矩阵A与B的特征值与特征向量ZW.docx
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矩阵A与B的特征值与特征向量ZW
引言
众所周知,矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作.自从Cayley建立矩阵的运算以来,矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源.另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用
数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用.同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展.
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知
识,与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系.可以说,特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题.因此,掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要而基础的知识.
某些矩阵在求它们的特征值与特征向量时，利用通常的方法显得计算量较大，甚至很难求出.而如果把矩阵拆成两个矩阵的乘积，再求它们的特征值与特征向量，则会使计算大大简化，甚至可以直接写出其所有的特征值与特征向量.本文讨论证明了矩
阵AB与BA的特征值与特征向量，并结合具体例子，给出了该理论在求矩阵的特征值与特征向量问题的相关命题及结论.
1.预备知识
定义1设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在数■和数域P上的n维非零向量x,使得
Ax=x
则称，为A的特征值，x为A的属于特征值■的特征向量.称A为A的特征矩阵，卩一E-A为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式.
定义2nn矩阵A的对角元素之和为A的迹，记作trA,即
ntrA二aii'a22•'ann二、、
im
定义3"I设A二aq是mn矩阵，B=bq是rs矩阵，则A与B的乘积AB只有当n=r时才存在,此时AB是一个ms矩阵,定义为
n
ABij=xaikbkj,i=1,2,,m;j=1,2,,s
k=±
定义4设A是一个nn矩阵，若可以找到一个nn矩阵B,满足AB二BA二E,则
称A可逆，或称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵.
性质1ABJ=BJAJ（A、B为可逆方阵）
定义5设数域P上的线性空间V的一个变换为,如果满足条件：
（i）>--（：
•、［为V的任意向量）
（ii）匚k：
=（k为P的任意常数）
则称匚为V的一个线性变换.
该定义中的两个条件就是指线性变换二保持向量的加法和数乘运算•
定义6'设二是P上线性空间Vn的线性变换.在Vn中取定一组基〉1「2,n,如果这组基在匚下的象可用这组基线性表示为：
石陆）=钟1乜小+…
）=印2口1+a22°2+…+an2^n
|……
匚：
1二乳〉1•a2n〉2…•a.n〉n
记":
J，〉2,…，〉n一C-'1，匚：
'2，…宀虑n，则上式可表示为:
'二f2,…Fn二f2,…/nA
其中
/■…、
al1aln
A=-
lan1ann/
称为线性变换二在基〉1,〉2,…，〉n下的矩阵.
由于线性变换二是Vn到自身的一个映射,所以二:
iVnU1,2,…,n,故二〉i都
可由Vn的一组基〉i」2,…」n唯一表示为
二:
i=air'i■a/2宀」3nrn,i=1,2/,n
因此，线性变换二在基〉1」2,n下的矩阵A由基的象唯一确定.反之，如果任给一个
n阶矩阵A,在Vn中唯一确定一个在基〉1「2,n下以A为矩阵的线性变换•
综上所述，在P上的线性空间Vn中,取定一组基后，就建立了线性变换匚与其在这组基下的矩阵A之间的对应的关系•
2.矩阵AB与BA的特征值问题的相关命题及结论
2.1对称矩阵乘积的特征值问题
命题1当n阶方阵A、B为对称矩阵时,AB与BA有相同的特征值•
证1由AB对称可知
hE—AB=|^E—AB'=（九E—BA）卜仏E—BA
即
九E-AB=|hE-BA
故AB与BA有相同的特征多项式.从而AB与BA有相同的特征值.
证2因为方阵与它的转置方阵有相同的特征值，故AB与BA有相同的特征值.又因为A、B均为对称矩阵，所以BA>BA.故AB与BA有相同的特征值.
2.2可逆矩阵乘积的特征值问题
命题2AB为n阶方阵，且它们均为可逆矩阵，则AB与BA有相同的特征值.
证设■是AB特征值，相对应的特征向量x=0,则
ABx=x
两边左乘B,再由B可逆，则
x=0时，Bx=0
有
BABx—Bx
而
BABx=BABx
则
BABx=Bx
从而Bx是BA相应于特征值■的特征向量,亦说BA亦有特征值■•故AB与BA有相同的特征值•
命题31訂设A、B为n阶方阵,且有一个为可逆矩阵，则AB与BA有相同的特征
值•
证不妨设A可逆（由对称性,B可逆同理），只需证得
注-AB=®E-BA
注意到A的可逆性，则有
注—AB^A」仏E—AB|A=注—A’ABA=让—BA
即AB与BA有相同的特征多项式•故AB与BA有相同的特征值•
注意：
这里运用了A」A=1（注意它们都是常数）及|AB=A|B.此证法中A可逆是重要的.
命题稍弱变形：
AB的每一个特征值都是BA的特征值，反之亦然.其实即便A不可逆时,命题结论依然成立.
2.3—般方阵乘积的特征值问题
命题4设A、B为n阶方阵，则AB与BA有相同的特征值与特征多项式证1⑷考虑矩阵等式，有
ZOE『EB、
9E、
WeA
两边取行列式，得
扎E-AB=»E-BA
故
fAB'=fBA'
所以AB与BA有相同的特征值与特征多项式.
证2若rA二r,则有可逆矩阵P、Q,使得
PAQ#、
O丿
Q’BP
B2
则有
同理有
从而
PABP，=PA（QQ，BP°=（PAQIQ’BP，）=IB1B2Q’BAQJQ’BpTpAQJB1°
人E—AB=九n_r^E-B1
卜E-BA=人2应-Bi
即
kE-AB=Z.E-BA
故AB与BA有相同的特征值与特征多项式•
（其命题对于一般的mn矩阵亦成立.）
证3“丨若A可逆,则如上面证明•
若A不可逆，因为A至多有n个特征值,故必存在t0,使得t>t0时,A-tE|式0从而
A-tE可逆.这样矩阵A-tEB与BA-tE有相同的特征多项式•即
XE—（A—tEB=#E—B（A—tE
当t>to时皆成立.
将上式改写为
入E—AB+tB—BA+tB
对于每个固定的■，上式两端皆为t的多项式.又因为它们当t>to时总相等，从而恒等.故可令t=0,便有
hE-AB=»E-BA
从而AB与BA有相同的特征值与特征多项式.
证41设（AB）x=（x鼻0）
用B左乘上式，得
BABx二Bx
（1）若■=0,则Bx=0.
（否则若Bx=0,则有0二ABx二ABx='X.这与'-0和x=0矛盾.）
可见■也是BA的特征值.（此时，对应的特征向量是Bx.）
⑵若■=0,即AB有零特征值,则有
0E_BA=_BA=_B|A=|A_B=|0E_AB=0
即0也是BA的特征值.故AB的特征值也是BA的特征值.同理可证BA的特征值也是AB的特征值.故AB与BA有相同的特征值.
2.4特殊方阵乘积的特征值问题
命题5㈡设A、B均为n阶方阵，且A的n个特征值两两异，则A的特征向量恒为
B的特征向量的充要条件是AB=BA.
证因f，为A的特征多项式，且
则f■无重根.从而存在可逆阵T,使得
TJAT二
其中’1,'2,…,n为A的n个互异的特征值•
必要性设A的属于、的特征向量为=即
A;ij=■i,i=1,2/,n
则'1,'2,…,'n线性无关若〉i是B的特征向量,即
Bi二t「i,i=1,2,,n
t1
t2
tn丿
A®1，…，叫）=（%,…Qn）
A
■7、
A+、
具*1【1
ffJ
t2
——4
^2t2
+
PP
+
p=p
I
K丿
A-ntn丿
P=BA
AB=P'
P'二>1,…「n
充分性设:
<是A的属于'j的特征向量，i=1,2,…，n,V,j是;的特征子空间.因
■■■L,-1、'二2,,g互异，故
dimV]=1.
因为
AB=BA
所以
AB：
i=BA：
i=，iB：
i
此示
B：
iVi
从而Bi可由冷线性表出.即
B-i=ti-i,i=1,2/,n
所以:
i（i=1,2,,n）为B的特征向量.
由定义6可知，矩阵与线性变换之间存在一一对应的关系.那么，对于上述命题，我
们可以给出它的线性变换表述：
命题5设V是数域F上的n维向量空间，匚、•是V的线性变换，且;「的n个特
征值互异，则二的特征向量都是.的特征向量的充要条件是；「•-.厂.
证设二的n个互异的特征值为■「’2,…Jn,对应的特征向量分别为〉仆〉2,…，〉n
即
ci「〉i,i=1,2,,n
则〉1,〉2,_,〉n线性无关.
必要性若>1,>2,…n也是-的特征向量，即
=叫:
i,i=1,2，…，n
则
二'j_；"i_；-i
IsI：
®_•■:
二•j二.’Fj=■jL：
气='j叫〉i
于是
二：
i二二:
i,i=1,2,,n
而〉1,〉2「：
5线性无关，构成V的一组基.因此；「-•；「.
充分性若；「•-；「，则
二.冷_「j_j_.;二•j_,j「：
铝
于是
吗€叫={a|b（«）=扎©€V}=L（oti）
即
.：
j二叫:
j,i=1,2,…,n
这表明>1,>2，…/'n也是•的特征向量.
命题615丨设A是mn阶矩阵,B是nm阶矩阵,则AB的特征多项式fAB"与
BA的特征多项式fBA■有如下关系：
nm
fABfBA'
证1不妨设m_n（下同）,即证
KEm_AB=九m』》En_BA
当■-0时,考虑下列分块矩阵的初等变换
他Em-ABA〕仇EmA〕
5EmA
It
1
'、、0En丿IBEn丿
0E^-BA
k扎丿
第一个变换是将第二列右乘以B加到第一列上，第二个变换是将第一行左乘以-丄B
扎
加到第二行上，这两个变换均不改变矩阵行列式的值.即
九Em
A
扎Em-ABA
=
1
0En
0
En_—BA
扎
故
也就是
“m—AB
nm
=K
En-丄BA
nm—n=A
几En-BA
'"fAB，=^fBA
当■=0时,
若m>n,因为AB的秩小于m，故-AB二0.结论成立.
若m=n,显然结论也成立.
证2设A的秩等于r，则存在可逆m阶矩阵P和可逆n阶矩阵Q,使得
其中Bn是rr阶矩阵，则
因此
同理
Q』BAQ=
B11B12-
广Er0]lB21B22丿
<00丿lB210J
1
'Er
0、
‘Bn
B12'
B11B12
PABP=
<0
0丿
lB21
B22J
—
<0
0」
比较上面的两个式子即可得到结论.证3⑷
（1）先证明结论对m二n时成立.
（I）若A可逆，则BA二A’ABA.因此AB和BA相似.故它们有相同的特征多项
式•
（n）若A不可逆，令
At二tEnA
因为A（t）是t的多项式，且只有有限个零点，故存在0的一个充分小邻域，当^0在其
中时，A（t&0.即矩阵A（t）是可逆矩阵•这时有
kEn—A（t）B=»En—BA（tj
令t>0,由连续性得
九En-AB=入En-BA
（2）对一般情形若m>n
令
C=（AO）D=（BO）
其中C、D均为分块的mm矩阵.则
fBA01CD=AB，DC=
I。
0丿
故
AEm—AB丸Em—CD='"En—BA0—BA
0
对于上述命题,从特征值的角度，它又可以叙述为：
命题6设A是mn矩阵,B是nm矩阵，且m_n,则AB与BA有相同的非零
特征值•
证考虑m•n阶分块矩阵的乘法
Gab0、
'Em
A]
广AB
ABA]
广Em
A、
0、
<0
En厂
BA丿
<0
En>
BA」
'EA、
及m的可逆性，可知
3£.丿
广AB0^
‘0
0、
s
BA?
（AB0
又为下三角分块阵，其特征值为两个对角块AB和0的特征值的并（集）•类似
『00）
的,的特征值为BA和0的特征值的并（集）•从而AB与BA有相同的非零特征
BBA/
值•
推论1设A是mn矩阵,B是nm矩阵，则trAB=trBA.
证由命题6可知,AB与BA有相同的非零特征值.而矩阵的迹等于其全体特征值之和,即等于全体非零特征值之和.因此,trAB=trBA.
推论2设〉「是任意的n维列向量，则
tr_tr_「_tr_「_tr［「---■■
证由于一个n阶矩阵与它的转置矩阵对角元素相同，所以
F
tri：
汀：
i：
tri：
汀「trf-'再由推论1,有
tr--tr]
及
tr--tr:
川“
而：
•1是一个数，从而结论得证.
命题7钉复数域上nn矩阵A、B、C，若AB-BA=C,并且C可以与A和B交
换，即AC=CA,BC=CB,则C的特征值全为零.
证设C的特征值为it则存在可逆矩阵T,使得
所以
k
'I
T，k=1,2,…
从而
变为
ak
〜s,k=1,2,■
取前S个等式，因为范得蒙行列式
s
‘1
ri
此示C的非零特征值都是0重的.所以,C的特征值全为零.
3.应用举例
3.1在计算矩阵特征值中的应用
例1求矩阵C的特征多项式和特征值，其中
a2bn
a
C=
/a1b1
a2d
a
a〔b2…
a?
b2…
00
anb2…
anbnji
解令A工^包,…，a.,B=db，…，6，则C=AB.由命题6可知,AB与BA
n
的特征多项式仅差一个因子f而BA=送aibi为一阶矩阵,其特征多项式为
7
n
人E-BA=丸-》aQi.因此,C=AB的特征多项式为
i丄
nn_1
hE—C|=|kE—AB=九K-Haibi
iV
从而C的特征值为
推论3黒如果矩阵C可以分解为一个列向量Ah[ai,a2,…，an和一个行向量
B=b「b2,…，bn的乘积，则矩阵C的特征值为
=0,
特别地,右〉二ai,a2/',an,则方阵A---的特征值为’i二二’n和
注1在利用推论3求矩阵的特征值时，把矩阵分解为列向量和行向量的乘积是做题的关键点.
J1…1'
22…2
例2求矩阵C=:
:
:
的特征值.
屮n…n」
解令A=1,2，…，n,B=1,1/,1.由推论3知,C的特征值为
「n「0「n=12n』n1）
an
则C=AB.由命题6可知
代入上式,可求得C的n个特征值为
n
n
u丁2
九——a：
-z
ai
n
丸-》ai0
i丄
i-
n
i二
-艺ai
九-
n
0人-n
i二
n
AE—BA=
2
n-2
ai,'n二n・
注2本题若利用仏E-C=0直接求矩阵C的特征值，则非常麻烦.但是，通过巧设
矩阵A、B,使C二AB,由已知条件,BA却变成二阶对角矩阵，然后根据命题6,很容易求出C的特征值.
*0Jn'
例4求矩阵C=的全部特征值，其中Jn是每个元素为1的n阶方阵.
解令
■11/2…1/2、
•-11/2…1/2』
则C二AB.由命题6可知
代入上式，可求得矩阵C的特征值为
=，2n_2=0,，2n」=n,，n=_n・
解此题显然是上题的推广，只需要令
XE—C=促
则C=AB.由命题6可知
-AB
于是,可求得矩阵C的特征值为
n--na.
3.2在证明题中的应用
例6设AB均为n阶矩阵.证明:
方阵AB，A与BAA有相同的特征多项式.
证由于
ABA=ABE,BAApBEA
由命题2可知,ABE与BEA有相同的特征多项式.从而AB•A与BAA有相同的特征多项式.
例7⑴设AB均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵.证明：
E-AB与E-BA有相同的特征值.
证由于A与-B都是n阶方阵，由命题2可知
因为
AE—（E—ABp=|仇一1E+AB,KE—（E—BA）=|（兀一1E+BA
由⑵式（把'-1看成'），有
-1EAB--1EBA
所以
扎E-（E-AB|）=p・E-（E-BA即E-AB与E-BA有相同的特征值.
结束语
经过两个多月的学习和工作，我终于完成了《矩阵AB与BA的特征值与特征向量》的论文•从开始接到论文题目，到系统地实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间所完成的最大的项目•为了研究这一问题我查阅了相关的资料和书籍，让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰起来•通过对乘积矩阵的特征值问题进行分类讨论，力图更系统、更全面地体现乘积矩阵的特征值问题的相关结论.当然，在本文的论述过程中，也存在一些不成熟的地方，对某些问题的研究也不够深入，理论的研究与高等代数广阔的发展前景之间还存在着很大的距离，希望在今后的研究中能够有所突破•
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高等教育出版社，2003
致谢
首先,感谢我含辛茹苦的父母，没有他们的支持，我不可能完成大学的学业•
再次,感谢我的论文指导老师王忠梅老师的精心指导•这份毕业论文无不倾注着老师辛勤的汗水和心血.在我写毕业论文的整个过程中，王老师不时地对我进行认真指导,并给出了相当多的建议，不倦的教导使我深受启迪•在此，向我的论文指导老师致以最衷心的感谢和深深的敬意！
并且，向所有关心和帮助过我的老师和同学表示由衷的感谢•没有你们无私的帮
助,我也不能完成整个毕业论文的写作•真心谢谢你们！
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