通用版高考数学一轮复习21函数及其表示讲义文.docx

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通用版高考数学一轮复习21函数及其表示讲义文

第一节函数及其表示

一、基础知识批注——理解深一点

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域：

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

求函数定义域的策略

（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

（2）如果函数y＝f（x）是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

（3）如果函数y＝f（x）是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．

（2）函数的三要素：

定义域、值域和对应关系．

（3）相等函数：

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．

（4）函数的表示法：

表示函数的常用方法有：

解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

关于分段函数的3个注意

（1）分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

（3）各段函数的定义域不可以相交．

二、基础小题强化——功底牢一点

（1）对于函数f：

A→B，其值域是集合B.（　　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（　　）

（3）函数是一种特殊的映射．（　　）

（4）若A＝R，B＝（0，＋∞），f：

x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．（　　）

（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）×

（二）选一选

1．函数y＝log2（2x－4）＋的定义域是（　　）

A．（2,3）　　　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）

解析：

选D　由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2（2x－4）＋的定义域为（2,3）∪（3，＋∞）．

2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是（　　）

A．y＝（）2B．y＝＋1

C．y＝＋1D．y＝＋1

解析：

选B　对于A，函数y＝（）2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

3．函数y＝＋1的值域为（　　）

A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）

C．[0，＋∞）D．[1，＋∞）

解析：

选D　函数y＝＋1的定义域为[1，＋∞），且在[1，＋∞）上为增函数，所以当x＝1时，y取得最小值1.故函数的值域为[1，＋∞）．

（三）填一填

4．设函数f（x）＝若f（a）＋f（－1）＝2，则a＝________.

解析：

若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；

若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.

故a＝±1.

答案：

±1

5．已知f＝x2＋5x，则f（x）＝________.

解析：

令t＝，则x＝（t≠0），即f（t）＝＋，

∴f（x）＝（x≠0）．

答案：

（x≠0）

[典例]　

（1）（2019·长春质检）函数y＝＋的定义域是（　　）

A．[－1,0）∪（0,1）　　　　B．[－1,0）∪（0,1]

C．（－1,0）∪（0,1]D．（－1,0）∪（0,1）

（2）已知函数f（x）的定义域为（－1,0），则函数f（2x＋1）的定义域为（　　）

A．（－1,1）B.

C．（－1,0）D.

[解析]　

（1）由题意得解得－1

所以原函数的定义域为（－1,0）∪（0,1）．

（2）令u＝2x＋1，由f（x）的定义域为（－1,0），可知－1

得－1

[答案]　

（1）D　

（2）B

[解题技法]

1．使函数解析式有意义的一般准则

（1）分式中的分母不为0；

（2）偶次根式的被开方数非负；

（3）y＝x0要求x≠0；

（4）对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；

（5）正切函数y＝tanx，x≠kπ＋（k∈Z）；

（6）实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

2．抽象函数的定义域问题

（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；

（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域．

定义域，是何意，自变量，有意义；

分式分母不为零，对数真数只取正；

偶次根式要非负，三者结合生万物；

和差积商定义域，不等式组求交集；

抽象函数定义域，对应法则内相同．

[题组训练]

1.函数f（x）＝＋的定义域为（　　）

A．[－2,0）∪（0,2]B．（－1,0）∪（0,2]

C．[－2,2]D．（－1,2]

解析：

选B　由得－1

2.若函数y＝f（x）的定义域是[1,2019]，则函数g（x）＝的定义域是________________．

解析：

因为y＝f（x）的定义域是[1,2019]，

所以若g（x）有意义，应满足

所以0≤x≤2018，且x≠1.

因此g（x）的定义域是{x|0≤x≤2018，且x≠1}．

答案：

{x|0≤x≤2018，且x≠1}

[典例]　

（1）已知二次函数f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，求f（x）；

（2）已知函数f（x）满足f（－x）＋2f（x）＝2x，求f（x）．

[解]　

（1）法一：

待定系数法

因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f（2x＋1）＝a（2x＋1）2＋b（2x＋1）＋c＝4ax2＋（4a＋2b）x＋a＋b＋c.

因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以f（x）＝x2－5x＋9（x∈R）．

法二：

换元法

令2x＋1＝t（t∈R），则x＝，

所以f（t）＝42－6·＋5＝t2－5t＋9（t∈R），

所以f（x）＝x2－5x＋9（x∈R）．

法三：

配凑法

因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5＝（2x＋1）2－10x＋4＝（2x＋1）2－5（2x＋1）＋9，

所以f（x）＝x2－5x＋9（x∈R）．

（2）解方程组法

由f（－x）＋2f（x）＝2x，①

得f（x）＋2f（－x）＝2－x，②

①×2－②，得3f（x）＝2x＋1－2－x.

即f（x）＝.

故f（x）的解析式是f（x）＝（x∈R）．

[解题技法]　求函数解析式的4种方法及适用条件

（1）待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数．

（2）换元法

对于形如y＝f（g（x））的函数解析式，令t＝g（x），从中求出x＝φ（t），然后代入表达式求出f（t），再将t换成x，得到f（x）的解析式，要注意新元的取值范围．

（3）配凑法

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式．

（4）解方程组法

已知关于f（x）与f或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

解析式，如何定，待定换元解方程；

已知函数有特征，待定系数来确定；

复合函数问根源，内函数，先换元；

两个函数有关系，方程组中破玄机．

[提醒]　由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．

[题组训练]

1.已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，则f（x）＝________________.

解析：

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax2＋bx.

又由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，

得a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f（x）＝x2＋x（x∈R）．

答案：

x2＋x（x∈R）

2.已知f＝lgx，则f（x）＝________________.

解析：

令＋1＝t，得x＝，则f（t）＝lg，又x>0，所以t>1，故f（x）的解析式是f（x）＝lg（x>1）．

答案：

lg（x>1）

3.已知f（x）满足2f（x）＋f＝3x，则f（x）＝________.

解析：

∵2f（x）＋f＝3x，①

把①中的x换成，得2f＋f（x）＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f（x）＝2x－（x≠0）．

答案：

2x－（x≠0）

考法

（一）　求函数值

[典例]　（2019·石家庄模拟）已知f（x）＝（0

A．－2　　　　　　　　　B．2

C．3D．－3

[解析]　由题意得，f（－2）＝a－2＋b＝5，①

f（－1）＝a－1＋b＝3，②

联立①②，结合0

所以f（x）＝

则f（－3）＝－3＋1＝9，f（f（－3））＝f（9）＝log39＝2.

[答案]　B

[解题技法]　求分段函数的函数值的策略

（1）求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；

（2）当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值；

（3）当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

考法

（二）　求参数或自变量的值（或范围）

[典例]　（2018·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝则满足f（x＋1）

A．（－∞，－1]B．（0，＋∞）

C．（－1,0）D．（－∞，0）

[解析]　法一：

分类讨论法

①当即x≤－1时，

f（x＋1）

即－（x＋1）<－2x，解得x<1.

因此不等式的解集为（－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1

f（x＋1）

因此不等式的解集为（－1,0）．

④当即x>0时，f（x＋1）＝1，f（2x）＝1，不合题意．

综上，不等式f（x＋1）

法二：

数形结合法

∵f（x）＝

∴函数f（x）的图象如图所示．

结合图象知，要使f（x＋1）

则需或

∴x<0，故选D.

[答案]　D

[解题技法]

已知函数值（或范围）求自变量的值（或范围）的方法

（1）根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值（或范围）是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来（求并集）即可；

（2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．

[题组训练]

1．设f（x）＝若f（a）＝f（a＋1），则f＝（　　）

A．2B．4

C．6D．8

解析：

选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f（a）＝，f（a＋1）＝2（a＋1－1）＝2a，

∵f（a）＝f（a＋1），∴＝2a，

解得a＝或a＝0（舍去）．

∴f＝f（4）＝2×（4－1）＝6.

当a≥1时，a＋1≥2，f（a）＝2（a－1），f（a＋1）＝2（a＋1－1）＝2a，

∵f（a）＝f（a＋1），∴2（a－1）＝2a，无解．

综上，f＝6.

2．已知函数f（x）＝则f（f（3））＝________.

解析：

由题意，得f（3）＝f

（2）＝f

（1）＝21＝2，

∴f（f（3））＝f

（2）＝2.

答案：

2

3．（2017·全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>1的x的取值范围是________．

解析：

由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．

①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，

故－

②当01，显然成立．

③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．

综上可知，所求x的取值范围是.

答案：

4．设函数f（x）＝若f（a）<1，则实数a的取值范围是____________．

解析：

若a<0，则f（a）<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3

若a≥0，则f（a）<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1.

综上可得－3

答案：

（－3,1）

1．下列所给图象是函数图象的个数为（　　）

A．1　B．2

C．3D．4

解析：

选B　①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.

2．函数f（x）＝＋的定义域为（　　）

A．[0,2）B．（2，＋∞）

C．[0,2）∪（2，＋∞）D．（－∞，2）∪（2，＋∞）

解析：

选C　由题意得解得x≥0，且x≠2.

3．已知f＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，

则4a－1＝6，解得a＝.

4．（2019·贵阳检测）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　）

A．y＝B．y＝lnx

C．y＝D．y＝

解析：

选D　对于A，定义域为[1，＋∞），值域为[0，＋∞），不满足题意；对于B，定义域为（0，＋∞），值域为R，不满足题意；对于C，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，－1）∪（0，＋∞），不满足题意；对于D，y＝＝1＋，定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），值域也是（－∞，1）∪（1，＋∞）．

5．（2018·福建期末）已知函数f（x）＝若f（a）＝3，则f（a－2）＝（　　）

A．－B．3

C．－或3D．－或3

解析：

选A　当a>0时，若f（a）＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2（满足a>0）；当a≤0时，若f（a）＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f（a－2）＝f（0）＝4－2－1＝－.

6．已知函数y＝f（2x－1）的定义域是[0,1]，则函数的定义域是（　　）

A．[1,2]B．（－1,1]

C.D．（－1,0）

解析：

选D　由f（2x－1）的定义域是[0,1]，

得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，

∴f（x）的定义域是[－1,1]，

∴要使函数有意义，

需满足解得－1

7．下列函数中，不满足f（2018x）＝2018f（x）的是（　　）

A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x－|x|

C．f（x）＝x＋2D．f（x）＝－2x

解析：

选C　若f（x）＝|x|，则f（2018x）＝|2018x|＝2018|x|＝2018f（x）；若f（x）＝x－|x|，则f（2018x）＝2018x－|2018x|＝2018（x－|x|）＝2018f（x）；若f（x）＝x＋2，则f（2018x）＝2018x＋2，而2018f（x）＝2018x＋2018×2，故f（x）＝x＋2不满足f（2018x）＝2018f（x）；若f（x）＝－2x，则f（2018x）＝－2×2018x＝2018×（－2x）＝2018f（x）．故选C.

8．已知具有性质：

f＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①f（x）＝x－；②f（x）＝x＋；③f（x）＝

其中满足“倒负”变换的函数是（　　）

A．①②B．①③

C．②③D．①

解析：

选B　对于①，f（x）＝x－，f＝－x＝－f（x），满足题意；对于②，f＝＋x＝f（x），不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f（x），满足题意．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

9．（2019·青岛模拟）函数y＝ln＋的定义域为________．

解析：

由⇒⇒0

所以该函数的定义域为（0,1]．

答案：

（0,1]

10．（2019·益阳、湘潭调研）若函数f（x）＝则f（f（－9））＝________.

解析：

∵函数f（x）＝∴f（－9）＝lg10＝1，∴f（f（－9））＝f

（1）＝－2.

答案：

－2

11．（2018·张掖一诊）已知函数f（x）＝若f（a）＋f

（1）＝0，则实数a的值等于________．

解析：

∵f

（1）＝2，且f

（1）＋f（a）＝0，∴f（a）＝－2＜0，故a≤0.

依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.

答案：

－3

12．已知f（x）＝使f（x）≥－1成立的x的取值范围是________．

解析：

由题意知或

解得－4≤x≤0或0＜x≤2，

故所求x的取值范围是[－4,2]．

答案：

[－4,2]

13．设函数f（x）＝且f（－2）＝3，f（－1）＝f

（1）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在如图所示的直角坐标系中画出f（x）的图象．

解：

（1）由f（－2）＝3，f（－1）＝f

（1），得

解得所以f（x）＝

（2）函数f（x）的图象如图所示．