-x2|最大，即转化为求（x1-x2）max，
问题可转化为（如图所示）A（x1,y1）到y=x+1（x<0）
距离的最大值问题．此时需过A点的切线与y=x+1平行．
当x>0时，f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=1，则x1=1，A（1,0），x2=-1
所以|x1-x2|的最大值为2．
二．填空题：
13．e+1
14．60︒
15．2
16．27
16【解析】由题意可知S∆ABC=12acsin150︒=14ac=
3，得ac=4
3．设BD=x，则
S∆BCD+S∆ABD=
1
ax+
3
cx=4
，可得x=
4
3
，当且仅当a=
c时x取到最大
3
3
4
4
a+
3c
值，所以a=2
3，c=2，由余弦定理可得b=2
7．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a1=4，公差d>0，a4是a2与a8的等
比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
2{1}nT
（）求数列S前项和为n．
n
【解析】
（1）∵a2，a4，a8成等比数列，
∴a42=a2a8，
文科数学试题第1页（共10页）
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∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），……………………………………2分
∴（4+3d）2=（4+d）（4+7d），
解得d=4或d=0，
∵d>0，
∴d=4．
………………………………………………………4分
∴数列{a
}的通项公式a
=a+
（n-1）d=4n（n∈N*）．…………………6分
n
n
1
（2）∵Sn
=
n（a1+an）
=2n2+2n，…………………………………………8分
2
∴
1
=
1
=
1
（
1
-
1
），
………………………………………10分
Sn
2n2+2n
n
n+1
2
∴Tn=1+1+......+1
S1S2Sn
1
⎡
1
1
1
1
1
1
⎤
1
1
）．……………12分
=
⎢（
-
）+（
-
）++（
-
）⎥
=
（1-
2
1
2
2
3
n
n+1
2
n+1
⎣
⎦
【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．
18．（本小题满分12分）
工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．
质量指标Y
[9.4,9.8）
[9.8,10.2]
（10.2,10.6]
频数
8
24
16
一年内所需维护次数
2
0
1
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：
若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
文科数学试题第2页（共10页）
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【解析】
（1）指标Y的平均值=9.6⨯
1
+10⨯
3
+10.4⨯
2
≈10.07．……………2分
6
6
6
（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8,10.2]内的有3件，记为
A1、A2、A3；指标Y在（10.2,10.6]内的有2件，记为B1、B2；指标Y在[9.4,9.8）内的有
1件，记为C．
…………………3分
从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：
（A1,A2）、（A1,A3）、（A1,B1）、
（A1,B2）、（A1,C）、（A2,A3）、（A2,B1）、（A2,B2）、（A2,C）、（A3,B1）、（A3,B2）、（A3,C）、
（1
2
）（1
）（2
）
…………………5分
B
B
、B
C、B
C
．
[
9.8,10.2
]
（
1
2
）（1
3
）（2
3
）
其中，指标Y都在
内的基本事件有3
个：
A
A
、A
A
、A,A
．
…………………6分
所以由古典概型可知，2
件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率为P=
3
=
1
．
5
15
…………………7分
（3）不妨设每件产品的售价为x元，
假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的
消费费用为η=
1
⨯（48x+16⨯300+8⨯600）=x+200元；
…………………9分
48
假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48（x+100）元，一年内
只有8件产品要花费维护，需支出8⨯300=2400元，平均每件产品的消费费用
ξ=
1
⨯⎡48
（x+100）+8⨯300⎤=x+150元．
…………………11分
48
⎣
⎦
所以该服务值得消费者购买．
…………………12分
【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，PD=DC，AD⊥PC．
（1）求证：
AC=AP；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，∠ADC=120︒，AD=DC=4，求点B到平面
PAC的距离．
文科数学试题第3页（共10页）
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【解析】
（1）证明：
取PC中点M，连接AM，DM，……1分
PD=DC，且M为PC中点，
\DM⊥PC，………………………………2分AD⊥PC，ADDM=D，…………………3分
\PC⊥平面ADM，………………………………4分
AM⊂平面ADM，
\PC⊥AM，……………………………………5分
M为PC中点，
\AC=PA．……………………………………6分
（2）过点P作PH垂直AD延长线于点H，连接CH，……………………7分
平面APD⊥平面ABCD，平面APD平面ABCD=AD，
PH⊂平面APD，PH⊥AD，
\PH⊥平面ABCD，……………………………8分
CH⊂平面ABCD，
\PH⊥CH，………………………………9分
PD=DC，AD=AD，AC=AP，∴∆ADP≅∆ADC，
∴∠ADC=∠ADP=120︒，
∴PD=CD=AD=4，AC=AP=4
3，
PH=CH=2
3，PC=2
6．…………………10分
设hB为点B到平面PAC的距离，
由于VP-ABC=VB-ACP，可得13S∆ABC⋅PH=13S∆ACP⋅hB，
S∆ABC=
1
⨯4⨯4⨯
3
=4
，
3
2
2
S∆ACP=
1
⨯2
⨯
=6
，
6
42
7
…………………………………………11分
2
所以hB=477．
即点B到平面PAC的距离为477．…………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、
文科数学试题第4页（共10页）
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等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
20．（本小题满分12分）
设抛物线C：
y2=4x，直线l:
x-my-2=0与C交于A，B两点．
（1）若AB=4
6，求直线l的方程；
（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：
以MN
为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．
1
⎧x=my+2,
消去x并整理，得
y
-4my-8
=0
……………1
⎨
【解析】（）由
⎩y2
=4x,
2
，
分
显然∆=16m2+32>0，设A（x1,y1），B（x2,y2），
由韦达定理可得，y1
+y2=4m，y1⋅y2=-8，…………………………………3分
AB=
m2+1⋅y1-y2=
m2+1⋅
（y1+y2）2-4y1y2，
∴
AB
=4m2+1⋅m2+2=4
6
，
………………………………………4分
∴m2=-4（舍去）或m2=1，
∴m=±1，
∴直线方程为x-y-2=0或x+y-2=0．
………………………………5分
（2）设AB的中点M的坐标为（xM,yM），则yM=
y1+y2
=2m，
2
又x1+x2=m（y1+y2）+4=4m2+4，
∴x=
x1+x2
=2m2+2，……………………………………………………6分
M
2
∴M（2m2+2,2m），由题意可得N（0,2m），
…………………………………7分
设以MN为直径的圆经过点P（x0,y0）
则PM=（2m2+2-x0,2m-y0），PN=（-x0,2m-y0），…………………8分
由题意可得，PM⋅PN=0，
即（4-2x）m2-
4ym+x2
+y2
-2x
=0，
………………………………9分
0
0
0
0
0
⎧
4-
2x0
，
⎪
=0
=0，
……………………………………………10分
由题意可知⎨4y0
⎪x2+y2
-2x=0，
⎩
0
0
0
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∴x0=2，y0=0，…………………………………………………11分
∴定点（2,0）即为所求．………………………………………………………12分
【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养．
21．（本小题满分12分）
（
ax+2
）
ex-x-2其中
a
2
已知函数f（x）=
>-．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[-1,0]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．
1
a=0
f（x）=2e
-x-2
f（x）=2e
-1
………………1
【解析】（）当
时，
x
，
'
x
．
分
由f'（x）>0解得x>-ln2，由f'（x）<0解得x<-ln2．
故函数f（x）在区间[-1,-ln2]上单减，在区间[-ln2,0]上单增．
…………2分
∴f（x）min=f（-ln2）=ln2-1．
……………………3分
∵f（-1）=2e-1<0，f（0）=0，
∴f（x）max=f（0）=0．
……………………………………4分
（2）法一：
令g（x）=f'（x）=（ax+a+2）ex-1，则g'（x）=（ax+2a+2）ex．
（i）当a=0时，由
（1）知，与题意不符；
…………………5分
⎛
2⎫
⎛
2
⎫
（ii）当a>0时，由g'（x）>0
⇒
x>-ç2+
⎪，g'（x）<0⇒x<-ç2
+
⎪．
a
a
⎝
⎭
⎝
⎭
⎛
2⎫
-2-
2
∴g（x）min=gç-2-
⎪=-ae
a-1<0，
⎝
a⎭
∵g（0）=a+1>0，
∴此时函数f'（x）存在异号零点，与题意不符．
……………………6分
（iii）当-20
，可得x
<
⎛
2+
2
⎫
-ç
⎪，
a
⎝
⎭
⎛
2⎫
由g'（x）<0可得x>-ç2+
⎪．
⎝
a⎭
⎛
2⎫
⎛
2
⎫
∴g（x）在ç-∞,-2-
⎪上单调递增，在ç-2-
，+∞⎪上单调递减．
a
⎝
a⎭
⎝
⎭
文科数学试题第6页（共10页）
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
⎛
2
⎫
-2-
2
故g（x）max=gç
-2-
⎪
=-ae
a
-1．
……………………7分
a
⎝
⎭
2
由题意知，-ae-2-
-1≤0恒成立．
……………………8分
a
令-2-a2=t，则上述不等式等价于et≤2t+1，其中t>-1．……………9分易证，当t>0时，et>t+1>2t+1，
又由
（1）的结论知，当t∈（-1，0]时，et≤2t+1成立．…………………11分
由-1<-2-a2≤0，解得-2综上，当-2…12分
2
f（-1）=e-1<0
f（x）
R
…6
（）法二：
因为
'
2
，所以函数
不可能在
上单调递增．
分
所以，若函数f（x）为R上单调函数，则必是单调递减函数，即f'（x）≤0恒成立．
由f'（0）=a+1≤0可得a≤-1，
故f'（x）≤0恒成立的必要条件为-2令g（x）=f'（x）=（ax+a+2）ex-1，则g'（x）=（ax+2a+2）ex．
当-20
，可得x
⎛
2
2
⎫
<-ç
+
⎪，
a
⎝
⎭
由g'（x）<0可得x
⎛
2⎫
>-ç2+
⎪，
⎝
a⎭
⎛
2
⎫
⎛
2
⎫
∴g（x）在ç-∞,-2-
⎪上单调递增，在ç
-2-
，+∞⎪上单
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