等值面为々2=尸+丁2sjn2c,（
W+）2莉），
当sineA0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）;
当sinc=0时，是除原点外的xOy平面。
2.求数量场u=X+y经过点沮（1,1,2）的等值面方程。
Z
解：
经过点肱（1,1,2）等值面方程为
x2+j212+12,
z2
即z=x2+y\是除去原点的旋转抛物面。
3,已知数量场u=xy,求场中与直线x+2y-4=0相切的等值线方程。
解：
设切点为（工0，为），等值面方程为xy=c=xoyo,因相切，则斜率为
k=—=,即X。
=2_yn
X。
2'
点（工0，丁0）在所给直线上，有
W2%—4=0
解之得％=1,x0=2
故xy=2
4.求矢量A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为
Axdr=0,
vdxdydz
或==
次222
xyxyzy
土/.dxdz
有xdx=yay,——=—・
xz
解之得'一”（G，G为任意常数）
z=C2x
5.求矢量场A=x2i+y2j+（x+y）zk通过点M（2,1,1）的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为%=%=——x2j2（x+y）z
rdxdx11八
由「■=r得一=—+，
XyXy
按等比定理有"=即虹*=隹.解得X-7=C2Z.x2-y2（x+y）zx-yz
故矢量线方程为｛xy又M（2,l,l）求得G=-一,C2=1
2
x-y=C2z
故所求矢量线方程为=J~2.
x-y=z
习题3解答
1.求数量场u=x2z3+2y2z在点M（2,0,-1）处沿l=2xi-xy2j+3zX的方向导数。
解：
因4m=（2x'—xy"+3z%）L=4，+3A,其方向余弦为
4o3
cosa=—,cosp=0,cos/=—.
在点M（2,0,-l）处有票=2^3=—4,掌=4兴=0,华=3/々2+2殳=12,
oxoyoz
所以—=-•（-4）+0»0+-»12=4ol55
2.求数量场"=3x2z-xy+z2在点M（1,-1,1）处沿曲线x=t,y=-t2,z=t3朝，
增大一方的方向导数。
解：
所求方向导数，等于函数"在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点
M所对应的参数为t=l,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为
其方向余弦为cos（x=.——,cosB=—-^=,cosy=一-j=.
V14V14V14
dudun_1,一2_324
——=（—cosoc+■——cosp+—-cosy）=7x—~^=+（—1）x--^=+5x--^==—-^=
3/m3/dzmV14J14V14J14
3.求数量场"=x2jz3在点M（2,1,-1）处沿哪个方向的方向导数最大?
4.画出平面场"=-（x2-y2）中"=0,二1,1,2的等值线，并画出场在MX（2,V2）与点
222
M2（3,V7）处的梯度矢量，看其是否符合下面事实:
（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；
（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向"增大的方向。
22n221
X-y=0,x-y=1,
解：
所述等值线的方程为：
x2-y2=2,x2-y2=3,其中第一个又可以写为
x2-y2=4,
x-j=O,x+j=0为二直线，其余的都是以Qx轴为实轴的等轴双曲线
（如下图,
图中G]=graduh/
G2=gradu|M,）
由于gradu=xi-yj^
故
gradual=2i-41j,
gradu"=3i-
由图可见，其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场iz=xy+yz+zx在点P（l,2,3）处沿其矢径方向的方向导数。
（1）直接应用方向导数公式；
（2）作为梯度在该方向上的投影。
解：
（1）点P的矢径r=i+2j+3上，其模|r|=应.其方向余弦为
1o23„
cosa=-~i=,cosp=—=,cosy=—；=.x.
714714V14
客=（y+z）|=5,手=（*+z）|=4,竺=U+j）|=3dxPdypdzP
dudun、
—-=（—cosa+cosp+—-cos/）
所以叭a、力&
1,2,322
5x-.—+4x-.—+3x-.—=-.—o
V14V14V14V14
⑵^U\p=（-i+-j+-k）=5i+4j+3k,
6,求数量场w=x+2j+3z+xy+3x-2j-6z在点0（0,0,0）与点4（1,1,1）处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?
解：
gradu=（2x+y+3）i+（4j+x-2）j+（6z一6）心
gradu|^=3i-2j-6A;,gradu|A=6/+3J+0A;,
其模依次为：
02+（—2）2+（—6）2=7,a/62+32+02=3Ji
326
于是gradu＞的方向余弦为cosa=_、cos0=——,cosr=——
I。
777
2x+y+3=0,
求使grarfu=0之点，即求坐标满足＜4y+x-2=0,之点，由此解得
6z—6=0
x=-2,j=l,z=l故所求之点为（一2,1,1）.
7.通过梯度求曲面工2丁+2xz=4上一点M（1-2,3）处的法线方程。
解：
所给曲面可视为数量场u=x2y+2xz的一张等值面，因此，场“在点肱处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即
gradu|M=（2xj+2z）i+x2j+=2i+j+2k,
故所求的法线方程为日=al=日.
212
8.求数量场"=3x2+5y2-2z在点M（1,1,3）处等值面朝Oz轴正向一方的法线方
向导数乎。
On
3"3"du
解：
因gradu=—i+—j+—A：
=6xi+10yj-2koxoydz
gradu=61+lOj-
M
梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为
票■=-Igradu\=-2-^35an
习题4
1.设S为上半球面*2+j2+z2=a2（z>0）,求矢量场r=xi+yj+zk向上穿过S的通量
中。
【提示：
注意S的法矢量n与r同指向】
解0=\\rdS=\\rndS=^S=a\\dS=alm\
SSSS
2.设S为曲面*2+y2+z2=。
2（0《z《龙）,求流速场v=（x+y+Z）k在单位时间内下
侧穿S的流量Q。
解：
。
=jj（x+y+z）dxdy=-jj（x+y+x2+y2）dxdy,其中d为s在xOy面上的投
SD
影区域：
『+心/Z.用极坐标计算，有Q=-JJrco破+rsW+r2）rd洒
4h矽lj2
——+一座=——油•
342
D
=_『（r2cos^+r2sin^+r3Vr=-「［（co前+sin0
3.设S是锥面z=《『+）2在平面々=4的下方部分，求矢量场A=4xzi+yy+3zk向下穿出S的通量①。
解：
4.求下面矢量场A的散度。
（1）A=（x3+yz）i+（y2+xz）j+（z3+xy）k;
（2）A=（2z-3y）i+（3x-z）j+（y-2x）k;
（3）A=（1+jsinx）z+（xcosy+y）j.
解：
（1）divA=3x2+2y+3z2
（2）divA=0
（3）divA=ycosx-xsinj+1
5.求divA在给定点处的值：
（1）A=x3i+y3j+z3k在点M（l,0,-l）处；
（2）A=4xi-2xyj+z2k在点M（l,l,3）处；
（3）A=xyzr（r=xi+W+zA在点M（l,3,2）处；
解：
（1）divA.=（3x：
+3^2+3z：
）L=6
（2）divA|M=（4-2x+2z）|M=8
（3）divA=xyzdivr+graJ（xyz）•r=3xyz+（jzi+x^/+xyk）（xi+yj+zk）
=6xyz,故divA|m=6xy^\M=36。
6.已知"=xy2z3,A=x2i+xtJ-2yzk^求div（uA）。
解：
7.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量中：
（1）A=x3i+y3j+z3k,S^j^^x2+y2+z2=a2;
222
（2）4=（x-_y+z），+3-々+珈+（々-工+小,，为椭球面二+号+二=
a'b-c-
解：
（1）O=JS=JJJdivAdV=jjj3（x2+j2+z2）JV
s。
。
其中Q为S所围之球域『+y2+Z2今用极坐标
x=rsinOcos^,y=rsinOsin但z=rcos^计算，有
C>=3JJF.r2s\n6drd6d（p=3d（p^r4dr=—7H5q5
（2）①顼AdS=jjjdivAdV=3JjpV=3x-mbc=4mibc.
SQ.Q3
习题五
1.求一质点在力场尸=-yi-zj+xk的作用下沿闭曲线/:
x=〃cos"y=asinr,
x=a（l-cost）从t=0到，=In运动一周时所做的功。
解：
功W=（^Fdl=（^-ydx-zdy+xdz
1i
=。
伊sin2^-a2（l-cos^）cos^+a2cossin
2F"2
=aI（1-cost+costsint）dt=2m
2.求矢量场A=-yi+xj+Ck（C为常数）沿下列曲线的环量：
（1）圆周x2+y2=R2=0；
（2）圆周（x—2）2+j2=/?
2,z=0o
解：
（1）令x=Rcosff,则圆周x2+y2==0的方程成为x=RcosG^y=Rsinff^z=0,于是环量
寸一ydx+xdy+Cdz=（7?
2sin2If2cos0）d0=2冗R・
r=寸A•dl=
i
（2）令x—2=Acos。
，则圆周（x-2）2+j2=/f\z=O的方程成为
x=cos^+=RsinG^z=0,于是环量
r=寸A•"/='-ydx+xdy+Cdz=£^[7?
2sin20+（Acos04-2）1?
cosCM。
ii
=,（R2+2RcosO）d0=2就2
3.用以下两种方法求矢量场A=x（z-y）i+j（x-z）j+z（y-x）k在点M（1,2,3）处沿方
向n=i+2j+2k的环量面密度。
（1）直接应用环量面密度的计算公式；
（2）作为旋度在该方向上的投影。
“〃122122
解：
（1）n=7-1=—i+—j+—ky故〃的方向余弦为cosq=—,cos/=—,cos/=一・
333333
又P=x（z一y\Q=y（x-z\R=z（j一x）根据公式，环量面密度
A，L=^Ry~Qz）cosa+（Pz-Rx）cos^+（Qx-Py）cosy]M
rz、1,、2,、2、58619
=[U+?
）-+U+z）-+（x+y）-]M=-+-+-=—
J。
。
。
。
。
J
⑵rotA\m=[（z+y）i+（x+z）j+（x+y）k]M=5i+4j+3k,于是
[22
A,|m=rotA|m•n0=（5i+4j+3k）^（-i+-j+-k）
58619
=—I1—=——
3333
4.用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
（1）A=（3x2j+z）i+（j3-xz2）j+2xyzk;
（2）A=yz2i+zx2j+xy2k;
（3）A=P（x）i+Q（y）j+R（6xy3x21
解：
⑴DA=-z23y2-2xz•，故有divA=Qj^3y2+边=（&+3/加2yz2xz2xyJ
rotA=4rz4（l-羽/-（z2+3X比
0z22_yz]
（2）DA=>2xz0x2，，故有divA=0+0+0=0,
J22xy0
rot\=x（2y-x）i+y（2z-y）j+z（2x-z）k.
p（x）0o]
（3）DA=0Q'（y）0，，故有divA=P（x）+0（j）+7?
（z）.
00R（z）
rotA=o。
5.已知u=exyz,A=z2i+x2j+y2k,求尸0,11A
解：
rotuA=wrotAbgraduxA,
002z
da=2xoo»,有rotA=2yi+2^j+2xk,urot^=exyz（2yi+2^+2xl^,
02y0
gradu=exyz（yzi+x^j+xyk）,graduxA
1jk
=exyzyzxzxy=exyz[（xy2z-x3y）i+（xyz2-y3z）j+（x2yz-xz3）k],
222
zXy
6.已知A=3yi+2z2j+xyk,B=x2i-4k,求尸0,（AxB）.
00-16z
D（AxB）=-3x2yx3+120
-4xz20-4x2z
故有rot（AxB）=Oi+（4xz2-16z）j+3x2jA:
=4z（xz-4）j+3x2yk.
习题六
L证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。
（1）A=ycosxyi+xcosxyj+sinzk;
（2）A=（2xcosj-j2sinx）i+（2jcosx-x2sinj）j.
解：
（1）iBP=jcosxy,2=xcosxy,7f=sinz.
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数y：
1°公式法：
v=-「P（x,0,0）dx-gQ（x,y,0）dy-£A（x,y,z）tfc+G
=-JOdx-gxcosxydy-£sinzdz+G=0-sinxy+cosz-1+Cx=cosz-sinxy+C.
2°不定积分法：
因势函数u满足A=-gradv,即有
vx=-ycosxy^vy=-xcosxy,vz=-sinz,
将第一个方程对*积分，得^=-sinxy+0（）必）,
对y求导，得vy=-xcosxy+,与第二个方程比较，知
（Py（y9z）=0,于是。
顷必）="（z）,从而u=-sinxy+^（z）.
再对z求导，得七="（z）,与第三个方程比较，知（z）=-sinz,故”（z）=cosz+C.
所以y=cosz-sinxy+C.
（2）记P=2xcosy-y2sinx^Q=2ycosx-x2siny^R=0.
则
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数v：
1°公式法：
v=-£p（x,0,0）rfx-£fi（x,j,0）dy-^R（x,y,z）dz+C
=一「2xdx一.（2ycosx-x2sin-£Odz+C
=-x2-y2cosx-x2cosy+x2+C=-y2cosx-x2cosy+C.
2°不定积分法：
因势函数v满足A=-gradv,即有
vx=-2xcosj+y2sinXjV^,=-2ycosx+x2sinjjV.=0,
将第一个方程对X积分，得V=-x2cosy-y2cosx+^?
（y,z）,
对y求导，得vy=x2siny-2ycosx+^>\（y,z）,与第二个方程比较，知
再对z求导，得L=-'（z）,与第三个方程比较，知"（z）=0,故y/0）=c.
所以v=-x2cosy-y2cosx+C.
2.下列矢量场A是否保守场？
若是，计算曲线积分\Adl:
I
（1）A=（6xy+z2）i+（3x2-z）j+（3xz2-y）k,Z的起点为4（4,0,1）,终点为
（2）A=2xzi+2yz2j+（x2+2y2z-l）k,Z的起点为4（3,0,1）,终点为B（5,—l,3）.
6y6x3z2
解：
（1）DA=<6x0-1，，有
3z2-16xz
r^A=[（-l）-（-l）J+（3^2-3z2）j+（6x-6x）k=0,故4为保守场。
因此，存在
A•以的原函数"。
按公式
"=jP（x,0,0）rfx+j+gR（x,y,z）dz
\Adl=（3x2j+xz3—yz）\A《I=7o
i''
2z02x
（2）DA=02z24yz有尸。
，人=（4丫2—4}^），+（&—&）/+感=0,故4为保
2x4兴2y\
守场。
因此，存在A»dl的原函数"。
按公式
w=-JP（x,0,0）rfx-£Q（x^y^）dy-f必）tfc
=£Odx+jOdy+£（x2+2y2z-l）dz=x2z+y2z2-z,于是
3.求下列全微分的原函数":
（1）du=（x2一2yz）dx+（y2一2xz）dy+（z2-2xy）rfe;
（2）du=（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy.
（1）u=
[x2dx+gy2dy+£（z2-2xy）dz+C
I3I3I3X333
=5*+A+X-2xyz+C=-（x+y+z）-2xyz+C；
（2）"=j3x2dx+£（6
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