北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》解析版.docx

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北师大版八年级数学下册单元测试《第1章三角形的证明》解析版

《第1章三角形的证明》

一、选择题

1．如果三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，则这个三角形为（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形

2．下面命题不正确的是（　　）

A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形

B．两个外角相等的三角形是等腰三角形

C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=2

4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）

A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°

5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F的度数是（　　）

A．40B．70C．50D．45

6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6B．7C．8D．9

7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）

A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里

二、填空题

8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是　　．

9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是　　．

10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　　．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

三、解答题

11．证明题：

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：

PB≠PC．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：

（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？

请你在图②中画出图形，并简要说明画法．

（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．

（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在

（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．

《第1章三角形的证明》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如果三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，则这个三角形为（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，可设三角形的三个内角分别为：

x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：

x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．

【解答】解：

∵三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，

∴设三角形的三个内角分别为：

x，x，2x，

∴x+x+2x=180°，

解得：

x=45°，

∴三角形的三个内角度数分别为：

45°，45°，90°．

∴这个三角形为等腰直角三角形．

故选：

D．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：

1：

2，设三角形的三个内角分别为：

x，x，2x，利用方程思想求解．

2．下面命题不正确的是（　　）

A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形

B．两个外角相等的三角形是等腰三角形

C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

【考点】等腰三角形的判定．

【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．

【解答】解：

A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；

B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；

C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；

D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．

3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=2

【考点】反证法．

【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

【解答】解：

用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：

a=﹣2，

∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；

故选：

A．

【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．

4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）

A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°

【考点】反证法．

【专题】证明题．

【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．

【解答】解：

设三角形的三个角分别为：

a，b，c．

假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，

则a+b+c＜60°+60°+60°，

即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．

所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．

故选B．

【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F的度数是（　　）

A．40B．70C．50D．45

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．

【解答】解：

∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，

∴EB=ED，

∴∠EDB=∠B=70°，

∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B，

∴∠EDB=∠ACB，

∴EF∥AC，

∵E是AB的中点，

即BE=AE，

∴BD=CD，

在△EBD和△FCD中，

，

∴△EBD≌△FCD（SAS），

∴∠F=∠BED=40°．

故选A．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．

6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6B．7C．8D．9

【考点】等腰三角形的判定．

【专题】分类讨论．

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：

①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．

【解答】解：

如上图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．

故选：

C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）

A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里

【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．

【专题】应用题．

【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．

【解答】解：

MN=2×40=80（海里），

∵∠M=70°，∠N=40°，

∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，

∴∠NPM=∠M，

∴NP=MN=80（海里）．

故选：

D．

【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．

二、填空题

8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是　6　．

【考点】等腰三角形的判定与性质．

【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，

即△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=36°，

∴∠BAC=108°，

∵∠DAE=∠EAC=36°，

∴∠BAD=36°，

∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，

∴△ABD，△ACE是等腰三角形，

∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，

∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．

故答案为：

6．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是　9　．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【专题】压轴题．

【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，

∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，

∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，

∴OD=BD，OE=CE，

∵AB=5，AC=4，

∴△ADE的周长为：

AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．

故答案为：

9．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　②③④　．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

【考点】等腰三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．

【解答】解：

应添加的条件是②③④；

证明：

②当∠BAD=∠CAD时，

∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；

则△ABD≌△ACD，

∴△BAC是等腰三角形；

③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC，

∴DE=DF，又AD⊥BC；

∴△AEF是等腰三角形；

∴∠E=∠F；

∵AB=BE，

∴∠ABC=2∠E；

同理，得∠ACB=2∠F；

∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；

∵AB﹣BD=AC﹣CD①，

∴AB+BD=AC+CD②；

∴①+②得：

，

2AB=2AC；

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

故答案为：

②③④．

【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．

三、解答题

11．证明题：

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：

PB≠PC．

【考点】反证法．

【专题】证明题．

【分析】运用反证法进行求解：

（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．

（2）从假设出发推出与已知相矛盾．

（3）得到假设不成立，则结论成立．

【解答】证明：

假设PB≠PC不成立，则PB=PC；

∵在△ABP和△ACP中，

，

∴△ABP≌△ACP，

∴∠APB=∠APC；

与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．

【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．

【专题】作图题．

【分析】

（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于

GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=

×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，

理由是：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF平分∠EAC，

∴∠EAF=∠FAC，

∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=

∠EAC+

∠BAC=

×180°=90°，

即△ADF是直角三角形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，

∴AD=AF，

即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．

13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：

（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？

请你在图②中画出图形，并简要说明画法．

（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．

（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在

（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．

【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．

【分析】

（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；

（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；

（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．

【解答】解：

（1）能．

画法：

作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．

（2）∵PQ∥OA，

∴∠QPR=∠OCD，

又∵∠QPR=∠AOB，

∴∠OCD=∠AOB．

∴OD=CD．

即△OCD是以OC为底的等腰三角形．

（3）如图②．

【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．