学习三角函数的单调性的基本方法.docx
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学习三角函数的单调性的基本方法
求三角函数的单调性的基本方法:
函数yAsin（x）k的单调区间的确定，首先要看A、®是否为正，若①为负，则先应用诱导公式化为正，然后将看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负,
3
在2kx2k,kz和2kx2k,kz两个区间内分别确定函数的
2222
单调增减区间。
1、求函数ysin（32X）在区间［-2n，2n］的单调增区间。
解：
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数
（yAsin（x）,A
0,0）的形式:
ysin
丄x）sin』x）
223
⑵把标准函数转化为最简函数
yAsinx）的形式:
原函数变为
1
ysin（—x）
23
sinz
⑶讨论最简函数
sin
z的单调性:
从函数y
sinz
像可以看出，y
sin
单调增区间为
[2k2,2k
所以2K-z
2K
即2K
2K
•4K
⑷计算
5
3
k=0,k=
4K
11
3
±1时的单调增区间:
当k=0时,
11
3
当k=1时,
22
3
23
3
当k=-1时,
⑸在要求的区间内［-2n，2n］确定函数的最终单调增区间:
因为x［2,2］，所以该函数的单调增区间为
数
求函
y2sin（S2x）在区间［0,n］的单调增区间。
解：
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（yAsin（x）,A0,0）的形式:
2x）
sin（2x-）
⑵把标准函数转化为最简函数（yAsinx）的形式:
z2xysin（2x）sinz
令6，原函数变为6
⑶讨论最简函数
y
sinZ的单调性：
y
sin
z“
ry
sinz
从函数
J
的
图像可以看
出，丫
的单调增区间
[2k—,2k
3
]
K
。
所以2K
z2K
3
，K
2
2
2
2
即2K
2x
2K§
K
2
6
2，
15
K—xK—K
36，
⑷计算k=O,k=±1时的单调增区间：
1
11
当k=0时,
当k=1时,
当k=-1时,
⑸在要求的区间内
［0,n］确定函数的最终单调增区间:
因为x［0,］，所以该函数的单调增区间为
25
-2.S
3、求函数ysingx-）在区间［-2n,2n］的单调增区间
解:
⑴把标准函数转化为最简函数（
yAsinx）的形式:
sin』x
2
sinz
1
x
23，原函数变为
从函数
sinz
的图像可以看出，
sinz
的单调增区间为
⑵讨论最简函数ysinz的单调性:
2K
z
2K
K。
2
2，
沖2K
1
x—
2K—K
即
2
23
2，K
4K
5
x4K
1
-K
3
3，
⑶计算
k=O,k：
=±1时的单调
增区间：
5
1
当k=0时，
x-
3
3
7
13
当k=1时，
x
3
3
17
11
当k=-1时,
x
3
3
⑷在要求的区间内
［-2n,2n］确定函数的最终单调增区间
又因为X
[2,2
］，所以该函数的单调增区间为
5
1
——
x-
3
3
4、求函数y2COS（52x）1在区间［-n,n］的单调增区间
解：
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（yAcos（x）,A0,0）的形
式：
y2cos（2x）12cos（2x）1
33
yAcosxK
⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式:
z2xy2cos（2x）12cosz1
令3，原函数变为3
⑶讨论最简函数y2cosz1的单调性:
y
从函数
2cosz
1
的图像可以看出，
y
2cosz
1
的单调增区间为
[2k,2k
]K
；单调减区间为［2k
2k
]K
。
所以，单调增区
间：
2K
z2K
，K
即2K
2x-
3
2K，K
K—
xK
-K
3
6，
①计算k=O,k=±1时的单调增区间:
11
当k=0时，；x-
36
27
当k=1时，x-
36
45
当k=-1时，x-
36
②在要求的区间内［-n，n］确定函数的最终单调增区间:
因为x［,］，所以该函数的单调增区间为
单调减区间：
2Kz2K
即2K
2x-
3
2K
①计算
6
k=O,k=
3，
±1时的单调减区间:
12
当k=0时，x-
63
75
当k=1时，x-
63
51
当k=-1时，二x-
63
②在要求的区间内［-n,n］确定函数的最终单调减区间:
因为x［,］，所以该函数的单调减区间为
5112
/1\Ucy（1\igcosx
区间，因此是函数y
（二）的减区间。
由于cosx0，所以函数y（二\的单
22
调减区间为［2k,2k\，单调减区间为（2k,2k］。
sin（2x-\
6、求函数ylog丄的单调区间
2
解：
令U
sin（2x
4），函数y
log*的增区间是函数u
2
sin（2x；）的减区间且
使usin（2x；\0
函数ylog,的减区间是函数usin（2x\的增区间且使
24
usin（2x-\0。
所以，
4
函数y
sin（2x
log丄
2
的单调减区间为
2k2x—2k—（kz），即k-xk—（kz）；单调增区间为4288
2k
2x-
4
2k
（kz），即k
3
8（kZ）
Yl=sin（2x+3.14/4）
7、求函数y3tan（f）的单调区间。
64
解：
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（yAtan（x）,A0,0）的形式:
y3tan（x）3tan（—x）
6446
yAtanx
⑵把标准函数转化为最简函数（'）的形式：
11
z-xy3tan（—x）3tanz
令46，原函数变为46
⑶讨论最简函数y3tanz的单调性:
y3tanzy3tanz
从函数的图像可以看出，的单调区间（递减）为
（k
。
所以K
8
4
4K
4K
x
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