矩形的性质与判定典型例题.docx
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矩形的性质与判定典型例题
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矩形的证明题目
一．（共5小）
1．（2016春?
巴南区校月考）如矩形都是由大小不等的正方形依据必定律成的，
此中，第①个矩形的周6，第②个矩形的周10，第③个矩形的周16，⋯，
第⑧个矩形的周（）
A．168B．170C．178D．188
2．（2016?
姜堰区校模）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD
，EF=a，CE=2a，接BD、BF、DF，△BDF的面是（）
A．32B．16C．8D．16+a2
3．（2016?
深圳模）如所示，矩形
ABCD中，AE均分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，
下边的：
①△ODC是等三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
此中正确有（）
_
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2015?
十堰一模）如，在矩形ABCD中，E，F分是AB，CD上的点，AE=CF，
接EF，BF，EF与角AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，AB的
（）
A．8B．8C．4D．6
5．（2015?
露台模）如，矩形ABCD中，BC=1，接AC与BD交于点E1，E1
作E1F1⊥BC于F1，接AF1交BD于E2，E2作E2F2⊥BC于F2，接AF2交BD于E3，
E3作E3F3⊥BC于F3，⋯，以此推，BFn（此中n正整数）的（）
A．B．C．D．
二．解答（共25小）
6．（2015?
岩）如，E，F分是矩形ABCD的AD，AB上的点，若EF=EC，且EF
⊥EC．
（1）求：
AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的．
_
7．（2015?
玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，
B重合），连结CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连结CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连结MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
8．（2015?
石家庄二模）已知：
如下图，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边
作等边△EBC和等边△FCD，点E在矩形上方，点F在矩形内部，连结AE、EF．
（1）求∠ECF的度数；
（2）求证：
AE=FE．
9．（2015春?
巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE
折叠后获得△AFE，点F在矩形ABCD内部，延伸AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数目关系？
并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
_
10．（2015秋?
开江县期末）已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延伸线上一点，CF
交AB于点E，G是CF上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．
（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．
（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF边上的高？
11．（2015春?
宜兴市校级期中）定义：
如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那
么△ACD和△BCD是“友善三角形”，而且S△ACD=S△BCD．应用：
如图②，在矩形ABCD中，
AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：
△AOB和△AOE是“友善三角形”；
（2）连结OD，若△AOE和△DOE是“友善三角形”，求四边形CDOF的面积．
12．（2015春?
汕头校级期中）如下图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角
线订交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线订交于点A1，再
_
以A1B1、A1C作第2个平行四形A1B1C1C，角订交于点O1；再以O1B1、
O1C1作第3个平行四形O1B1B2C1⋯依此推．
（1）求矩形ABCD的面；
（2）求第1个平行四形OBB1C的面是第2个平行四形A1B1C1C是
第3个平行四形
OB1B2C的面是
（3）第
n个平行四形的面是
．
13．（2015春?
青山区期中）如1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．
（1）求：
四形ABCD矩形；
（2）E是AB的中点，FAD上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如2，若FAD中点，DF=1.6，求CF的度：
②如2，若CE=4，CF=5，AF+BC=，AF=．
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14．（2015春?
富顺县校级月考）矩形ABCD中，AB=3，AD=4；P是AD上的随意一点，
过P作PE⊥OA，PF⊥OD，求PE+PF的值？
15．（2015春?
启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD中，过点C引∠A的均分线AM的
垂线，垂足为M，AM交BC于E，连结MB，MD．
（1）求证：
BE=DC；
（2）求证：
∠MBE=∠MDC．
（3）假如AB=6，AD=10，则四边形ABMD面积=．
16．（2014?
丹东一模）
（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，
P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数目关系
并说明原因．
（2）如图2，当四边形ABCD变成平行四边形，其余条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、
PG和AB的数目关系并说明原因．
（3）如图3，当四边形ABCD知足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其余条件不变，判断PF、
PG和AB的数目关系并说明原因．
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17．（2014?
南岸区一模）如图，在矩形
ABCD
中，点
E是AD
边上一点，点
F是
CB延伸
线上一点，连结
EF交AB
于点
G，且
DE=BF
．AE
的垂直均分线
MN
交AE于点
N、交
EF
于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．
（1）求证：
AF=CE；
（2）求△CEF的面积．
18．（2014春?
涪陵区期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．
（1）求矩形ABCD的周长；
（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；
②点P是线段CB延伸线上的点，连结PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
（3）M
是AD
上的动点，在
DC
上存在点
N，使△MDN
沿折痕
MN
折叠，点
D落在
BC
边上点
T处，求线段
CT
长度的最大值与最小值之和．
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19．（2014
春?
郯城县期末）如图
1，在平面直接坐标系中，矩形
OABC
的极点
A、C的坐
标分别为（10，0）、（0，4），点D5的等腰三角形时，求点P的坐标．
是
OA
的中点，点
P在2、图
BC3
上运动，当△ODP
是腰长为
20．（2013秋?
渝中区校级期末）如图，点
AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连结
（1）求证：
∠DEA=2∠AEB；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数．
E是矩形ABCD的边BC延伸线上一点，连结
DG、DE，且DE=DG．
21．（2014春?
宜昌校级期末）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，
DE⊥DC，CE交BD于F，
（1）求证：
ED均分∠AEC；
（2）当∠BEC=60°，且AE=1时，求矩形ABCG的面积；
（3）当BE=BC，求证：
BD均分∠CDE．
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22．（2014春?
沂水县期末）数学学习老是如数学知识自己的生长历史同样，常常发源于猜
测中的发现，我们所发现的不必定对，可是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证以后，
当所发现的在逻辑上没有矛盾以后，就能够作为新的推理的前提，数学中称之为定
理．
（1）试试证明：
等腰三角形的研究中借助折纸发现：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．可是当时并
未说明这个结论的合理．此刻我们学些了矩形的判断和性质以后，就能够解决这个问题了．如
图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论
吗？
请说明．
（2）迁徙运用：
利用上述结论解决以下问题：
①如图2
所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，
请你说明
EF与AC的地点关系．
②如图3
所示，?
ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说
明平行四边形ABCD是矩形．
23．（2014春?
金川区校级期中）如图，在正方形
ABCD的边BC上任取一点M，过点C
作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为
O，试确立OM与ON之间的关系，并
说明原因．
_
24．（2014春?
合川区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿
BE翻折后点C恰巧落在AD边上的点F处，过F作FH⊥BC于H，交BE于G，连结CG．
（1）求证：
四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积．
25．（2014春?
仙桃期中）矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在
CD上的点E处，连BE．
（1）求证：
∠BAE=2∠CBE；
（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，尝试究AF与MN的
数目关系，并证明你的结论．
26．（2014春?
青县校级期中）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，
AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运
_
动，点Q从点同时发，当点
D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C
P运动到点B时，P、Q同时运动停止，设运动时间为
运动．已知动点
t秒．
P、Q
（1）求CD的长；
（2）当t为什么值时，四边形PBQD为平行四边形？
（3）在运动过程中，能否存在四边形BCQP是矩形？
若存在，恳求出t的值；若不存在，
请说明原因．
27．（2013?
遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：
CM=CN
；
（2）若△CMN
的面积与△CDN
的面积比为
3：
1，求
的值．
28．（2013?
郑州模拟）
（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E
作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；
_
（2）若点E在BC的延伸线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延伸线于点
G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；
（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连结CL，点E是
CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间拥有如何的数目关
系，直接写出你的猜想；
（4）察看图
1、图
2、图
3的特征，请你依据这一特征结构一个图形，使它仍旧拥有
EF、
EG、CH这样的线段的关系，并知足
（1）或
（2）的结论，写出有关题设的条件和结论．
29．（2013?
重庆模拟）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上随意一点，点P为线
段AE中点，连结BP并延伸交边AD于点F，点M为边CD上一点，连结FM，且∠1=∠2．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：
PB=PF+FM．
30．（2013?
南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点M、N在线段AD上，∠MBC=
∠NCB=60°，点E、F分别为线段CN、BC上的点，连结EF并延伸，交MB的延伸线于点
G，EF=FG．
（1）点K为线BM的中点，若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD的面积；
（2）求证：
MB=NE+BG．
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