线性代数第五版答案.docx
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线性代数第五版答案
第六章 线性空间与线性变换
1.验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.
（1）2阶矩阵的全体S1;
解设AB分别为二阶矩阵,则ABS1因为
（AB）S1kAS1
所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
是S1的一个基.
（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2;
解设
ABS2因为
所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
是S2的一个基.
（3）2阶对称矩阵的全体S3.
解设ABS3则ATABTB因为
（AB）TATBTAB（AB）S3
（kA）TkATkAkAS3
所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.
是S3的一个基.
2.验证:
与向量（001）T不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.
解设V{与向量（001）T不平行的全体三维向量}设r1（110）Tr2（101）T则r1r2V但r1r2（001）TV即V不是线性空间.
3.设U是线性空间V的一个子空间,试证:
若U与V的维数相等,则UV
证明 设12n为U的一组基,它可扩充为整个空间V的一个基,由于dim（U）dim（V）从而12n也为V的一个基,则:
对于xV可以表示为xk11k22krr显然,xU,故VU,而由已知知UV有UV
4.设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间,a1a2ar是Vr的一个基.试证:
Vn中存在元素ar1an,使a1a2ar,ar1an成为Vn的一个基.
证明设rn,则在Vn中必存在一向量ar1Vr,它不能被a1a2ar线性表示,将ar1添加进来,则a1a2ar1是线性无关的.若r1n,则命题得证,否则存在ar2L（a1a2ar1）则a1a2ar2线性无关,依此类推,可找到n个线性无关的向量
a1a2an,它们是Vn的一个基.
5.在R3中求向量（371）T在基1（135）T2（632）T3（310）T下的坐标.
解设123是R3的自然基则
（123）（123）A
（123）（123）A1
其中
因为
所以向量在基123下的坐标为（3382154）T.
6.在R3取两个基
1（121）T2（233）T3（371）T
1（314）T2（521）T3（116）T
试求坐标变换公式.
解设123是R3的自然基则
（121）（123）B
（123）（121）B1
（121）（123）A（121）B1A
其中
设任意向量在基123下的坐标为（x1x2x3）T则
故在基123下的坐标为
.
7.在R4中取两个基
e1（1000）Te2（0100）Te3（0010）Te4（0001）T
1（2111）T2（0310）T3（5321）T3（6613）T
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;
解由题意知
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
（2）求向量（x1x2x3x4）T在后一个基下的坐标;
解因为
向量在后一个基下的坐标为
.
（3）求在两个基下有相同坐标的向量.
解令
解方程组得
（k为常数）
8.说明xOy平面上变换
的几何意义,其中
（1）
;
解因为
所以在此变换下T（）与关于y轴对称
（2）
;
解因为
所以在此变换下T（）是在y轴上的投影
（3）
;
解因为
所以在此变换下T（）与关于直线yx对称
（4）
.
解因为
所以在此变换下T（）是将顺时针旋转
9.n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个
维线性空间.给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换T（A）PTAP称为合同变换.试证合同变换T是V中的线性变换.
证明设ABV则ATABTB
T（AB）PT（AB）PPT（AB）TP
[（AB）P]TP（APBP）TP
（PTAPTB）PPTAPPTBPT（A）T（B）
T（kA）PT（kA）PkPTAPkT（A）
从而,合同变换T是V中的线性变换.
10.函数集合
V3{（a2x2a1xa0）ex|a2a1a0R}
对于函数的线性运算构成3维线性空间,在V3中取一个基
1x2ex2xex3ex
求微分运算D在这个基下的矩阵.
解设
1D
（1）2xexx2ex221
2D
（2）exxex32
3D（3）ex3
易知123线性无关,故为一个基.
由
知即D在基123下的矩阵为
11.2阶对称矩阵的全体
.
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