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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式：

正棱台、圆台的侧面积公式

1

1

台侧其中c、c分别表示sincos[sin（）sin（）]S（cc）l

22

1

cos上、下底面周长，l表示斜高或母线长.

sin[sin（）sin（）]

2

1

cos球体的体积公式：

cos[cos（）cos（）]

2

V

球

4

3

3

R

，其中R

1

sin表示球的半径.

sin[cos（）cos（）]

2

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10

页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的

1．直线y2x关于x对称的直线方程为（）

（A）1

yx（B）

2

1

yx（C）y2x（D）y2x

2

2．已知,0

x，

2

4

cosx，则tg2x（）

5

（A）

7（B）

24

7（C）

24

24（D）

7

24

7

3．抛物线

2

yax的准线方程是y2,则a的值为（）

（A）

1

8

（B）

1

8

（C）8（D）8

4．等差数列

1

a中，已知125

a,aa4,a33,则n为（）

nn

3

（A）48（B）49（C）50（D）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为

F1,F2,F1MF2120，则双曲线的离心率为（）

（A）3（B）6

2

（C）

6

3

（D）

3

3

6．设函数

f（x）

x

2

1

x2

1

x

x

0

0

f，则x0的取值范围是（）

，若（x）1

0

（A）（1，1）（B）（1，）

（C）（，2）（0，）（D）（，1）（1，）

7．已知

5

f（x）lgx,则f

（2）（）

（A）lg2（B）lg32（C）

lg

1

32

（D）

1

5

lg2

8．函数ysin（x）（0）是R上的偶函数，则（）

（A）0（B）（C）（D）

42

9．已知点（a,2）（a0）到直线l:

x-y30的距离为1，则a（）

（A）2（B）22（C）21（D）21

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为

（）

3

4

R，该圆柱的全面积为

（A）

2

2R（B）

9

4

85

R（C）R2（D）2

2

R

32

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点

P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和

0

P（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tg=（）

4

（A）

1（B）

3

2

5

（C）

1

2

（D）1

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

（A）3（B）4（C）33（D）6

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13．不等式

2

4xxx的解集是____________________.

1

14．2）9

（

x的展开式中

2x

9

x系数是________.

15．在平面几何里，有勾股定理：

“设

222

ABC的两边AB,AC互相垂直,则ABACBC”拓

展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以

得出的正确结论是：

“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，

则______________________________________________.”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着

色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜

2

5

色可供选择，则不同的着色方法共有种

1

3

_______________________（以数字作答）

4

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱

ABCDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1点中点

（Ⅰ）证明

EF为BD与CC的公垂线

11

D

C

（Ⅱ）求点

D到面BDE的距离

1

A

B

EF

DC

M

A

B

18．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项，求|z|.

19．（本小题满分12分）

已知数列

a满足

n

n1

a11,a3a1（n2）.

nn

（Ⅰ）求

aa；

2,3

（Ⅱ）证明

a

n

n

31

2

y

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）2sinx（sinxcosx）

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数

yf（x）在区间,

22

上的图象

x

O2

2

y

北

东

O

xO

21．（本小题满分12分）

海

在某海滨城市附近海面有一台风，据监岸

O

测，当前台风中心位于城市O（如图）的东

线

偏南（cos2）

10

方向300km的海面P处，

Pr（t）

45

P

并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，

并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（本小题满分14分）

已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、F、G分别

在BC、CD、DA上移动，且

BE，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定

CFDC

BCCDDA

点，使P到这两点的距离的和为定值？

若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说

明理由

y

CDF

E

P

G

AOBx

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果

考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内

容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果

后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．C9．C10．B11．C12．A

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13．（2,4]14．

21

2

15．

2222

SABCSSS16．72

ACDADBBCD

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（I）证明：

取BD中点M，连结MC，FM，

1

∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=

2

D1D

1

2

又EC=

CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线

（II）解：

连结ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DCD1·EF.

∵AA1=2·AB=1.

BDBEED2,EF

2

2

S

1132

DBD222,S

（2）

1DBC

222

3

2

故点D1到平面BDE的距离为

23.

3

18．解：

设z=

r（cos60isin60）,则复数z的实邻为

r

2

2

2zz

zzr,zzr由题设|z1||||2|

2rrrr

2

即（z1）（z1）|z|（z2）（z2）r124

2rrr

r210解得2121（舍去）即|z|=21

2

19．（I）解∵11,a314,a3413

a

23

n1

（II）证明：

由已知ana3,故

n1

an（anan1）（anan）（aa）a

12211

n

31n1n2

=.

3331

2

所以

a

n

n

3

2

1

2

20．解（I）f（x）2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x

12（sin2xcoscos2xsin）12sin（2x

44

）

4

所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

x

3

8

3

888

5

8

y1121121

故函数yf（x）在区

间]

[,上的图象是

22

21．解：

如图建立坐标系：

以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：

t（h）台风中心P（x,y）的坐标为

x300

2

10

20

2

2

t,

y300

7

2

10

20

2

2

t.

此时台风侵袭的区域是

2（）2[（）]2

（xx）yyrt，其中r（t）10t+60，

若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

（0

2yt

2

x）（0）（10

60）

2

22722

2t2t

2

即）（1060）,

（30020t）（30020

102102

即t236t2880，解得12t24.

答：

12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点

P到定点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

BECFDC

设k（0k1）

BCCDDA

，

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

直线OF的方程为：

2ax（2k1）y0，①

直线GE的方程为：

a（2k1）xy2a0.②

2x2y2ay从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a20，

22

整理得（）1

x.

ya

12

a

2

当

1

2

a时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

2

当

1

2

a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

2

当

111

2

a2的距离之和为定值2.

2aaa

a时，点P到椭圆两个焦点（,）,（,）

222

当

111

22aa

2

a时，点P到椭圆两个焦点（0,aa），（0，）的距离之和为定

222

值2a.