几何经典模型半角模型.docx
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几何经典模型半角模型
半角模型
1
已知如图：
①/2=1/AOB:
②OA=OB.
2
B
连接FB，将△FOB绕点0旋转至△FOA的位置,可得△OEF◎△OEF'
模型分析
•/△OBF◎△OAF
•••/3=/4,OF=OF'.
1
•/2=丄/AOB,
2
•••/1+/3=/2
•••/1+/4=/2
又•••OE是公共边，
•△OEF◎△OEF'.
（1）半角模型的命名：
存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点;
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°,120。
含60°.
模型实例
例1已知，正方形ABCD中，/MAN=45，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.
（1）求证：
BM+DN=MN.
（2）作AH丄MN于点H，求证：
AH=AB.
证明：
（1）延长ND到E,使DE=BM,
•••四边形ABCD是正方形，•••AD=AB.
在△ADE和△ABM中，
Ad=ab
#ADE=ZB
DE=BM
•△ADE◎△ABM.
•AE=AM，/DAE=/BAM
•••/MAN=45，•/BAM+/NAD=45°
•/MAN=/EAN=45°.
在AAMN和△AEN中，
MA=EA
#MAN=NEAN
AN=AN
•△AMN◎△AEN.
•MN=EN.
•BM+DN=DE+DN=EN=MN
（2）由
（1）知，AAMN也厶AEN.
•Saamn=Saaen.
刚11
即一AHMNADEN.
22
又•••MN=EN,
•AH=AD.
即AH=AB.
liMC
例2在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且
/MDN=6°，/BDC=120,BD=DC.探究：
当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是;
（2）如图②，当D佯DN时，猜想
（1）问的结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明.
图①图②
解答
（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN
（2）猜想：
BM+NC=MN.
证明：
如图③，延长AC至E,使CE=BM，连接DE.
•/BD=CD，且/BDC=120°,
•••/DBC=/DCB=30°.
又•••△ABC是等边三角形，
•••/ABC=/ACB=60°.
•••/MBD=/NCD=90°.
在厶MBD与厶ECD中，
•/DB=DC，/DBM=/DCE=90°,BM=CE,
•△MBD◎△ECD（SAS）.
•DM=DE，/BDM=/CDE.
•••/EDN=/BDC-/MDN=60.
在厶MDN和△EDN中，
•/MD=ED，/MDN=/EDN=60°,DN=DN,
•△MDN◎△EDN（SAS）.
•MN=NE=NC+CE=NC+BM.
图③
例3如图，在四边形ABCD中，/B+/ADC=180,AB=AD,E、F分别是BC、CD延
长线上的点，且/EAF=-/BAD.求证：
EF=BE-FD.
2
证明：
在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.
•••/B+/ADC=180°，/ADF+/ADC=180°,•••/B=/ADF.
在△ABG和△ADF中，
AB=AD
=ZADF
BG二DF
•••△ABG◎△ADF（SAS）.
•••/BAG=/DAF,AG=AF.
•••/GAF=/BAD.
•••/EAF=-/BAD=丄/GAF.
22
•••/GAE=/EAF.
在△AEG和△AEF中，
AG=AF
」ZGAE=NFAE
AE=AE
•△AEG◎△AEF（SAS）
•EG=EF.
•/EG=BE-BG,
•EF=BE-FD.
练习：
MAN=45
1已知，正方形ABCD,M在CB延长线上，N在DC延长线上,求证：
MN=DN-BM.
【答案】
证明：
如图，在DN上截取DE=MB，连接AE,•••四边形ABCD是正方形，
•••AD=AB，/D=/ABC=90°.
在AABM和AADE中，
“D=AB
=NABM
BM=DE
•△ABMADE.
•AM=AE,/MAB=/EAD.
•••/MAN=45=/MAB+/BAN,
•••/DAE+/BAN=45°.
•••/EAN=90°-45=45°=/MAN.在AAMN和△AEN中，
AM=AE
AN二AN
•△ABM◎△ADE.
•MN=EN.
•/DN-DE=EN.
•DN-BM=MN.
2.已知，如图①在Rt△ABC中，/BAC=90°,AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若/DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：
把AAEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE',连接E'D使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）
当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，
（1）中探究的结论是否发生改变？
请说明你的猜想并给予证明.
图①图②
【答案】
解答：
（1）猜想：
DE2=BD2+EC2.
证明：
将AAEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，如图①
•••△ACE◎△ABE'.
•••BE'=ECAE'=AE/C=/ABE'，/EAC=/E'AB在RtAABC中，
•/AB=AC,
•••/ABC=/ACB=45°.
•••/ABC+/ABE'=90；即/E'BD=90°
•E'B+bd2=e'D
又•••/DAE=45°,
•••/BAD+/EAC=45°.
•••/E'ABkBAD=45°，即/E'AD=45.
•△AE'D^AAED.
•DE=DE.
222
•DE=BD+EC.
图①
（2）结论：
关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
证明：
作/FAD=/BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②
•••△AFD◎△ABD.
•••FD=DB，/AFD=/ABD.
又•••AB=AC,
•AF=AC.
•••/FAE=/FAD+/DAE=/FAD+45。
/EAC=/BAC-/BAE=90°-（/DAE-/DAB）=90°（45°/DAB）=45°+/DAB,•••/FAE=/CAE.
又•••AE=AE,
•△AFE◎△ACE.
•FE=EC，/AFE=/ACE=45°.
/AFD=/ABD=180°-ZABC=135°.
•••/DFE=ZAFD-ZAFE=135°-45=90°
在RtADFE中，DF+FE=DE.
即DE=BD+EC.
图②
3.已知，在等边△ABC中，点0是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线
AC、BC上，且ZMON=60.
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图②，当C昨CN时，M、N分别在边AC、BC上时，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系.
（4）
图①
（2）成立；
证明：
如图②，在AC上截取AE=CN，连接0E、OA、0C.
•/0是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形,
•••OA=OC，/OAE=/OCN=30，/AOC=120.
又•••AE=CN,
•△OAEOCN.
•OE=ON，/AOE=/CON.
•••/EON=/AOC=120.
•••/MON=6°,
•••/MOE=/MON=60.
•△MOE◎△MON.
•ME=MN.
•AM=AE+ME=CN+MN.
图②
（3）如图③，AM=MN-CN
N
图③
4.如图，在四边形ABCD中，/B+/D=180°AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的1
点，且BE+FD=EF.求证：
/EAF=—/BAD.
2
【答案】
证明：
如图，把△ADF绕点A顺时针旋转/DAB的度数得到△ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,
•••AG=AF,BG=DF，/ABG=/D，/BAG=/DAF.
•••/ABC+/D=180,
•••/ABC+/ABG=180.
•••点G、B、C共线.
•/BE+FD=EF,
•BE+BG=GE=EF.
在AAEG和△AEF中，
AG=AF
AE=AE
EG=EF
•△AEG◎△AEF.
•••/EAG=/EAF.
•••/EAB+/BAG=/EAF.
又•••/BAG=/DAF,
•••/EAB+/DAF=/EAF.
1
•••/EAF=/BAD.
2
以上王志强录入
DF、BE之间有怎样的数量关系？
请写出结论并证明.
（3）在
（2）中，若BC=4,DC=7,CF=2,求厶CEF的周长（直接写出结论）
5.如图①，已知四边形ABCD，/EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E,连接EF.
（1）若四边形ABCD为正方形，当/EAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
（只需直接写出结论）
1
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB=AD，/ABC与/ADC互补，当/EAF=/BAD时，EF与
2
图①图②
解答：
（1）EF=DF-BE
（2）EF=DF-BE
证明：
如图，在DF上截取DM=BE,连接AM,
•••/D+ZABC=ZABE+ZABC=180°
•/D=ABE
•/AD=AB
在厶ADM和厶ABE中，
DM=BE
MD二ABE
AD=AB
•••△ADM^AABE
•••AM=AE,ZDAM=ZBAE
1
vZEAF=ZBAE+ZBAF=—ZBAD,
2
1
•ZDAM+ZBAF=—ZBAD
2
1
•••/MAF=/BAD
2
•••/EAF=ZMAF
在厶EAF和厶MAF中
AE二AM
I
匸EAF二/MAF
AF=AF
•△EAF^AMAF
•EF=MF
•/MF=DF-DM=DF-BE,
•EF=DF-BE
（3）tEF=DF-BE
•△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF
=BC+CD+2CF=15
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