线性代数第五版答案.docx

1、线性代数第五版答案第六章线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S1; 解 设A B分别为二阶矩阵, 则A B S1 因为(A B) S1 kA S1 所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 是S1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2; 解 设 A B S2 因为 所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 是S2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S3. 解 设A B S3 则AT A BT B 因为 (A B)T AT BT A B (A B) S3 (kA)

2、T kAT kA kA S3 所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间. 是S3的一个基. 2. 验证: 与向量(0 0 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V 与向量(0 0 1)T不平行的全体三维向量 设r1 (1 1 0)T r2 ( 1 0 1)T 则r1 r2 V 但r1 r2 (0 0 1)T V 即V不是线性空间. 3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相等, 则U V 证明设 1 2 n为U的一组基, 它可扩充为整个空间V的一个基, 由于dim(U) dim(V) 从而 1 2 n也为V的一个基, 则: 对于

3、x V可以表示为x k1 1 k2 2 kr r 显然, x U, 故V U, 而由已知知U V 有U V 4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间, a1 a2 ar是Vr的一个基. 试证: Vn中存在元素ar 1 an, 使a1 a2 ar, ar 1 an成为Vn的一个基. 证明 设r n, 则在Vn中必存在一向量ar 1 Vr, 它不能被a1 a2 ar线性表示, 将ar 1添加进来, 则a1 a2 ar 1是线性无关的. 若r 1 n, 则命题得证, 否则存在ar 2 L(a1 a2 ar 1) 则a1 a2 ar 2线性无关, 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1 a2 an

4、, 它们是Vn的一个基. 5. 在R3中求向量 (3 7 1)T在基 1 (1 3 5)T 2 (6 3 2)T 3 (3 1 0)T下的坐标. 解 设 1 2 3是R3的自然基 则 ( 1 2 3) ( 1 2 3)A ( 1 2 3) ( 1 2 3)A 1 其中 因为 所以向量 在基 1 2 3下的坐标为(33 82 154)T. 6. 在R3取两个基 1 (1 2 1)T 2 (2 3 3)T 3 (3 7 1)T 1 (3 1 4)T 2 (5 2 1)T 3 (1 1 6)T 试求坐标变换公式. 解 设 1 2 3是R3的自然基 则 ( 1 2 1) ( 1 2 3)B ( 1 2

5、 3) ( 1 2 1)B 1 ( 1 2 1) ( 1 2 3)A ( 1 2 1)B 1A 其中 , 设任意向量 在基 1 2 3下的坐标为(x1 x2 x3)T 则 故 在基 1 2 3下的坐标为 . 7. 在R4中取两个基 e1 (1 0 0 0)T e2 (0 1 0 0)T e3 (0 0 1 0)T e4 (0 0 0 1)T 1 (2 1 1 1)T 2 (0 3 1 0)T 3 (5 3 2 1)T 3 (6 6 1 3)T (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为 (2)求向量(x1 x2 x3 x4)T在后一个基下的坐标

6、; 解 因为 向量 在后一个基下的坐标为. (3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令,解方程组得(k为常数) 8. 说明xOy平面上变换的几何意义, 其中 (1); 解 因为 所以在此变换下T( )与 关于y轴对称 (2); 解 因为 所以在此变换下T( )是 在y轴上的投影 (3); 解 因为 所以在此变换下T( )与 关于直线y x对称 (4). 解 因为 所以在此变换下T( )是将 顺时针旋转 9. n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间. 给出n阶矩阵P, 以A表示V中的任一元素, 变换T(A) PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换. 证明 设A

7、 B V 则AT A BT B T(A B) PT(A B)P PT(A B)TP (A B)PTP (AP BP)TP (PTA PTB)P PTAP PTBP T(A) T(B) T(kA) PT(kA)P kPTAP kT(A) 从而, 合同变换T是V中的线性变换. 10. 函数集合V3 (a2x2 a1x a0)ex | a2 a1 a0 R对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V3中取一个基 1 x2ex 2 xex 3 ex 求微分运算D在这个基下的矩阵. 解 设 1 D( 1) 2xex x2ex 2 2 1 2 D( 2) ex xex 3 2 3 D( 3) ex 3 易知 1 2 3线性无关, 故为一个基.由 知即D在基 1 2 3下的矩阵为 11. 2阶对称矩阵的全体 .