深圳市中考数学第20题拿分必练有详细答案.docx

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深圳市中考数学第20题拿分必练有详细答案

2020广东省中考数学第20题拿分必练

1．（2020春•武川县期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：

BD＝EC；

（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

2．（2020•龙岗区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：

四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

3．（2020春•江阴市期中）如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．

（1）求证：

△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；

（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？

如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

4．（2020春•硚口区期中）在正方形ABCD中，点E、G分别在AD和CD上．

（1）如图1，若BG＝CE，求证：

BG⊥CE；

（2）如图2，点F在DC的延长线上，若AE＝CF，BG⊥EF于点H，求证：

①AE+AB＝

AH；

②如图3，若P为AB的中点，AB＝8，PH＝

，求FG的长．

5．（2020•沈河区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．

（1）求证：

四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是　　．

6．（2020•房山区二模）如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．

（1）求证：

四边形DBEF是矩形；

（2）若AB＝5，cos∠ABD＝

，求DF的长．

7．（2020春•下陆区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：

OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．

8．（2020•济宁模拟）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．

（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

2020广东省中考数学第20题拿分必练

1．（2020春•武川县期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：

BD＝EC；

（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

【分析】

（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．

【解答】

（1）证明：

∵菱形ABCD，

∴AB＝CD，AB∥CD，

又∵BE＝AB，

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴BD＝EC；

（2）解：

∵平行四边形BECD，

∴BD∥CE，

∴∠ABO＝∠E＝50°，

又∵菱形ABCD，

∴AC丄BD，

∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．

【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．

2．（2020•龙岗区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：

四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

【分析】

（1）根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；

（3）根据AC＝6，AB＝8，即可求菱形ADCF的面积．

【解答】解：

（1）证明：

∵E是AD的中点

∴AE＝DE

∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

在△AEF和△DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS）

∴AF＝DB

∴四边形ADCF是平行四边形

∵∠BAC＝90°，

D是BC的中点

∴AD＝CD＝

BC

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：

法一、

设AF到CD的距离为h，

∵AF∥BC，

AF＝BD＝CD，

∠BAC＝90°，

∴S菱形ADCF＝CD•h

＝

BC•h

＝S△ABC

＝

AB•AC

＝

．

法二、

连接DF

∵AF＝DB，

AF∥DB

∴四边形ABDF是平行四边形

∴DF＝AB＝8

∴S菱形ADCF＝

AC•DF

＝

．

法三、

∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，

∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24．

答：

菱形ADCF的面积为24．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握以上基础知识．

3．（2020春•江阴市期中）如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．

（1）求证：

△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；

（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？

如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【分析】

（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；

（2）利用

（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；

（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．

【解答】

（1）证明：

∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，

∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，

在Rt△ADQ和Rt△ACQ中

∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；

（2）解：

∵△ACQ≌△ADQ，

∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，

在Rt△AOP和Rt△ADP中

∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），

∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，

∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝

∠DAC+

∠DAO＝

（∠DAC+∠DAO）＝

∠OAC＝45°，

PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；

（3）解：

四边形BECD可为矩形，如图，

若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ，

∵BC＝8，

∴BQ＝CQ＝4，

设P点坐标为（x，0），则PO＝x，

∵OP＝PD，CQ＝DQ，

∴PD＝x，DQ＝4，

在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，

∴（x+4）2＝42+（8﹣x）2，解得x＝

，

∴P点坐标为（

，0）．

【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在

（1）中注意HL的应用，在

（2）中证得Rt△AOP≌Rt△ADP是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

4．（2020春•硚口区期中）在正方形ABCD中，点E、G分别在AD和CD上．

（1）如图1，若BG＝CE，求证：

BG⊥CE；

（2）如图2，点F在DC的延长线上，若AE＝CF，BG⊥EF于点H，求证：

①AE+AB＝

AH；

②如图3，若P为AB的中点，AB＝8，PH＝

，求FG的长．

【分析】

（1）先判断出Rt△BCG≌Rt△CDE（HL），得出∠CBG＝∠DCE，即可得出结论；

（2）①先判断出△BCF≌△BAE（SAS），得出BE＝BF，再判断出∠BHA＝∠EHM，进而判断出∠ABH＝∠MEH，得出△EMH≌△BAH（ASA），得出AB＝EM，进而判断出△AHM是等腰直角三角形，即可得出结论；

②先判断出∠BHM＝∠EHN，进而判断出△BHM≌△EHN（AAS），得出HM＝HN，进而得出MH＝AM，再根据勾股定理求出x＝1，即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠BCG＝∠D＝90°，

在Rt△BCG和Rt△CDE中，

，

∴Rt△BCG≌Rt△CDE（HL），

∴∠CBG＝∠DCE，

∵∠DCE+∠BCE＝90°，

∴∠CBG+∠BCE＝90°，

∴BG⊥CE；

（2）①证明：

如图2，连接BE，BF，过点H作HM⊥AH交AD的延长线于M，

∵AE＝CF，∠BCF＝90°＝∠BAE，BC＝AB，

∴△BCF≌△BAE（SAS），

∴BE＝BF，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∵BG⊥EF，

∴BH＝HE＝FH，

∵∠BHE＝∠EHG＝90°，

∴∠BHA＝∠EHM，

∵∠BAE＝∠BHE＝90°，

∴∠ABH+∠AEH＝180°＝∠MEH+∠AEH，

∴∠ABH＝∠MEH，

∴△EMH≌△BAH（ASA），

∴AB＝EM，AH＝HM，

∵∠AHE+∠AHB＝90°＝∠MHE+∠AHE，

∴△AHM是等腰直角三角形，

∴AM＝

AH，

∴AE+AB＝AE+EM＝AM＝

AH；

②如图3，过点H作HM⊥AB于M，HN⊥AD于N，

∴∠AMH＝∠ANH＝∠A＝90°，

∴四边形AMHN是矩形，

∴∠MHN＝90°＝∠BHE，

∴∠BHM＝∠EHN，

由①知，BH＝HE，

∴△BHM≌△EHN（AAS），

∴HM＝HN，BM＝EN

∴四边形AMHN是正方形，

∴MH＝AM，

∵P为AB的中点，AB＝8，

∴AP＝

AB＝4，

设PM＝x，

∴MH＝AM＝x+4，

在Rt△PMH中，PH＝

，根据勾股定理得，PM2+HM2＝PH2，

∴x2+（x+4）2＝26，

∴x＝﹣5（舍）或x＝1，

∴PM＝1，

∴EN＝BM＝BP﹣PM＝3，

∴AE＝AN﹣EN＝MH﹣EN＝5﹣3＝2，

∴DF＝CF+CD＝AE+CD＝10，

设FG＝m，则DG＝10﹣FG＝10﹣m，

由①知，EH＝FH，

∵BG⊥EF，

∴EG＝FG＝m，

在Rt△DEG中，根据勾股定理得，m2＝62+（10﹣m）2，

∴m＝

，

∴FG＝

．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，判断出BH＝HE＝FH是解本题的关键．

5．（2020•沈河区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．

（1）求证：

四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是　3

　．

【分析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据已知条件得到得到CE＝18．根据勾股定理得到AC＝6

，于是得到结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴平行四边形AECF是矩形；

（2）解：

∵AE＝12，AD＝13，

∴AB＝13，

∴BE＝5，

∵AB＝BC＝13，

∴CE＝18，

∴AC＝

＝

＝6

，

∵对角线AC，BD交于点O，

∴AO＝CO＝3

．

∴OE＝3

，

故答案为：

3

．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．

6．（2020•房山区二模）如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．

（1）求证：

四边形DBEF是矩形；

（2）若AB＝5，cos∠ABD＝

，求DF的长．

【分析】

（1）根据菱形的性质得出CE＝CD，CF＝CB，再根据矩形的判定证明即可．

（2）连接AC，利用菱形的性质得出AC，进而得出DF即可．

【解答】证明：

（1）∵CE＝CD，CF＝CB，

∴四边形DBEF是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB．

∴CE＝CF，

∴BF＝DE，

∴四边形DBEF是矩形．

（2）连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OD＝OB，OC＝OA，

由

（1）得四边形DBEF是矩形，

∴DF⊥BD，

∴AC∥DF，

∴OC＝

DF，

∵AB＝5，cos∠ABD＝

，

∴OB＝3，

∴OA＝OC＝4，

∴DF＝8．

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和矩形的判定解答．

7．（2020春•下陆区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：

OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．

【分析】

（1）证△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为8且E为OM的中点知OH＝HA＝4、HM＝8，再根据勾股定理得OM的长，由直角三角形性质知MN＝OM问题得解．

【解答】解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM＝ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为8，

∴OH＝HA＝4，

∵E为OM的中点，

∴HM＝8，

则OM＝

＝4

，

∴MN＝

OM＝4

．

【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．

8．（2020•济宁模拟）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．

（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【分析】

（1）先根据正方形的性质得：

∠DBC＝∠CDB＝45°，则∠DBP＝45°﹣α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO＝BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；

（2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE＝CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：

OC＝OB＝OP＝OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：

BP＝

，所以BP＝

．

【解答】解：

（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，

∴∠DBC＝∠CDB＝45°，

∵∠PBC＝α，

∴∠DBP＝45°﹣α，

∵PE⊥BD，且O为BP的中点，

∴EO＝BO，

∴∠EBO＝∠BEO，

∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2α；

（2）连接OC，EC，

在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝CE，

在Rt△BPC中，O为BP的中点，

∴CO＝BO＝

，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠COP＝2α，

由

（1）知∠EOP＝90°﹣2α，

∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，

又由

（1）知BO＝EO，

∴EO＝CO．

∴△EOC是等腰直角三角形，

∴EO2+OC2＝EC2，

∴EC＝

OC＝

，

即BP＝

，

∴BP＝

．

【点评】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第

（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．