江苏省高考文科数学试题解析.docx
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江苏省高考文科数学试题解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
（1）样本数据
x1,x2,,xn的方差
n
22
1
s（xx）
i
n
i1
其中
n
1
xx
i
n
i1
（2）直柱体的侧面积Sch，其中c为底面周长，h是高
（3）柱体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h是高
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．。
1、已知集合A{1,1,2,4},B{1,0,2},则AB_______,
答案：
－1，2
解析：
考察简单的集合运算，容易题。
2、函数f（x）log5（2x1）的单调增区间是__________
1
答案：
+
（－，）
2
解析：
考察函数性质，容易题。
3、设复数i满足i（z1）32i（i是虚数单位），则z的实部是_________
答案：
1
解析：
简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、根据如图所示的伪代码，当输入a,b分别为2，3时，最后输出的m的值是________
答案：
3
解析：
考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
1
答案：
3
解析：
简单考察古典概型的概率计算，容易题。
2
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___
s
16
答案：
5
解析：
考察方差的计算，可以先把这组数都减去6再求方差，
16
5
，容易题。
7、已知tan（x）2,则
4
tan
tan
x
2x
的值为__________
4
答案：
9
解析：
考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
tan（x）1
2
1tanxtanx1tanx4
（－）4
tantan（）,
x＝x＝＝
2tanx
443tan2x29
tan（x）1
2
41－tanx
8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数
两点，则线段PQ长的最小值是________
f
2
（x）的图象交于P、Q
x
答案：
4
解析：
考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。
设交点为
2
（x,）
x
，
2
（x,）
x
，则
242
PQ（2x）（）4
x
9、函数f（x）Asin（wx）,（A,w,是常数，A0,w0）的部分图象如图所示，则
f（0）____
6
答案：
2
解析：
考察三角函数的图像与性质以及诱导公
式，中档题。
由图可知：
第题图
9
A
T7
2,,2,
41234
2
2k,k,
33
26
f（0）2sin（k）由图知：
32
f（0）
6
2
10、已知e1,e2是夹角为
k的值为。
2
3
的两个单位向量，2,,
ae1ebkee若ab0，则
212
5
答案：
4
解析：
考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。
由ab0得：
k
5
4
11、已知实数a0，函数
2xa,x1
f（x），若f（1a）f（1a），则a的值为
x2a,x1
________
答案：
a
3
4
解析：
考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。
3
a0,22aa1a2a,a，
2
3
不符合；a0,1a2a22aa,a
4
x的图象上的动点，该图12、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）e（x0）
象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵
坐标为t，则t的最大值是_____________
答案：
11
t（e）
max
2e
解析：
综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置
关系，难题。
设
x
P（x,e）,则
0
0
xxx
l:
yee（xx）,M（0,（1x）e），过点P作l的垂线
000
00
xxxx
yee（xx）,N（0,exe），
0000
00
11
xxxxxx
t[（1x）eexe]ex（ee）
000000
000
22
1
'xx
teex，所以，t在（0,1）上单调增，在（1,）单调减，
（）
（1）
00
0
2
11
t（e）
max
2e
。
13、设
1aaa，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差
127
为1的等差数列，则q的最小值是________
答案：
3
qmin3
解析：
考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意：
23
1aaaqa1aqa2aq，
1212121
2
a2qa21,a21qa22
3
qa223，而
aaaaa的最小值分别为1，2，3；
21,11,,221,22
3
q。
min3
m
2ymxyR
22
14、设集合Ay）|（x2）,,},
{（x,
2
B,
{（x,y）|2mxy2m1,x,yR}
若AB,则实数m的取值范围是______________
1
答案：
m21
2
解析：
综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、
两条直线位置关系、解不等式，难题。
当m0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为
半径的圆，集合B是在两条平行线之间，
22m12
m（12）m0，因为
22
A此时无解；当m0时，集合A是以（2，0）为圆心，以
B,
m
2
和m为半径的圆
22m1
环，集合B是在两条平行线之间，必有
22
2
2
m
m
m21
2
m.又因为
21
m1
2
m,m21
22
二、解答题：
本大题共6小题，共90分。
请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c
（1）若sin（A）2cosA,求A的值；
6
1
（2）若cosA,b3c，求sinC的值.
3
解析：
考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。
（1）sin（A）2cosA,sinA3cosA,A
63
（2）
1
2222
cosA,b3c,abc2bccosA8c,a22c
3
由正弦定理得：
22cc
sinAsinC
，而
222
sinA1cosA,
3
sin
1
C。
（也可以先
3
推出直角三角形）
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
解析：
简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题。
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
EFPD,又P,D面PCD,E面PCD
直线EF‖平面PCD
（2）AB=AD,BAD=60,F是AD的中点，BFAD,
（第16题图）又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD面ABCD＝AD,BF面PAD,
所以，平面BEF⊥平面PAD。
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分
所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，
正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直
角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
DC
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
3）最大，试问x应取何值？
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
xEFx
AB
解析：
考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中
档题。
（1）
2222
Sxxxx（0604（602）2408
（2）
222
V（2x）（602x）42x（30x）（0x30），所以，
2
'122（20）,
Vxx
当0x20,时，V递增，当20x30时，V递减，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
2
（60－2x）
2
1
y
2x2
P18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N
BC
M
x
A
N
（第18题图）
22
xy
分别是椭圆1
42
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象
限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：
PA⊥PB
解析：
（1）
（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、
解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、
直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。
22
（1）M（-2,0）,N（0,2）,M、N的中点坐标为（-1,）,所以
k
22
（2）由
y2x
22
x2y4
得
24242
P（,）,A（,），C（,0），AC方程：
33333
2
x
y
3
422
即：
yx
2
3
333
242
所以点P到直线AB的距离
d
333
2
22
3
（3）法一：
由题意设
P（x,y）,A（x,y）,B（x,y）,则C（x,0），
0000110
A、C、B三点共线，
y
yyy
1
010
xx2xxx
10010
又因为点P、B在椭圆上，
2222
xyxy
001,111
，两式相减得：
4242
k
PB
xx
01
2（yy）
01
kk
PAPB
yxx（yy）（xx）
0011001
[]1
x2（yy）（xx）（yy）
0011001
PAPB
法二：
设
AxyBxy中点则xyx,
（,）,（,）,A,BN（x,y）,P（-,）,C（-,0）
112200111
A、C、B三点共线，
yyyy
2211
xxxx2x
21211
k
AB
又因为点A、B在椭圆上,
2222
xyxy
221,111
两式相减得：
4242
y
1
0
x2kAB
0
yy1
01
kk2k1
ONPAAB
xx2k
01AB
ONPB,PAPB
32
19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数（）,（）,
ff（x）和
xxaxgxxbx
g是f（x）,g（x）的导函数，若f（x）g（x）0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在
（x）
区间I上单调性一致
（1）设a0，若函数f（x）和g（x）在区间[1,）上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设a0,且ab，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求
|a-b|的最大值。
解析：
（1）考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；
（2）综合
考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应
用、化归及数形结合的思想，难题。
（1）因为函数f（x）和g（x）在区间[1,）上单调性一致，所以，
''
x[1,）,f（x）g（x）0,即
x
2
（3+a）（2x+b）a0,x[1,）,2x+b0,
[1,）,x0,
即a0,x[1,）,b2x,b2;
（2）当ba时，因为，函数f（x）和g（x）在区间（b,a）上单调性一致，所以，
''
x（b,a）,f（x）g（x）0,
2
即x（b,a）（,3x+a）（2x+b）0,ba0,x（b,a）,2xb0，
2x（b,a）,a3x,
2
bab设zab，考虑点（b,a）的可行域，函数
3,
2
yx的斜率为1的切线的切
3
点设为
（x,y）
00
11
则000
6x1,x,y,
612
111
z（）；
max
1266
当ab0时，因为，函数f（x）和g（x）在区间（a,b）上单调性一致，所以，
''
x（a,b）,f（x）g（x）0,
2
即x（a,b）（,3x+a）（2x+b）0,b0,x（a,b）,2xb0，
2
x（a,b）,a3x,
21
a3a,a0,
3
1
（ba）;
max
3
当a0b时，因为，函数f（x）和g（x）在区间（a,b）上单调性一致，所以，
''
x（a,b）,f（x）g（x）0,
2
2
即x（a,b）,（2x+b）（3x+a）0,b0,而x=0时，（3x+a）（2x+b）=ab<0,不符合
题意，
当a0b时，由题意：
2
2x（3+a）
x（a,0）,x0,
2
2
3+a
x（a,0）,x0,3aa0,
11
a0,ba
33
综上可知，
1
ab。
max
3
20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a}的首项a11，前n项
n
和为
S，已知对任意整数k属于M，当n>k时，SnS2（SS）都成立。
nknknk
（1）设M=｛1｝，a2，求a5的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式。
2
解析：
考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的
能力，其中
（1）是容易题，
（2）是难题。
（1）
k1,n1,SS2（SS）,SS2（SS）即：
n1n1n1n2nn11
a2a2a1
nnn
所以，n>1时，
a成等差，而a2，
n2
S23,S32（S2S1）S17,a34,a58;
（2）由题意：
n3,SnSn2（SnS）,
（1）;n4,SnSn2（SnS）,
（2），
333444
n4,SS2（SS）,（3）;n5,SS2（SS）,（4）;
nnnnnn
当n5时，由
（1）
（2）得：
a4a32a4,（5）
nn
由（3）（4）得：
a5a22a4,（6）
nn
由
（1）（3）得：
a4a22a1,（7）;
nnn
由
（2）（4）得：
a5a32a1,（8）;
nnn
由（7）（8）知：
a4,a1,a2,成等差，
nnn
a5,a1,a3,成等差；设公差分别为：
nnn
d1,d2,
由（5）（6）得：
a52a3d22a42,a4（d29）a;
nnnnnn
由（9）（10）得：
a5a4d2d1,2a4d1d2,a2a3d2d1;an（n2）成
nnnn
等差，设公差为d,
在
（1）
（2）中分别取n=4,n=5得：
2a+6a15d2（2a5a5d）,即4a5d2;
12122
2a8a28d2（2a7a9d）,即3a5d1
12122
a23,d2,an2n1.
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学II（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请．选．定．其．中．两．题．，．并．在．答．题．卡．指．定．区．域．内．作．
答．，
若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
A．选修4-1：
几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与
r2（r1r2），
第图
21-A
圆
O的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），
1
求证：
AB:
AC为定值。
解析：
考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：
由弦切角定理可得
AOCAOB
21
AB
OBr
11
ACOCr
2
B．选修4-2：
矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵
11
A，向量
21
1
2
，求向量，使得
2
A．
解析：
考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。
设
x
y
，由
2
A得：
3x2
，
4y32
3x2y1x11
4x3y2y22
C．选修4-4：
坐标系与参数方程（本小题满分10分）
x5cos
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线
y3sin
x42t
（t为参数）平行的直线的普通方程。
y3t
解析：
考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置
关系，中档题。
椭圆的普通方程为
22
xy
259
1,
右焦点为（4，0），直线
x42t
y3t
（t为参数）的普通
方程为2yx2，斜率为：
1
2
；所求直线方程为：
1
y（x4）,即x2y40
2
D．选修4-5：
不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
x|2x1|3
解析：
考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：
4
x32x13x,2x，解集为
3
4
（2,）
3
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答．题．卡．指．定．区．
域．内．作答，解答时应写出
第题图
22
文字说明、证明过程或演算步骤。
22.（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱
ABCDABCD中，
1111
AAAB，点N是BC的中点，点M在
12,1
CC上，设二面角
1
ADNM的大小为。
1
（1）当
0
90时，求AM的长；
6
（2）当
cos时，求CM的长。
6
解析：
考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算
能力，
（1）是中档题，
（2）是较难题。
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A（1,0,0）,A1（1,0,2）,N（
1
2
1,0）,C（0,1,0）），设M（0，1,z）,
面MDN的法向量
nxyz，
1（1,1,1）
1
DA（1,0,2）,DN（,1,0）,DM（0,1,z）
1
2
x2z0
00
设面A1DN的法向量为
n（x,y,z），则
000
DAn0,DNn0,1
1
2
xy
00
0
取
x02,则y01,z01,即n（2,1,1）
1
2
xy
11
0
（1）由题意：
DNn0,DMn0,nn,0yzz0
11111
取
2xyz0
111
1
x2,
升级会员 