点线面之间的位置关系知识易错点及例题合集doc.docx

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点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集

最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难

学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]

1、不要随意推广平面几何中的结论

平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外

一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”

等性质在空间中就不成立．

2、弄清楚空间点、线、面的位置关系

解决这类问题的基本思路有两个：

一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐

个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课

桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。

3、不要忽略异面直线所成的角的范围

求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。

两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的

内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

4、透彻理解直线与平面的关系

直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平

面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）

和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。

5、使用判定定理时不要忽略条件

应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两

条相交直线”这一关键点。

专题1共点、共线、共面问题

（1）、证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：

一是先由某些元素确定一个平面，再证

明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这

些平面重合。

（2）、证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定

出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然

必在两个平面的交线上。

（3）、证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过

该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。

[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F

分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且

BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：

（1）、E，F，G，H四点共面；

（2）、EG与HF的交点在直线AC上。

证明：

（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。

又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，

F，G，H四点共面。

（2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG

与FH必相交。

设交点为M，而EG?

平面ABC，HF?

平面ACD，所以M∈平面ABC，且M

∈平面ACD。

因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC

上。

归纳升华：

证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做

到合理、恰当地转化。

[变式训练]三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β

∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：

a，b，c三条直线必相交

于同一点。

证明：

如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，

所以a?

γ，b?

γ。

因为直线a和b不平行，所以a，b必相交。

设α∩b＝P，则P∈a，P∈b，

因为a?

β，b?

α，所以P∈β，P∈α。

又α∩β＝c，所以P∈c，所以a，b，c三条直线必相交于同一点。

专题2空间中的位置关系

（1）、空间中两直线的位置关系：

相交、平行、异面；

（2）、空间中直线与平面的位置关系：

直线在平面内、直线与平面平行、

直线与平面相交；

（3）、两个平面的位置关系：

平行、相交。

[例2]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面。

下列说法正确的是

（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n

B、若m⊥α，n?

α，则m⊥n

C、若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D、若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析：

若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥

α，n?

α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正

确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?

α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可

能相交，可能平行，也可能n?

α，D错．

答案：

B

归纳升华：

若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个

结论，则需要进行严密的逻辑推理．

[变式训练]

下列命题正确的有（）

①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，

则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平

面平行．

A．0个B．1个C．2个D．3个

解析：

由a∥b，b?

α，可得出a?

α，或a∥α，①不正确．a?

α有两种情况，

即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平

行或异面，③不正确．④正确．故选B。

答案：

B

专题3平行问题和垂直问题

线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直

的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，

而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化。

在高考中，常以解

答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重。

[例3]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB

⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中

点．求证：

（1）、PA⊥底面ABCD；

（2）、BE∥平面PAD；

（3）、平面BEF⊥平面PCD。

证明：

（1）、因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD。

（2）、因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE。

所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD。

又因为BE?

平面PAD，AD?

平面PAD，所以BE∥平面PAD。

（3）、因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD

⊥CD。

由

（1），知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD

⊥PD。

因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF。

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD。

归纳升华

1、平行关系的转化．

面面平行的性质是线线平行的判定

要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握

这一点，灵活确定转化的思想和方向

2、垂直关系的转化．

面面垂直的性质是线线垂直的判定

在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不

存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一

个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．

[变式训练]如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC

＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E。

求证：

（1）、DE∥平面AA1C

（2）、BC1⊥AB1

证明：

（1）、由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1

的中点，因此DE∥AC。

因为DE?

平面AA1C1C，AC?

平面AA1C1C，所以DE

∥平面AA1C1C。

（2）、因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1

⊥平面ABC，所以AC⊥CC1。

又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.。

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C。

因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC。

又AB1?

平面B1AC，所以BC1⊥AB1。

专题4空间角的求解

空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所

成的角．

[例4]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

（1）、AO与A′C′所成角的度数；

（2）、AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）、平面AOB与平面AOC所成角的度数。

解：

（1）、因为A′C′∥AC，

所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，

所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.

所以OC⊥平面ABO.

又OA?

平面ABO，所以OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝ACOC

＝21，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数

为30°。

（2）、如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，

因为平面BC′⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，

∠OAE为OA与平面ABCD所成的角。

在Rt△OAE中，OE＝21，

（3）、因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB。

又因为OC?

平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC

所成角的度数为90°。

归纳升华：

求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线

所成的角的问题．求空间角的解题步骤：

①找出这个角；②说明该角符合题意；

③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角。

[变式训练]

如图1所示，平面角为锐角的二面角α-EFβ，A∈EF，AG?

α，∠GAE＝45°，

若AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小。

解：

作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，如图2.

则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角，又∠GAH是AG与β所成的角，

专题5转化与化归思想在立体几何中的应用

立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．

（1）、线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面

面平行、线面平行、线线平行、面面垂直、线面垂直、线线垂直等，有关线面

位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的。

（2）、通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平

行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问

题。

（3）、通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题。

[例5]如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥

PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，

请确定点F的位置；若不存在，请说明理由。

解：

当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.

证明如下：

如图2，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝21PB。

因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD。

又OF?

平面PMD，PD?

平面PMD，所以OF∥平面PMD。

又AM綊21PB，所以PF綊MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF

∥PM。

又AF?

平面PMD，PM?

平面PMD，所以AF∥平面PMD。

又AF∩OF＝F，AF?

平面AFC，OF?

平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.

归纳升华：

证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互

转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为

线线垂直问题．

[变式训练]在四棱锥P-ABCD中，底

面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于

点F。

（1）求证：

PA∥平面EDB；

（2）、求证：

PB⊥平面EFD.

证明：

（1）、连接AC，交BD于点O，连

接EO。

因为底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点，所以在△PAC中，EO是中

位线，所以PA∥EO。

又因为EO?

平面EDB，PA?

平面EDB，所以PA∥平面EDB。

（2）、因为PD⊥底面ABCD，且DC?

底面ABCD，所以PD⊥DC。

因为PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形。

又因为DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC。

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC。

因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，所以BC⊥平面PDC。

又因为DE?

平面PDC，所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC。

又因为PB?

平面PBC，所以DE⊥PB。

又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD。