高考北京卷文科综合试题及参考答案.docx
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高考北京卷文科综合试题及参考答案
2006年普通高等学校夏季招生考试数学（文史类）北京卷（新课程）
一、选择题（本大题共8题,共计40分）
1、（5分）
（1）设集合A=，B=，则A∩B等于
（A） （B）
（C） （D）
2、（5分）
（2）函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
3、（5分）
（3）若a与b-c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b-c）”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4、（5分）
（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个 （B）24个
（C）18个 （D）6个
5、（5分）
（5）已知f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）（1，+∞） （B）（-∞，3） （C）[，3] （D）（1，3）
6、（5分）
（6）如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么
（A）b=3，ac=9 （B）b=-3，ac=9
（C）b=3，ac=-9 （D）b=-3，ac=-9
7、（5分）
（7）设A，B，C，D是空间四个不同的点．在下列命题中，不正确的是
（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面
（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
（C）若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
（D）若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
8、（5分）
（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数（假设：
单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
（A）x1>x2>x3
（B）x1>x3>x2
（C）x2>x3>x1
（D）x3>x2>x1
二、填空题（本大题共6题,共计30分）
1、（5分）
（9）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于______________.
2、（5分）
（10）在（x-）7的展开式中，x3的系数是__________.（用数字作答）
3、（5分）
（11）已知函数f（x）=ax-4a+3反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于_____________.
4、（5分）
（12）已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）且a≠±b，那么a+b与a-b的夹角的大小是_____________.
5、（5分）
（13）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c.若sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8，则a︰b︰c=_____________，∠B的大小是_____________.
6、（5分）
（14）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_____________，最大值等于_____________.
三、解答题（本大题共6题,共计80分）
1、（12分）
（15）已知函数f（x）=.
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=－，求f（α）的值.
2、（13分）
（16）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示.求：
（Ⅰ）x0的值；
（Ⅱ）a，b，c的值.
3、（14分）
（17）如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.
（Ⅰ）求证：
BD⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小.
4、（13分）
（18）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：
考试三门课程，至少有两门及格为考试通过：
方案二：
在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．
5、（14分）
（19）椭圆C：
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.
6、（14分）
（20）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式.
2006年普通高等学校夏季招生考试数学（文史类）北京卷（新课程）
一、选择题（本大题共8题,共计40分）
1、（5分）
A
解析：
A={x|x＜1},则A∩B={x|x＜1}∩{x|-3＜x＜2}={x|-3＜x＜1}
2、（5分）
B
解析：
y=cosx图象关于y轴对称，而y=1+cosx是由y=cosx向上平移1个单位而得，其对称性不改变.
3、（5分）
C
解析：
由
∵均为非零向量 ∴cosθ=0即夹角为90°，∴
反之若 则 即·-·=0 ∴·=·
故“·=·”是的充分必要条件.
4、（5分）
A
解析：
若各位数字之和为偶数 则需2个奇数字 1个偶数字
奇数字的选取为C
偶数字的选取为C ∴所求为 C·C·A=36
5、（5分）
D
解析：
当x＜1时，（3-a）x-4a为增函数 则需3-a＞0 ∴a＜3
当x≥1时， logax为增函数，则需a＞1 综合可知1＜a＜3.
6、（5分）
B
解析：
由等比数列的对称性可知 b2=（-1）×（-9）=9,ac=（-1）×（-9）=9
∴b=±3 而b=（-1）·q2＜0 ∴b=3舍 ∴b=-3,ac=9
7、（5分）
C
解析：
对于选项（A）若AC与BD共面，不妨设共面于α，则A、B、C、D∈α
这样ADα，BCα 则AD与BC共面.
选项（B）假设AD与BC为共面直线，由上述（A）的解析可知AC与BD共
面这与前提“AC与BD为异面直线”矛盾，故AD与BC是异面直线.
选项（D）如图示取BC中点M，由AB=AC DB=DC得AM⊥BC DM⊥BC
又AM∩DM=M
∴BC⊥面AMD ∴BC⊥AD
选项（C）无法判断
8、（5分）
C
解析：
设由路口A直接进入路口B的车辆为a辆，则x1=50+a
x2=60+a x3=55+a 故 x2＞x3＞x1
二、填空题（本大题共6题,共计30分）
1、（5分）
4
解析：
由A、B、C三点共线 知∥，即（a-2,-2）∥（-2,2）,则 2（a-2）=4
∴a=4.
2、（5分）
84
解析：
Tr+1=Cx7-r·（-）r=（-2）r·C·x7-2r 令7-2r=3 ∴r=2
代回系数（-2）r·C=（-2）2·C=84
3、（5分）
2
解析：
由原函数与反函数的关系可知原函数必过点（2，-1），代入f（x）=ax-4a+3得-1=a2-4a+3 ∴a=2
4、（5分）
解析：
||=，||=
∴（+）·（-）=||2-||2=0 设夹角为θ
则cosθ= ∴θ=
5、（5分）
5︰7︰8
解析：
由正弦定理sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c=5:
7:
8
令a=5k,b=7k,c=8k（k＞0）
则由余弦定理 cosB=，又B为三角形内角
∴B=60°
6、（5分）
解析：
如图示可行域为△ABC，其中A（1，1），B（2，2），C（1，3）
则|PO|min=|AO|=
|PO|max=|CO|=
三、解答题（本大题共6题,共计80分）
1、（12分）解：
（Ⅰ）由cosx≠0得x≠kπ+，（k∈Z），
故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}.
（Ⅱ）因为tanα=-，且α是第四象限的角，
所以sinα=-，cosα=，
故f（α）=
=
=
=.
2、（13分）解法一：
（Ⅰ）由图象可知，在（-∞，1）上f′（x）＞0，在（1，2）上f′（x）＜0，
在（2，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，
因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1.
（Ⅱ）f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′
（1）=0，f′
（2）=0，f
（1）=5，
得
解得a=2，b=-9，c=12.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设f′（x）=m（x-1）（x-2）=mx2-3mx+2m，
又f′（x）=3ax2+2bx+c，
所以a=，b=-m，c=2m，
f（x）=mx2+2mx.
由f
（1）=5，
即m+2m=5，
得m=6，
所以a=2，b=-9，c=12
3、（14分）
解法一：
（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC1.
∵ABCD是正方形,
∴BD⊥AC.
又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1.
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C1O.
∵CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，
∴BD⊥C1O，
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，
∴∠C1OC=60°.
连接A1B.
∵A1C1∥AC，
∴∠A1C1B是BC1与AC所成角.
设BC=a，则CO=a，CC1=CO·tan60°=a，A1B=BC1=a，
A1C1=a.
在△A1BC1中，由余弦定理得
cosA1C1B=，
∴∠A1C1B=arccos，
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos.
解法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系D-xyz，如图.
设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C1（0，a，b），
∴=（-a，-a，0），=（-a，a，0），=（0，0，b），
∴·=0，·=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC1.
又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1.
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