2,f’’（x）=41*40x39+3*2x,
f’’（x0）=41*40*（-1）39+3*2*（-1）<0,
所以f（x0）f’’（x0）>0，迭代是收敛的。
牛顿迭代格式为
，取x0＝-1,计算如下
kxk
0-1
1-0.9773
2-0.9605
3-0.9534
4-0.9525
5-0.9525
方程在x0＝-1附近的实根为-0.9525。
例3.用高斯消去法解下列线性方程组：
2X1+2X2+3X3=3
4X1+7X2+7X3=1
-2X1+4X2+5X3=-7
解：
将线性方程组写成增广矩阵的形式：
例4.用高斯-赛得尔迭代解方程组
解：
考察收敛性，收敛条件
，
10>|-1|+|-2|=3
10>|-1|+|-2|=3
5>|-1|+|-1|=2
因此满足收敛条件，有相应迭代格式
取方程组初值为
，计算如下：
k
0000
10.72000.90201.1644
21.04311.16721.2821
31.09311.19571.2928
41.09911.19951.2997
51.09991.19991.2997
61.10001.20001.3000
所以方程组的解为X1＝1.1，X2＝1.2，X3=1.3
例5.对f（x）=e-x给出四点函数值
x
0.1
0.15
0.25
0.30
e-x
0.904837
0.860708
0.778801
0.740818
用插值法求e-x在x=0.20处的近似值。
解：
构造拉格朗日插值多项式通过四个节点（n＝3），
在x=0.20处对应的插值基函数为
所以
＝0.81873
例6.已知实验数据如下
Xj
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yj
-0.71
-0.01
0.51
0.82
0.88
0.81
0.49
试拟合成
的形式。
解：
要拟合的多项式次数m＝2，n＝7，有正规方程组
列表计算累加和如下
j
1
-3
9
-27
81
-0.71
2.13
-6.30
2
-2
4
-8
16
0.01
0.02
-0.04
3
-1
1
-1
1
0.51
0.51
0.51
4
0
0
0
0
0.82
0
0
5
1
1
1
1
0.88
0.88
0.88
6
2
4
8
16
0.81
1.62
3.24
7
3
9
27
81
0.49
1.47
4.41
0
28
0
196
2.79
5.61
2.61
得到正规方程组
解得方程组，a0＝0.806，a1＝0.200，a2＝-0.102，所以拟合式为
例7.用四阶龙格-库塔法计算
取h＝0.2。
解：
有四阶龙格—库塔法公式
计算如下
xiyik1k2k3k4
011.0000.918180.908640.84324
0.21.183230.845170.794470.787500.74404
0.41.341670.745400.710100.704810.67326
0.61.483290.674280.647910.643740.61950
0.81.612530.620300.599650.596260.57690
1.01.73276
所以y（0.2）=1.18323,y（0.4）=1.34167,y（0.6）=1.48329,
y（0.8）=1.61253,y（1.0）=1.73276
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