相似三角形培优试题.docx
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相似三角形培优试题
1、(本题满分7分)
如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,
CG与AD相交于点N.
求证:
(1)AE=CG;
(2)AN・DN=CN・MN.
5110
2、(本题满分7分)
ABC沿CA方向平移CA长
如图11,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△
度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积;
(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若•BEC=15[求AC的长.
图11
3、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE丄BC,垂足为E,
连接DEF为线段DE上一点,且/AFE=Z
(1)求证:
△ADDADEC
(2)若AB=4,AD=3..3,AE=3,求AF的长.
如图(4),在正方形ABCD中,
E、F分别是边AD
1
AE-ED,DFjDC,连结EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)
求证:
△ABEDEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
5•如图(15),在梯形ABCD中,DC//AB,NA=90°AD=6厘米,DC=4厘米,
BC的坡度i=3:
4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从
点B出发以3厘米/秒的速度沿B-;C-;D方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.
(1)求边BC的长;
(2)当t为何值时,PC与BQ相互平分;
(3)连结卩0,设厶PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式,求t为何值时,y有最大值?
最大值是多少?
图(5)
6.(本题满分9分)
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m2,工人师傅要把它加
工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,
乙设计方案如图2.
你认为哪位同学设计的方案较好?
试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保
留分数)厂
第6题图
7、如图1,0为正方形ABCD的中心,分别延长OA、0D到点F、E,使0F=20A,0E=20D,连接EF.将厶EOF绕点0逆时针旋转a角得到△E10F1(如图2).
(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;
(2)
当a=30°时,求证:
△A0E1为直角三角形.
8、(本题满分12分)
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A'C'D如图1所示将△A'C'D的顶点A'与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A')、B在同一条直线上,如
图2所示.
观察图2可知:
与BC相等的线段是,/CAC=°.
问题探究
如图3,△ABC中,AG丄BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰RtAABE和等腰RtAACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论•
拓展延伸
如图4,△ABC中,AG丄BC于点G,分别以AB、AC为一边向AABC外作矩形ABME
和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数
量关系,并说明理由•
9.(本小题12分)如图,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与AD重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
(1)、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由;
(2)、再次移动三角板的位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由。
参考答案
1、证明:
(1)幕四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形
AD二CD,DE二DG,ADC"EDG=90,
ADE=/CDG,△ADECDG,3分
AE=CG
(2)由
(1)得ADE=CDG,DAE二DCG,又ANM二CND,
2、解:
(1)由平移的性质得
AF//BC且AF=BCAEFAABC,
.四边形AFBC为平行四边形,
SEFA-SBAF-SABC-3
.四边形EFBC的面积为9.
(2)BE_AF•证明如下:
由
(1)知四边形AFBC为平行四边形
.BF//AC且BF=AC,又AE=CA,BF//AE且BF=AE,
.四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC,AB=AE,
■平行四边形EFBA为菱形,BE_AF
(3)作BD_AC于DBEC=15,AE=AB,ZEBA/BEC=15,/BAC=2./BEC=30,
.在RtBAD中,AB=2BD.设BD=x,贝UAC=AB=2x,SABC=3,
且SABC*BD=1*2x・x=X2,X2=3,x为正数,x=€3,AC=2.37分
22
3、
(1)证明:
•••四边形ABCD是平行四边形
•AD//BCAB//CD
•••/ADF玄CED/B+ZC=180°
•••/AFE+ZAFD=180ZAFE=ZB
•ZAFD=ZC
•△ADFS^DEC
⑵解:
•••四边形ABCD是平行四边形
•AD//BCCD=AB=4
在Rt△ADE中,DE=.、AD2AE2=.(3、3)232=6
•/△ADF^ADEC
AD
AF
3.3AF
DECD
AF=23
AD=AB=DC
=BC,
.A—D=90°.
1分
AE
1
AE二ED,
3分
AB
2
十1
DF
1
又DFDC,
4
DE
2
4、
(1)证明:
幕ABCD为正方形,
AE
AB
(2)解:
DF
..△ABEDEF.
DE
■■ABCD为正方形,
.ED//
EDDFBG.
CGCF
又DF
=丄DC,正方形的边长为
4
4.
ED=2,CG=6.
BG=BCCG=10.
AECD为矩形.
5•解:
(1)作CE_AB于点E,如图(3)所示,则四边形
.AE=CD=4,CE=DA=6.
.EB=8,AB=12.
在Rt△CEB中,由勾股定理得:
BC二.CE2•EB2=10.
由DC//AB,
则PBCQ是平行四边形(此时Q在CD上).
即CQ=BP,3t_10=12_2t.
…2222
解得t,即t秒时,PC与BQ相互平分.7分
55
10
(3)①当Q在BC上,即卩03
作QF_AB于F,则CE//QF.
QFBQQF3t,即——
BC6
1
PB-QF
2
81
+—
5•
CE
S^pbq
3t“9t
105
19t=丄(12_2t)•込
25
9
=(t-3)
5
81
.S"Bq有最大值为一厘米2.
5
1014
②当Q在CD上,即wtw时,
33
11
■SpbqPB-CE(12-2t)6
22
=366t.
易知S随t的增大而减小.
10
故当t二一秒时,.Sapbq有最大值为
3
当t=3秒时,
10
366
3
=16厘米
8分
9分
10分
11分
8116,y二
5
12分
图1
9+2*54+,o—10]
—t+——t,055I3丿
f1014)
-6t36.wtw
133丿
81
综上,当t=3时,Sapbq有最大值为厘米2.
5
6、(本题满分9分)
解:
由AB=1.5m,Saabc=1.5m2,可得BC=2m.
由图1,若设甲设计的正方形桌面边长为xm,
由DE//AB,得Rt△CDEsRt△CBA,
「皀殳,即—壬,x
ABBC1.52
36
3T.5x=2x,xm.4分
3.57
由图2,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高
BH交DE于P,交AC于H.
由AB=1.5m,BC=2m,
得AC=AB2BC2二1.5222=2.5(m).
「5J.2m.
2.5
由AC_BH二ABBC可得,BH=ABBCAC
D
E//
A,CRt△BDE
s
B
P
DE
B
H_
AC
“1.2—v
y”口
30
即
,解得v-
—
1.2
2.5
37
6
30
30
■1
7
35
37
m.
*22
xy,
设乙设计的桌面的边长为ym,
Rt△BAC,
.甲同学设计的方案较好
7、答案:
(1)用边角边证明△
全等,即可证得AE=BF
(2)取OE的中点G,得到等边厶AOG等到ZAGO=60,又由AG=EG得到ZAEO=30°,从而得到ZOAE是90°,即为直角三角形。
8.解:
情境观察
AD(或A'D),90
问题探究
结论:
EP=FQ.
证明:
•••△ABE是等腰三角形,•AB=AE,ZBAE=90°.
•ZBAG+ZEAP=90°.vAG丄BC,:
ZBAG+ZABG=90°,
•ZABG=ZEAP.
vEP丄AG,「.ZAGB=ZEPA=90°,「.RtAABG也RtAEAP.•AG=EP.
同理AG=FQ.•EP=FQ.
拓展延伸
结论:
HE=HF.
理由:
过点E作EP丄GA,FQ丄GA,垂足分别为P、Q.
v四边形ABME是矩形,•••/BAE=90°,
•ZBAG+ZEAP=90°
•ZABG=ZEAP.
AOE和^BOF
•AG丄BAG+ZABG=90°,
vZAGB=ZEPA=90°
.AG=AB'EP=EA.
AG=
:
AC
FP=
'FA.
AB.
_AC
'EA'
=FA
同理△ACGs^FAQ,
•/AB=kAE,AC=kAF,/
7
P
H
M〈
V
>
\n
B
GC
AP.•ep=fq.
=「•AG
9.解:
①结论:
能.
设AP=xcm贝yPD=(10-x)cm.
因为/A二/D=90,/BPC=90,
所以/DPCyABP
所以△ABP^ADPC
则AB/PD二AP/DC即AB-DC=PDAP.
所以4X4=X(1