安徽省安庆市桐城中学学年高二上学期期中考试数学理试题.docx

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安徽省安庆市桐城中学学年高二上学期期中考试数学理试题

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　）

3.7816  6572  0802  6314  0702  4369  9728  0198

4.3204  9234  4935  8200  3623  4869  6938  7481．

A.08B.07C.02D.01

5.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1,则事件A与事件B的关系是（）

A.互斥不对立B.对立不互斥

C.互斥且对立D.以上答案都不对

6.已知命题p：

∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为（　　）

A.：

B.：

C.：

D.：

7.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为（    ）

A.B.C.D.

8.已知p：

∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：

∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）

A.B.C.D.

9.已知：

a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）

A.B.C.D.

10.方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（）

A.一条线段和半个圆B.一条线段和一个圆

C.一条线段和半个椭圆D.两条线段

11.已知α，β∈（0，π），则“sinα+sinβ＜”是“sin（α+β）＜”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.

“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据=2.0946）（　　）

A.B.C.D.

13.已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=2b，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.C.D.

14.已知椭圆C：

，直线y=x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA•kPB∈，则离心率e的取值范围为（　　）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

15.命题“若x=1且y=2，则x+y=3”的逆否命题是______

16.为配合学校对学生进行交通安全教育，特作如下随机调查：

向被调查者提出两个问题：

17.

（1）你的学号是偶数吗？

18.

（2）你是否闯过红灯？

要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第

（1）问题，否则回答第

（2）问题．被调查者不必告诉调查人自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答．

19.如果随机调查了300人，其中有90人回答了“是”，由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是______

20.P为椭圆上一点，A（1，0），则|PA|最小值为______

21.已知椭圆Γ：

（a＞b＞0），过其右焦点F且倾斜角为30°的直线与Γ相交A，B两点，且，则椭圆Γ离心率为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

22.已知命题P：

关于x的方程x2+（m-3）x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：

∃x∈（-1，1），使x2-x-m=0成立，命题s：

方程的图象是焦点在x轴上的椭圆

23.

（1）若命题s为真，求实数m的取值范围；

24.

（2）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+2（a为常数）．

33.

（1）求不等式f（x）＞0的解集；

34.

（2）当a＞0时，若对于任意的x∈[3，4]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.在平面直角坐标系中，M（1，0），N（4，0），动点R满足|RN|=2|RM|．

43.

（1）求点R的轨迹方程C；

44.

（2）过点P（1，0）的直线l与

（1）中的轨迹方程C交于点A，B，且|PA|=2|PB|．求直线l的方程．

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.已知在圆M：

（x+1）2+y2=12内有一点A（1，0）．Q为圆M上一点，AQ的垂直平分线与点M，Q的连线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

53.（Ⅰ）求曲线C的方程；

54.（Ⅱ）若，求△PMA的面积．

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离．

63.为了解A，B两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A，B两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

电动摩托车编号

1

2

3

4

5

A型续航里程（km）

120

125

122

124

124

B型续航里程（km）

118

123

127

120

a

已知A，B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等．

（1）求a的值；

（2）求A型号被测试电动摩托车续航里程方差和标准差的大小；

（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A，B型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km的概率．

（注：

n个数据x1，x2…，xn的方差s2=[（x1-）2+（x2）2+（xn-）2]其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）

64.已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．

65.

（1）求椭圆C的方程；

66.

（2）设与圆O：

x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．

【解答】

解：

∵a，b∈R，（a-b）a2＜0，

∴a＜b成立，

由a＜b，则a-b＜0，∴（a-b）a2≤0，

所以，根据充分必要条件的定义可判断得：

a，b∈R，则“（a-b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，

故选A．

2.【答案】D

【解析】解：

从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．

可知对应的数值为08，02，14，07，01，

则第5个个体的编号为01．

故选：

D．

根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．

本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．

3.【答案】D

【解析】【分析】

通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案.

本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．

【解答】

解：

若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，

但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，

所以事件A与B的关系是不确定的．

故选D.

4.【答案】C

【解析】解：

命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

即命题的否定是：

￢p：

∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，

故选：

C．

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．

5.【答案】C

【解析】【分析】

​本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

​利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．

【解答】

​解：

焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，

可得a+b=10，

​2c=4，c=2，即a2-b2=20，

解得a2=36，b2=16，

所求椭圆方程为：

．

故选C．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

​对于m命题p：

方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：

由x2-x-1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．

【解答】

解：

对于m命题p：

方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：

∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：

命题p是真命题．

对于命题q：

由x2-x-1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．

∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），

故选B．

7.【答案】C

【解析】解：

由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，

由于输出的数为4，

故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，

从集合A中任取三个数有=10种取法，

其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，

故概率P=．

故选：

C．

由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

本题考查的知识点是程序框图，古典概型，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．

8.【答案】A

【解析】​解：

由方程（3x-y+1）（y-）=0得y-=0（-1≤x≤1）或3x-y+1=0，

∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆．

故选：

A．

由原方程可得y-=0（-1≤x≤1）或3x-y+1=0，进一步求出的轨迹得答案．

本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义，是中档题．

9.【答案】A

【解析】解：

∵α，β∈（0，π），sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ＜，

∴α，β∈（0，π），则“sinα+sinβ＜”是“sin（α+β）＜”的充分不必要条件．

故选：

A．

α，β∈（0，π），sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ＜，即可判断出结论．

本题考查了三角函数化简、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

10.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题．

由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：

=0.8269，所以=0.8269，又=2.0946，所以π≈3.1419，得解．

【解答】

解：

由几何概型中的面积型可得：

​

=0.8269，

所以=0.8269，

所以

=2.0946，

所以π≈3.1419，

故选：

A．

11.【答案】C

【解析】解：

如图，F1由题意，|OA|=2b，所以|F1B|=4b，

又|PF2|=|PB|，|F1B|=|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|=2a=4b，

所以a=2b，c=，所以e=，

故选：

C．

由中位线定理得到|F1B|=4b，再利用椭圆的定义得到a=2b，代入求出即可．

本题利用了椭圆的定义，中位线定理等，求出离心率，中档题．

12.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题.

设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），求kPA•kPB的值得到a，b的不等式，再计算e的范围即可.

【解答】

解：

设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

∴kPA•kPB=，

又，，

两式做差，得，

∴kPA•kPB=，故．

所以．

故选：

B．

13.【答案】若x+y≠3，则x≠1或y≠2．

【解析】解：

由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：

若x+y≠3，则x≠1或y≠2，

故答案为：

若x+y≠3，则x≠1或y≠2．

根据逆否命题的定义直接进行求解即可．

本题主要考查四种命题的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．

14.【答案】30

【解析】解：

要调查300名学生，

在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，

∴第一个问题可能被询问150次，

∵在被询问的150人中有75人学号是偶数，而有90人回答了“是”，

∴估计有90-75=15个人闯过红灯，即在150人中有15个人闯红灯，

∴根据概率的知识来计算这300人中有过闯过红灯的人数为15×2=30，

故答案为：

30．

在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问150次，在被询问的150中有75人学号是奇数，比90人多出来的人数就是闯过红灯的人数，按照比例得到结果．

本题考查实际推断原理和假设检验，是一个基础题，但是题干比较长，这样给我们读懂题意带来困难，不能弄懂题意是本题的难点，属于中档题．

15.【答案】

【解析】解：

椭圆上一点，A（1，0），设P（2cosa，sina），

则|PA|2=（2cosa-1）2+sin2a

=3cos2a-4cosa+2

=3（cosa-）2+，

当cosa=时，|PA|最小值为．

故答案为：

设椭圆的参数方程P（2cosa，sina），根据距离公式求最值即可．

本题利用参数方程法，两点间的距离公式，配方法求出最值，中档题．

16.【答案】

【解析】解：

利用椭圆的极坐标方程|AF|=，|BF|=|=，

由，得ecosa=，所以e=．

故答案为：

利用椭圆的极坐标方程和，求出e．

考查焦半径的计算，离心率的计算，基础题．

17.【答案】解：

（1）命题s为真时，即命题s：

方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；

∴4-m＞m＞0，∴0＜m＜2；

故命题s为真时，实数m的取值范围为：

（0，2）；

（2）当命题p为真时，f（x）=x2+（m-3）x+m满足f

（1）＜0，

即2m-2＜0，所以m＜1．

命题q为真时，方程m=x2-x在（-1，1）有解，

当x∈（-1，1）时，x2-x∈[，2），则m∈[，2），

由于p∨q为真，￢q为真；

所以q为假，p为真；

则，得；∴m＜；

故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为（-∞，）．

【解析】

（1）结合椭圆的标准方程，求出命题为真命题的等价条件即可．

（2）若p∨q为真，￢q为真时，则p真假q，求出对应的范围即可．

本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题p，q，s为真命题的等价条件是解决本题的关键．属于基础题．

18.【答案】解：

（1）不等式f（x）＞0化为ax2-（a+2）x+2＞0，

即（ax-2）（x-1）＞0，

①a=0时，不等式变为-2（x-1）＞0，解得x＜1；

②a＞0时，不等式变为（x-）（x-1）＞0，

若a＞2，则＜1，解得x＞1或x＜，

若a=2，则=1，解得x≠1，

若0＜a＜2，则＞1，解得x＞或x＜1；

③a＜0时，不等式变为（x-）（x-1）＜0，解得＜x＜1；

综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：

a=0时，x∈（-∞，1）；

​0＜a＜2时，x∈（-∞，1）∪（，+∞）；

a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）；

a＞2时，x∈（-∞，）∪（1，+∞）；

a＜0时，x∈（，1）；

（2）由

（1）知：

①0＜a＜2时，f（x）＞0，x∈（-∞，1）∪（，+∞），

需[3，4]⊂（-∞，1）∪（，+∞），

∴＜3，即2＜3a，解得a＞；

②a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞），符合条件；

③a＞2时，f（x）＞0．x∈（-∞，）∪（1，+∞），

则[3，4]⊂（-∞，）∪（1，+∞），显然也成立；

综上所述，符合条件的a的取值范围是a＞．

【解析】本题考查了利用分类讨论法求不等式的解集问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．

（1）不等式化为（ax-2）（x-1）＞0，讨论①a=0、②a＞0和③a＜0时，求出对应不等式的解集；

（2）根据

（1）知f（x）＞0的解集情况，再讨论[3，4]是不等式f（x）＞0的解集的子集即可．

19.【答案】解：

（1）设点R（x，y），因为|RN|=2|RM|．所以RN2=4RM2，

即（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，化简得x2+y2=4；

（2）设l：

y=k（x-1），圆心到直线l的距离为d，如图，

作OQ⊥AB交AB于点Q，所以QB=AB，因为PA=2PB，所以PB=AB，则QP=AB，

即有QB：

QP=3：

1，根据勾股定理则有，

所以，解得，

所以l的方程为：

．

【解析】

（1）设点R（x，y），利用条件即可求出R点轨迹；

（2）设直线l的方程，利用|PA|=2|PB|．可求出圆心到直线l的距离d，进而可求出k．

本题考查点的运动轨迹方程，属于中档题．

20.【答案】解：

（1）

如图，根据中垂线的性质可知PQ=PA，

由条件已知M（-1，0），r=，所以AM=2，

则PM+PA=PM+PQ=MQ=r=＞2=AM，

所以点P的运动轨迹为椭圆，设其方程为（a＞b＞0），

则a=，c=1，所以b2=2，则曲线C为：

，

（2）如图，△PMA中且|PM|+|PA|=，

所以|PM|2+|PA|2=（|PM|+|PA|）2-2|PM||PA|=，

设PA，PM夹角为θ，

根据余弦定理：

cosθ==，

所以sinθ=，

则==．

【解析】

（1）数形结合，结合中垂线性质可得PM+PA=PM+PQ=＞AM，所以点P的运动轨迹是椭圆，再根据条件求出a，b即可．

（2）利用余弦定理求出PA，PM夹角，利用面积公式即可求面积．

本题考查椭圆轨迹求法，牢记椭圆第一定义，数形结合是关键，属于中档题．

21.【答案】解：

（1）=120+=123（km），

=120+，

∵，∴120+=123，

解得a=127．

（2）设A型号被测试电动摩托车续航里程的方差为，

则=[（120-123）2+（125-123）2+（122-123）2+（124-123）2+（124-123）2]=，

∴标准差为=．

（3）设A型号电动摩托车为A1，A2，A3，A4，A5，B型号摩托车为B1，B2，B3，B4，B5，

从被测试的电动摩托车中随机抽取A，B型号电动摩托车各一台，不同的抽取方法有：

n=5×5=25种，

设事件C：

“至少有1台摩托车续航里程不超过122km”，

则事件为：

“抽取的两台摩托车续航里程都不超过122km”的选法有：

（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4种，

∴至少有1台的续航里程超过122km的概率：

P（C）=1-P（）=1-．

【解析】

（1）先分别求出A，B两种型号电动摩托车续航里程的平均值，由二者的平均值相等，能求出a．

（2）先求出A型号被测试电动摩托车续航里程的方差，由此能求出标准差．

（3）设A型号电动摩托车为A1，A2，A3，A4，A5，B型号摩托车为B1，B2，B3，B4，B5，利用列举法和对立事件概率计算公式能求出至少有1台的续航里程超过122km的概率．

本题考查平均数、方差、标准差、概率的求法，考查列举法和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

22.【答案】解：

（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，

点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，

解得a=，b=1，

即有椭圆的方程为+y2=1；

（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，

S△OAB=××=；

②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，

x1+x2=-，x1x2=，

由直线l与圆O：

x2+y2=相切，可得=，

即有4m2=3（1+k2），

|AB|=•=•

=•=•

=•≤•=2，

当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，

可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，

即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．

【解析】

（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：

d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：

d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．