第9章湍流边界层中的传热docx.docx
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第九章湍流边界层中的传热
在层流边界层的处理中，只要粘性耗散项可以忽略不计，则能量方程就有着与动量方程相同的数学形式。
这时，能量方程的解可直接引用动量方程的解。
在湍流边界层的处理中，我们已经有了动量方程的解。
仿层流边界层中能量方程的解法，我们似乎也可以走直接引用湍流动量方程的解的解决途径。
与湍流动量方程一样，湍流能量方程中也有着类似的“封闭”问题。
我们可以提出一种
模型，以解决湍流能量方程存在着的“封闭”问题的过程中；我们也可以直接引用湍流动量
方程解决圭封闭问题的结论，考察湍流能量方程的类似结论与湍流动量结论之间的关系。
本章
中的雷诺比拟就属于后一种处理方法。
§9.1湍流边界层能量方程的求解
§9.1.1动量-能量方程的比较
在定常、恒定自由流、全部流体物性处理成常数、忽略体积力和粘性耗散项可以忽略的情况下，湍流动量方程可以表为，
kit
湍流能量方程可以表为,
-tv=0
矽cy^cdy丿
以上表示湍流边界层中的动量方程和能量方程在数学表述上具有类似的形式。
§9.1.2雷诺比拟
在求解湍流动量方程“封闭”问题时，引入了普朗克混合长度理论，以计算
:
u
-：
u
''u最大v最大uV=
2
混合长度定义式如下,
并且有，
丨二'y
在求解湍流能量方程的“封闭”问题时，我们也可以引入一种计算t'v的理论。
鉴于动量方程和能量方程在数学表述上具有相似性，我们还可以探索t'v与u'v'之间是
否存在着一种简单的关系，如果能够找到两者之间所存在的关系，就可以直接引用动量方程
求解的结论。
①因y方向上脉动速度v'的存在而引起的有效剪切应力和有效热通量的计算：
动量：
GV=GxGyuv
对于湍流情况，应当是：
G'V'=：
GxGyu'v'
其中:
热量：
通过平行于主流方向的面积为A的由v脉动引发的有效热通量为:
:
Gy对:
f，如果也引用普朗特混合长度理论，则有:
对比：
将动量和能量的表述整理成扩散率形式,
du
于是有：
；M=；H
上式表明，关于动量和热量的两种湍流扩散率相等，这就是雷诺比拟。
§9.2热边界层的壁面定律一一湍流能量方程的解§9.2.1雷诺比拟存在的条件
仿照对湍流动量方程，
-uv=0
-u
作如下改动,
其中：
其中：
尸，.y
对湍流能量方程,
—tv'=0
勿严®丿
也作相应的改动，
tt1qkjt''
uv0其中：
tv
纠-cjy?
c-c；y
在壁面附近区域，存在有，
1可忽略u—项，故而有：
ty
ex
2弓I用Couette流动近似：
V=v0
于是上式在壁面附近区域就可以改写为，
dt1dq
v00
dy?
cdy
从壁面上沿高度积分上式，
ydf1ydq"t1q""
VOodydy^o^d"VOtodt耘q0dq=0
Vof-to■—q"-q0=0
整理得，
n_
q+Pcvo（to-1）
nIn
qoqo
引入无量纲定义，
Vo
to-t•o”
qo';?
c
to-t「o'
qo:
?
c
代入上式,
q"才.5鮎_t才_vo_
q；q；■■o?
将湍流边界层关于动量和关于热量的壁面定律做如下比较,
①有量纲的
热量壁面定律：
q.:
?
cvoto-t
n1n
qoqo
dP
热量壁面定律与动量壁面定律相比，缺少
dP项，其他方面则完全相似。
dx
②无量纲的
动量壁面定律：
一=「：
；・v0u"hpy'
To
热量壁面定律:
2=1V°t
q。
热量壁面定律与动量壁面定律相比，缺少p•项，其他方面则完全相似。
一个重要结论：
在壁面附近，热量传递和动量传递之间关于相似的全部概念，当有压力梯度
时就失灵了，也就是说，这时的雷诺比拟关系就不复存在。
§9.2.2热边界层壁面定律的解
V=0时，有，
qq。
■c
3—tvc?
cdy
积分上式，
todt二
-0
_q_
-Pc
积分结果为，
qy
乙0「kg•i；H卜一
£ydy
J0：
1Pr|JHM
dy
q£y
~0Ik吒•|「；H
dy
dy
'0「c*c■|；H-
t。
二L上q";?
c；?
dy
引用y•作为变量:
=dy二
代入上式，
t°-t..0'_；0'
q"七一
y
）讣Pr•|LhM
仍然采用具有粘性底层和充分湍流区的两层模型。
对于
发现底层的有效厚度y=10.8。
对于热边界层，实验发现底层的有效厚度变为这个实验事实说明：
雷诺比拟对粘性底层不是有效的。
底层和充分湍流区两个部分，来完成上式的积分。
于是，上述积分为，
t=曲dyydy
01PrJ13.21Pr■p^HJ
dy
dy
Pr「；H-
p"h0与Vo=0的情形，实验
y=13.2。
但是我们还是将积分分成相应于粘性
我们将上式与
4Vu
-+sMi—的积分式相比较,
u0yod^T-o-
dy
0
7；M
ydy_oydy
1n"pJy^M
必须十分注意，关于能量的积分过程，不可引用关于动量的积分过程中所采用的忽略某一项
的方法。
这是因为1Pr因特定流体的不同而有很大变化：
PTy
粘性底层：
在动量边界层中，由于有一；M，故积分可以写为：
—dy
在热边界层中，如果Pr很大，则底层中即使“十i很小，仍然具有很大意义。
如果
Pr_5，若忽略:
屮Ji,则会带来重要的误差。
Pr:
：
:
5时，「i可忽略。
充分湍流区：
在动量边界层中，由于有；M…，故积分可以写为：
二
MPy名
°M
在热边界层中，如果Pr很低，则1Pr数值很大，且能大于=1，因此，这时1Pr不能忽视。
问题：
如何评判1Pr和t；h「'的相对大小？
假定雷诺比拟；皿二；h适用，则由混合长度理论，有,
粘性底层中的发现1：
0.5：
：
：
Pr：
：
：
5.0时，LH-1可以忽略，但不适合于更低Pr数。
充分湍流区中的发现
2:
Prt二；M=0.9
将上述发现代入：
+.+
t丄'dy，得到,
、01「Pr+|（P知）屮
13.2
【0
积分得,
+Prty
t=13.2Pr七|门'
k13.2
0.90.9
Iny13.2PrIn13.2
0.410.41
=2.195lny13.2Pr-5.664
上述精确解与实验数据的对比参见P247中的图12-2。
§9.3恒定自由流、定壁温条件下的湍流传热解
传热解的关键就是要建立St的表达式。
PeU^c
两个假定：
①热边界层和动量边界层的厚度相同——可直接引用动量边界层的一些结论层流边界层若干厚度的表达：
边界层厚度：
：
=4.64.七口心二？
排量厚度：
「=1.73ii'U:
-
动量厚度：
、2=06642耳「I：
u；
焓厚度:
②两个壁面定律本身，对于整个边界层是两个合理的近似一一壁面定律显然不能推广到整个边界层，但传热问题却必须涉及到整个边界层。
动量边界层的壁面定律：
u=2.4391ny5.0
+u+-5.0lny
2.439
热边界层的壁面定律:
t"=2.195Iny13.2Pr-5.664
lny:
t-13.2Pr5.664
2.195
于是有:
t-13.2Pr5.664_u-5.0
2.195-2.439
仁-13.2Pr5.664u：
：
-5.0
另外:
uu;-
u：
：
u..i：
Cf2Cf
St
将t?
u-的结果代入t的表达式中,
整理得,
St=fx
h0.0287Re：
2
'cu：
：
一0.1694Ref13.2Pr-10.1640.9
上式的分母可以合理近似为Pr0.4，因此，一个更为简单的表达式为,
StPr0.^O.O287ReXD.2
§9.4散逸湍流边界层
以上讨论的是不能渗透v0=0的壁面情形。
如果壁是多孔的，并且有流体"吹出”边界层，或从边界层中“抽吸”流体，则会发生v0=0的情况。
采用散逸这个名称，作为在
表面有吹出、吸入、喷射、表面处有质量传递等情况的相互可替换的一般性描述。
散逸改变了湍流边界层的分布，它有两种主要的技术应用领域，即散逸冷却与传质。
通
过多孔表面的正散逸或吹出，提供对固体表面一种很有效的冷却方法，以起到保护固体表面
免受炽热主流流体的作用。
散逸的流体，不仅通过表面吸收热能，而且散逸具有显著降低传热速率的作用。
湍流边界层的能量方程，
=0
在0.5:
:
Pr<5.0的条件下，t；h二i可以忽略，应用第一个边界条件，有,
Vo5Prdy
dt_df卫
「Pc（dy丿oPc
整理后再行积分，积分上限用第二个边界条件，
则,
Iim匕注二Iim
BhoBhBh—°1-B
上式对应着Vo=0的情形，相应的斯坦顿数为,
卩11
Sto_Ju：
——dy
o1Pr广心HJ
于是，有散逸的Vo=0和不渗透壁面的Vo=0情形下斯坦顿数之比为，
St_In1Bh
StoBh
直接引用无散逸Vo=o情形下的斯坦顿数：
SloPro.4=0.0287ReX°.2，则有散逸的
Vo=0情形下斯坦顿数为，
04In（1+Bh）04aIn（1+Bh）
StPr0.4-St）Pr=0.0287Re「-
BhBh
§9.5表面粗糙度的影响粗糙度湍流边界层的影响，纲量度，
根据Rek值，可对表面粗糙度的三种状态进行判别（显然这种判别是人为的）
Rekc5.0:
完全光滑表面（空气动力学光滑表面）
5.0vRekc70.0:
过渡粗糙表面（光滑表面的特征继续存在）
Rek-70.0:
充分粗糙表面（粘度不再是一个有意义的变量）
对于Rek70.0时，粘度不再是一个有意义的量，这意味着粘性底层的完全消失。
采用普朗特混合长度解决方案，特别注意到：
对于动量方程，粘性底层的消失，意味着切应力向壁面的传递，必须依靠别的不同的机制，于是对于一直到y=0的情况，下面的
公式不再有效，
丨='y
这时，用一个所谓的近壁混合长度方程来进行模化，
丨丄yy°
<=0的情况，都可以假定
以使混合长度理论一直延伸到表面。
对于能量方程来说，因为不存在底层，因此一直到
1
—。
其次，对于热量传递来说，显然在壁面上仍然存在着有
Pr
限的4^，这时的壁面定律为,
应用壁面坐标方案时，y0的无量纲形式是y0，
、y0二实验发现，近壁混合长度可以近似表达为,
、y。
=0.031Rek
数学：
借用：
du—，引用近壁混合长度,
dyxy
du1
y=0，
dy•〔yM1
积分上式，注意到充分粗糙区没有粘性底层，故而积分下限是
+严dy+
0dU；厂y1u0y°【
+1|-
u=—In-
KL囱00
把「y0?
=0.031Rek代入上式,
十1l-
u=—In-
瓷L囱00
--ln-
■■-[0.031Re
—k:
'u
上式对完全光滑表面不适用，因为ks=0=Rek二亠L-0。
对于y_Rek（进入到充分湍流层），第二项可忽略,
+1,：
32.258y*〕1,1,32.258
u止一1n1=一1ny+—ln
瓷LRek代Rek
§9.7连续壁面定律：
VanDriest模型
§8.10本章小结
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